研究斜抛运动-例题思考

研究斜抛运动-例题思考

1.斜抛运动有斜上抛运动和斜下抛运动两种，当斜上抛时，被抛物体所能达到的高度叫射高，抛出点与落点之间的水平距离叫射程.

如图所示：物体斜上抛的仰角为θ，抛出的初速度为v 0.我们先将v 0正交分解为水平分速度v 0x 和竖直分速度v 0y .根据数学关系可以得出：

v 0x =v 0cos θ

v 0y =v 0sin θ

若把物体看作是可忽略空气影响的“理想抛体”，则根据运动分解的理论可知：斜上抛物体水平方向不受力，应做匀速直线运动，其速度为v 0x ＝v 0cos θ，其位移方程应为：

x =v 0cos θ·t ①

斜上抛物体竖直方向受向下的重力，与竖直向上的初速度v 0y ＝v 0sin θ的方向相反，应做竖直上抛运动，其位移方程应为：

y =v 0sin θ·t －21gt 2 ②

由①式可以导出:t =θcos 0v x ③

将③式代入②式，导出：y ＝tan θ·x －2220cos 2x v g θ ④

我们称导出的④式为“斜上抛物体运动的轨道方程”.

如果斜上抛物体是在水平面上进行的，那么它的抛出点和落地点应在同一水平面上(这实际上是日常最常见的斜上抛情况)，也就是说物体在竖直方向的起点到终点的位移y =0.

因此我们将y ＝0代入前面导出的④式(即“轨道方程”)，就可推导出最大水平位移x m (即“射程”).

x m =g

v θ2sin 2

0,即“射程公式”. 现在我们根据“射程公式”讨论前面所提出的问题——当v 0不变时，以多大的仰角θ斜上抛出的物体射程最远？ 据射程公式： x m ＝g

v θ2sin 20，可以看出g 是常量，若v 0不变，则决定x m 大小的因素就只有sin2θ的数值了.

根据数学知识我们知道正弦的最大值为：sin90°＝1

因此当sin2θ＝sin90°时，x m 值最大

则：2θ＝90°，所以θ＝45°.

①即当抛物的初速度v 0不变时，以45°的仰角斜上抛出的物体射程最远.由此，能推导出斜上

抛物体运动的“射高公式”H ＝g

v 2sin 220θ. ②推导出斜上抛物体运动的“飞行时间公式”T ＝g

v θsin 20. 【例1】 如图所示，从O 点发射一速度为v 0的子弹，竖直靶AC 与发射点的水平距离为d .如果子弹射至靶面时正好与靶面垂直

.

(1)求投射角θ多大？

(2)证明AB 的高度为瞄准点AC 高度的一半.

思路：这是斜抛运动通常的解题思路和方案.可以充分利用我们前面推导出的公式来直接求解. 解析：(1)子弹射中靶子时与靶子垂直，表明子弹在B 点速度方向是水平的.因而B 点是轨迹的最高点，d 是射程的一半.即

2d =g

v θ2sin 20 解之得投射角θ=20

2arcsin 21v dg . (2)子弹射到B 点所经历的时间t =g

v θsin 0 BC 是在时间t 内由于重力作用于子弹自由下落的距离，

BC =21gt 2=21g (g v θsin 0)2=g v 2sin 22

0θ AB 是子弹做斜抛运动上升的最大高度(即射高)，AB =g

v 2sin 220θ 所以BC =AB =2

1AC . 2.斜抛运动虽然是比较复杂的一种运动，但我们在处理时并不一定按照一种僵化的方案来分解.如果能巧妙地选择分运动，将会使分析解决问题变得简单.

【例2】 子弹以初速度v 0、投射角α从枪口射出，刚好能掠过一高墙，如图所示.若测得枪口至高墙顶连线的仰角为θ，求子弹从发射到飞越墙顶的时间

.

思路：该题中子弹的斜抛运动可以按照常规分解为水平方向和竖直方向的运动来求解，但要麻烦一些，如果我们能把该斜抛运动看成沿v 0方向的匀速直线运动和自由落体运动的合成，就可简化

运算，下面分别用两种方法来比较一下.

解析：解法一：把斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动.设从发射到飞越墙顶的时间为t ，则在水平方向和竖直方向上的分位移为

x =v 0cos α·t

y =v 0sin α·t －2

1gt 2 由题设条件知y =x ·tan θ

故可解得t =g

v )tan cos (sin 20θαα⋅-. 解法二：把斜抛运动分解为沿v 0方向的匀速直线运动和自由落体运动，如图所示.由正弦定理，可得

)

90sin()sin(2102θθα+︒=-t v gt 解得t =θ

θαcos )sin(20g v - 由三角函数关系知道这两个答案是相等的.

例题解析

【例1】 如图所示，打高尔夫球的人在发球处(该处比球洞所在处低15 m)击球，该球初速度为36 m/s ，方向与水平方向成30°角.问他会把球向球洞处打到多远?(忽略空气阻力)

解析：小球初速度的水平分量和竖直分量分别是

v 0x ＝v 0cos θ＝36cos30°＝31.2 m/s ，

v 0y ＝v 0sin θ＝36sin30°＝18.0 m/s .

由y ＝CD ，可得CD ＝v 0y t －2

1gt 2， 代入已知量，整理后可得t ＝2.40 s 或1.28 s

其中t ＝1.28 s 是对应于B 点的解，表示了该球自由飞行至B 点处所需时间.因此在本例中，应选解t ＝2.40 s.在此飞行时间内，球的水平分速度不变，于是最后可得

x =v 0x t =31.2×2.40 m=74.7 m.

点评：该题考查实际问题中的斜抛运动.涉及到斜抛运动中的一个分运动——竖直上抛运动的时间能出现双解.这两个时间，一个是在上升过程中，一个在下落过程中.一般的斜抛运动考查的抛出点和落地点在同一水平面上，而该题的落地点与抛出点不在同一平面内，在时间的考查上也有新意.