材料力学课件：9_第五章__弯曲内力
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材料力学课件04弯曲内力
影响线的绘制方法
静力法
通过平衡条件，将单位集中荷载作用 于简支梁上，绘制弯矩图或剪力图。
机动法
利用梁的微段运动特性，通过几何关 系绘制影响线。
影响线的应用实例
确定最不利荷载位置
通过比较不同位置的荷载值，确定最不利荷载位置，以便进行结 构设计。
校核承载能力
根据影响线确定最不利荷载位置的弯矩值，校核梁的承载能力是否 满足设计要求。
02
在桥梁、建筑、机械等领域中，需要根据剪力和弯矩的分布规律进行结构设计， 确保结构的承载能力和稳定性。同时，在设计过程中还需要考虑材料的力学性能 、施工方法等因素，以满足工程实际需求。
剪力和弯矩的分布规律实验验证
为了验证剪力和弯矩的分布规律，需 要进行相关的实验验证。通过实验可 以测量梁在不同弯曲程度下的剪力和 弯矩值，并与理论分析结果进行比较 。
集中载荷下的简化和计算
总结词
集中载荷作用下，弯曲内力可以直接通过载 荷和支撑反力计算。
详细描述
在集中载荷作用下，梁的弯曲内力可以通过 将载荷与支撑反力相乘得到。这种方法适用 于载荷作用点明确的情况，计算过程简单明 了。
特殊情况下的简化和计算
要点一
总结词
某些特殊情况下，可以利用梁的对称性和载荷特性简化弯 曲内力的计算。
03
弯曲内力的大小与梁的截面尺寸、形状、材料属性 以及外力矩的大小和方向有关。
弯曲内力的类型
正应力
垂直于截面的应力，主要引起梁的弯曲变形 。
剪应力
与截面相切的应力过程中，梁截面上同时存在正应力和 剪应力，其中对梁的强度和稳定性影响最大 的应力。
弯曲内力分析的重要性
弯矩
由于弯曲变形产生的内力矩，其分布规律与梁的截面形状和弯曲方式有关。在梁的中部，弯矩通常为 负值，表示梁的上侧受压、下侧受拉；在梁的支座处，弯矩通常为正值，表示梁的上侧受拉、下侧受 压。
材料力学-第5章 弯曲内力
材料力学
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学05(第五章 弯曲内力)
5 qa 3
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和 弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值： 支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和 弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值： 支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
材料力学-弯曲变形(内力)ppt课件
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
弯曲变形
3333
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
任务拓展-做剪力图和弯矩图
弯曲变形
FRA
MO
a
b
A
C
x1
x2
桥梁
弯曲变形
55
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
厂房吊运物料
弯曲变形
6
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
任务一 计算梁的弯曲变形内力
弯曲变形
❖ 知识目标 ❖ 能力目标 ❖ 任务描述 ❖ 任务分析 ❖ 相关知识 ❖ 任务实施 ❖ 任务拓展 ❖ 思考与练习
✓ 分析梁的变形。 ✓ 分析梁发生弯曲变形时受的内力。 ✓ 求出梁弯曲时的内力。
99
机械基础-材料力学-弯曲变形
20212/0241//42/233
相关知识
解：1、求支座反力
F x0, F A x0
MA0, FBF l a
MB0, FAyFb
l
弯曲变形
F
a
b
A
B
x
l
FAx
A FAy
F B
FB
21
机械基础-材料力学-弯曲变形
2021/4/23
相关知识-剪力和弯矩
材料力学_弯曲内力PPT课件
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
3、梁：以弯曲为主要变形的杆件，我们通常称之为梁。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 ②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对
q
F
纵向对称面
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式
(一)、 求支反力RA ，RB
由：
4 M B 0 RA 3 F
MA
0
RB
5 3
F
(二)、求截面m-m上的内力（采用截面法）
F
由上图可知：要保持左
M
半部分的平衡，在截面m-m 上必须有一个方向向下的力
RB
x
Q
Ｑ.
由
y
0
Q
4 3
F
F
1 3
F
——（a）
同时还必须有一个逆时针方向转动的力偶Ｍ
由
Mo
§5-1 平面弯曲的概念
1.弯曲：
举例说明：我们在家洗衣服后，总是要拿到阳光下 去晒，在这种情况下，我们都是在有阳光的地方拉一根 铁丝（或绳子），在没有铁丝或绳子的情况下，一般都 喜欢在两个建筑物之间横上一根竹杆用来凉衣服。这些 绳子或竹杆在没有挂上衣物之前都保持在水平位置（它 的轴线自然也是一条水平直线）。当我们把衣服挂上去 之后，结果我们发现原来为直线的轴线变成了曲线，这 种形式的变形我们就称为弯曲变形。
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
材料力学第五章 弯曲内力PPT课件
存在平行于截面的内力（剪 力）。
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
FAX A
mF B
FAY
x
m
FBY
A FAY
Fs
C
M
Fs
F
M
C
FBY
13
二、内力的正负规定:
①剪力Fs: 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。
5
五、弯曲的分类： 1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分——
有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。 4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。 5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
B Fy 0, R A R B 0 .8 1 .2 3 0
1.5m 1.5m RA
2m 1
0.8
3m 2 1.5m
RB M R A B 1 0 ., 5 1 (. 2 k 3 ) N 1 ,. R 5 B 0 . 8 2 .9 4 ( . 5 k R )N A 6 0
(2) 1-1截面左段右侧截面：
第五章 弯曲内力
§5—1 工程实例、基本概念 §5—2 梁的约束与类型 §5—3 弯曲内力与内力图 §5—4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5—5 按叠加原理作弯矩图 §5—6 平面刚架和曲杆的内力图 作业
1
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
弯曲内力—平面弯曲、梁的分类(材料力学课件)
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
F
B
Me
4.弯曲构件
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
弯曲变形概述
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬
F
B
弯曲内力
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原理绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车 梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。 （2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。 （3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B
FB
FAx
A
MA
FAy
材料力学课件：弯曲内力
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
21
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
16
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
17
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
19
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
弯曲内力—单跨静定梁的内力图(材料力学课件)
FA
FB
ql 2
()
(2)列剪力方程和弯矩方程
FS (x)
FA
qx
1 2
ql
qx
(0< x l)
M (x)
FA x
1 2
qx 2
1 2
qlx
1 2
qx 2
(0 x l)
(3) 绘制剪力图和弯矩图
两端支座处： 梁跨中：
ql FSmax 2
M max
ql 2 8
q
A C
x
FA
l
1 ql
2
1 ql 2 8
剪力为常数，FS图为
平直线；弯矩为一次
FaFS图FS图(b) (b) 函数，M图为斜直线。
l
Fa
M图
l (c)
M图 (c)
集中力F处，剪力图 发生突变，弯矩图
有尖角。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
A
解：(1)求支座约束力
FA
由梁的整体平衡条件可求得：
M l
e
()
FA
(2)列剪力方程和弯矩方程
单跨静定梁的内力图
1. 剪力方程和弯矩方程 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的规律，以沿梁轴线的横坐标x表示梁横
截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，按剪力方程和弯矩方程绘出 图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。
剪力方程
FS FS (x)
正剪力画在x轴上方负 剪力画在x轴下方,并在
图中标明“ ”、x轴下方负 剪力画在x轴上方,并在
图中标明“ ”、“ ”。
单跨静定梁的内力图
2.单一荷载下静定梁的内力图
材料力学课件—— 弯曲强度计算
q Ba YB QB左 B MB左
B左截面
C YA - QB左 0
qa 2 YAa - M B左 0
Q B左
YA
3 qa 2
M B左
1 qa2 2
（2）计算各截面内力（续）
qa 2
A
a
YA
q
Ba C YB
QB右 q
MB右B
aC
B右截面
QB右 - qa 0
M B右
qa
1 2
a
0
Q
B右
第五章 弯曲强度计算
第一部分 弯曲内力 (Bending forces)
第一节 概述 第二节 静定梁的基本形式 第三节 平面弯曲时梁横截面上的内力 第四节 剪力图和弯矩图 第五节 剪力、弯矩和分布载荷间的关系 第六节 用叠加法作剪力图和弯矩图 第七节 刚架的弯矩图、轴力图
第一节 概述
构件 （Component, Structural member） 杆 （bar） 梁 （beam）
RB
r
M0b/l M0a/l
m0/l
aM0= Par b
Ax C
B
RA
l
RB
Q
(+)
x
M
(+)
(-)
x
例 为一直齿圆柱齿轮传动轴。该轴可简化为简支梁，当仅考 虑齿轮上的径向力P对轴的作用时，其计算简图如图所示。试 作轴的剪力图和弯矩图。
a
b
aP b
A
C
RA x
l
RB
aP b
A
C
RA x
l
RB
Q
(+)
qa
M B右
1 qa 2 2
材料力学课件 第五章弯曲内力
V
1 2
M e
全梁的弯曲应变能则可通过积分求得为
M 2(x)
V l 2EI dx
§5–6 平面刚架和曲杆的内力图
一、平面刚架 1. 平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相
互刚性连接而组成的结构。 特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。
2. 内力图规定： 弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正
R
P
极轴，表示截面m–m的位置。
A
B
O
x
M() Px P(R Rcos) PR(1 cos) (0 ) Q( ) P1 Psin (0 ) N( ) P2 Pcos (0 )
R
P
A
B
O
x
A
2PR
O
+
Q -diagram
M-diagram
B N-diagram
–
值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
l P1 P1a
[例6] 试作图示刚架的内力图。
P2
a
P1
B
C
P2 A
+
+ Q图
P1
– N图
P1a
M图 P1a+ P2 l
二、平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例7] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
（1） 计算支座反力，由平衡方程 M B (F) 0 ， FAl Me 0
解得 FA
Me l
FB
（2） 列剪力方程和弯矩方程
根据梁的受力情况，以集中力偶作用处C为界，分段列剪
材料力学：第五章 弯曲内力
回顾: 剪力、弯矩的计算步骤（截断法,静力平衡方程 ）
(1) 分析整个梁静力平衡, 求约束处支反力 (2) 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
(3) 画受力图(三种力: 约束力、外载荷、内力)，FS 与 M 宜均设为正 (4) 列静力平衡方程，
剪力与弯矩图
剪力图与弯矩图:表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的图线
回顾:
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
回顾:
剪力、弯矩的正方向记忆 2
回顾:
剪力、弯矩的正负符号规定
剪力
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
弯矩
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶 部受压的弯 矩为正
剪力、弯矩计算方法 1：平衡方程法
由截断梁的静力平衡方程求内力 对截断梁列出外力、内力平衡方程
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
固定端
支反力 FRx , FRy与矩 为 M 的支反力偶
强度校核的前提：
剪力与弯矩计算 应力计算
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
剪力、弯矩的正方向记忆 2
剪力、弯矩的正负符号规定
3. 剪力FS 图: 水平直线 4. 弯矩M 图: 斜线
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•剪力、弯矩方程：剪力、
弯矩沿梁轴（x轴）变化的
解析表达式。
支反力
bF FAy l ,
aF FBy l
AC段(0<x1<a)：
bF FS1 l , M1 CB段(0<x2<b)：
bF l
x1
•剪FS力2 、弯alF矩,图M：2表 示alF剪x2力与弯矩沿梁轴变化的图线。
•方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩
4 3
qax1
1 2
qx12
0 x1 3a
A
B
C
3a
a
FAy
x1 FBy x2
(a)
FR1 qx1
FS 2
FR2 qx2
4
x1
qa
3
4 qa
3
M1 M2
FS1
x2
(b) qa
8 9
qa
2
(c)
Fs 5 qa 3
Fs2 qx2 0 x2 a
M2
1 2
qx22
0 x2 a
M
1 qa2
(d)
10
第章 弯曲内力
简支梁：
悬臂梁： 外伸梁：
11
第五章 弯曲内力
§5-3 剪力与弯矩
•梁的内力
分析方法：截面法
剪力－作用线沿所切 横截面的内力分量
弯矩－矢量沿所切横截面的 内力偶矩分量
FS－剪力 M－弯矩
由梁左段平衡求得
FS FAy F1
在m-m截面：
M FAyb F1(b a)
注意：下标符号习惯，设正法。
M:
q
B
l
x
FBy
_x ql/2
ql2/8
+ x
21
第五章 弯曲内力
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
q
FR 4qa
解：1、计算支座反力
FR 4qa ，作用于AC梁中点。
MB 0,
MA 0
4
FAy
3
qa
8
FBy 3 qa
AB段内力
Fs1
4 3
qa
qx1
0 x1 3a
BC段内力
M1
由 SMC=0 计算 M，C 为截面形心
14
第五章 弯曲内力
材料力学内力的类型 复习与总结
15
第五章 弯曲内力
材料力学内力正负号规定 外力无符号
材料力学内力正负号规定的原则： 在一个横截面上，同一种内力只能有一个符号 轴力的符号规定：拉为正，压为负 扭矩的符号规定：右手法则，扭矩矢量方向与
横截面外法矢一致为正。 剪力的符号规定：使微梁顺时针转动为正 弯矩的符号规定：使微梁弯曲呈下凹型为正
12
第五章 弯曲内力
•剪力与弯矩的符号规定
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
弯矩符号另一定义：使 横截面顶部受压为正
13
第五章 弯曲内力
•小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算
假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正
由 SFy=0 计算 FS
17
第五章 弯曲内力
剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
18
第五章 弯曲内力
§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
方程（函数），然后画其函数图象。
19
第五章 弯曲内力
q
例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
上图：水闸立柱 下图：跳板
4
哪些构件承受 弯曲载荷？
第五章 弯曲内力
5
第五章 弯曲内力
•弯曲的定义、力学 特征与计算简图
上图：弯曲构件
下图：计算简图
外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线 弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 梁：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴，以弯曲为主要变形的 杆件称为梁。 计算简图通常以轴线代表梁
2
$ 在集中力作用处(包括支座) 剪力有突变
22
第五章 弯曲内力
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
列平衡方程时：与坐标轴同向为正，反向为负
16
第五章 弯曲内力
应力、应变、变形、位移、方位角的符号
应力符号的规定 正应力：与截面外法线相同为正
(拉为正，压为负)； 切应力：与截面外法线顺时针90o为正。 应变符号的规定：由变形正负决定 变形的符号规定：由内力正负决定 正应变伸长为正，切应变以直角变大为正 位移的符号：由坐标方向决定 方位角符号的规定：x轴为起点，逆时针为正
0< x<l 0 xl
20
第五章 弯曲内力
FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
注意事项： •载荷、剪力、弯矩图对齐 •标注段值、极值、正负号 •按工程图要求，请用工具 作图 •间断点的含义
A
o FAy
FS
FS: ql/2
+
M
第五章 弯曲内力
上一讲回顾
•扭转静不定问题（拉压与扭转问题对比）
#非圆截面杆扭转 max
•闭口与开口薄壁杆的概念
T Wt
Tl
GIt
（ Wt , It查表）
•闭口薄壁杆的应力与变形
T 2
max
T
2 min
Tl
GIt
42
It
ds
#开口薄壁杆扭转
3Tl
n
G hi i3
i 1
圆：
T
2 R02
8
第五章 弯曲内力
FRy
FRy
可动铰支座：
固定铰支座： 固定端：
FRy FR
x
M FRy FR
x 9
第五章 弯曲内力
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch7 研究）
圆：
Tl
2G R03
max
3T max
n
hi i3
i 1
1
第五章 弯曲内力
第五章 弯 曲 内 力
§5-1 引言 §5-2 梁的约束与类型 §5-3 剪力与弯矩 §5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §5-6 刚架与曲梁的内力
2
§5-1 引言
第五章 弯曲内力
3
•弯曲实例
第五章 弯曲内力
6
第五章 弯曲内力
材料力学分析的基本思路
内力 应力
外力
结构
材料性能 强度准则
变形 应变
7
第五章 弯曲内力
§5-2 梁的约束与类型（外力） •主要约束形式与反力
可动铰支座：垂直于支承平面的支反力FR 固定铰支座：支反力 FRx 与 FRy 固定端：支反力 FRx , FRy 与矩为 M 的支反力偶