材料力学第五章弯曲应力-正应力
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材料力学第五章弯曲应力
式中 ： M 横截面上的弯矩
Iz
横截面对中性轴的惯性矩
y
求应力的点到中性轴的距离
I z A y2dA
m 惯性矩是面积与距离平方的乘积，恒为正值，单位为 4
My
IZ
讨论
应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变 形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁 变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边 的应力为压应力，（ 为负号）。
max M (x) WZ
RA
P
A
C
5m 10m
RB B
a
12.5
z
166
例题1 ：图示简支梁由 56 a 工字钢制成 ，其横截面见图 p = 150kN。求 (1) 梁上的最大正应力 max
(2) 同一截面上翼缘与腹板交界处 a 点的应力
解：
C 截面为危险截面。最大弯矩
+
M max 375KN.m
查型钢表，56 a 工字钢
I z 65586 cm6
W z 2342cm2
(1) 梁的最大正应力 +
σ max
M max WZ
160MPa
(2) a点的正应力
a点到中性轴的距离为
ya
560 2
21
所以 a 点的正应力为
σ a M max ya 145MPa IZ
12.5
My
IZ
最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处 当 中性轴为对称轴时 ，ymax 表示最大应力点到中性轴 的距离，横截面上的最大正应力为
max M ymax Iz
WZ
IZ ymax
材料力学5弯曲应力_图文
（1）合理安排载荷 （2）分散载荷(从使用方案考虑) （3）调整支座位置（从设计角度）
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
1、合理安排梁的受力
（1）合理安排载荷
P
(降低最大弯矩）
P
a
b
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（2）分散载荷(从使用方面考虑)
P P
P
若：
l
1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）
（3）调整支座位置（从设计角度）
aP
q
A
C
E
l
P
B D
弯曲切应力强度校核
一般而言，对于等直梁，梁上的最大切应力发生在剪力最大 截面的中性轴上，且
是中性轴一侧的面积对中性轴的静矩 。
型钢可查表
切应力强度条件：
梁上的最大切应力max≤[]
例题4-10 图示梁为工字型截面，跨长2a=4 m、 q=25 KN/m；材
料许用应力[]=160 MPa，[]=100 MPa。试选择工字钢型号。
3950
（3）合理截面要符合材料的力学性能
塑性材料
z
z
采用关于中性轴对称的截面
y
y
脆性材料
z
采用关于中性轴不对称的截面
y
理想情况： 可调整各部分尺寸，使
z
y
y1 z
y2 y
3、采用变截面梁
以危险截面的弯矩设计梁的截面，而在其
他截面的弯矩较小，材料不能被充分利用。
从强度的角度来看，如果在弯矩大的部位采用较大的截面，弯矩较 小的部位采用较小的截面，就比较合理。截面尺寸沿梁轴线变化的梁 叫变截面梁。 若各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力，这种梁叫等强度梁。
正应力大小与其到中 性轴距离成正比；
弯曲正应力
dA
y
z
y
x
A
y 2 dA M
已知
A
y 2 dA I z
横截面对 z 轴的惯性矩
得到：
M EI z
1
Ey 代入： E
(b)
得到：
My Iz
弯曲正应力计算公式
横截面上的最大正应力Leabharlann max令： 得：
M ymax Iz
M
max
抗弯截面系数
Iz Wz ymax
尚有两个问题?
1、
?
2、中性层的位置？
三、静力关系
F
Ey
A
x
0
dA 0
A
dA
E
M
A
ydA 0
得： 而
A
A
ydA 0
z
ydA S z A y
是横截面对 z 轴的静矩
M
y
z
y
dA
x
y 0
中性轴 z 通过横截面的形心
中性轴必为形心轴
M
E
y
0
z
已知:
a 50mm
2a A
a
F C
140MPa
求: F力的最大许可值 解: 作出梁的弯矩图 梁的危险截面为B截面 B截面的弯矩为:
B
M
Fa
M B M max Fa
梁的危险截面为B截面 M B M max Fa B截面的尺寸如图
30 203 14 203 12 Iz 10 12 12 1.07 108 m 4
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
弯曲应力—纯弯曲时的正应力(材料力学)
§5－2 正应力计算公式
3、物理关系
σ Eε
M
?
所以 σ E y
z
O
x
应力分布规律：
?
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比。待解决问题中性轴的位置?
中性层的曲率半径
§5－2 正应力计算公式
4、静力关系
横截面上内力系为垂直于横截面的空 间平行力系，这一力系简化得到三个内力分 M 量。
y t max
M
z
y
σtmax
σ cmax My cmax Iz
§5－2 正应力计算公式
二、横力弯曲时梁横截面上的正应力
实际工程中的梁，其横截面上大多同时存在着弯矩和剪力，为横 力弯曲。但根据实验和进一步的理论研究可知，剪力的存在对正应力 分布规律的影响很小。因此对横力弯曲的情况，前面推导的正应力公 式也适用。
（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处。
σ max M y max Iz
引用记号
Wz
Iz ymax
—抗弯截面系数
则公式改写为
σ max
M Wz
§5－2 正应力计算公式
对于中性轴为对称轴的横截面
矩形截面
Wz
Iz h/2
bh3 / 12 h/2
bh2 6
实心圆截面
Wz
Iz d /2
πd 4 / 64 d /2
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
⊥ 中性轴 横截面对称轴
中性层
中性轴
横截面对称轴
§5－2 正应力计算公式
2、变形几何关系
d
dx
图（a）
O’
b’ z
材料力学第五章 弯曲应力
x
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
F F d F 0 N 2 N 1 S
将FN2、FN1和dFS′的表达式带入上式，可得
* M M d M * S S b d x 0 z z
I z I z
简化后可得
dM S z* dx I z b
dM F S ，代入上式得 由公式（4－2）， dx
* 式中 S z
A1
y1dA ，是横截面距中性轴为 y 的横线 pq 以下的面积对中性轴的静矩。同理，
可以求得左侧面 rn 上的内力系的合力 FN 1 为
M * FN 1 S z Iz
在顶面rp上，与顶面相切的内力系的合力是
d F b d x S
根据水平方向的静平衡方程
F 0 ，可得
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的
细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
例5－1
图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力
偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN· m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
第五章 弯曲应力
5.1 弯曲正应力 5.2 弯曲切应力简介 5.3 弯曲强度条件及其应用 5.4 提高梁弯曲强度的主要措施
5.1 弯曲正应力
上一章研究表明，一般情况下，梁横截面上同时存在
剪力FS和弯矩M。由于只有切向微内力τ dA才可能构成剪力， 也只有法向微内力σdA才可能构成弯矩，如图5－1（a)所示。 因此，在梁的横截面上将同时存在正应力σ和切应力τ（见图 5－1(b)）。梁弯曲时横截面上的正应力与切应力分别称为 弯曲正应力与弯曲切应力。
材料力学第5章弯曲应力
3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /
河海大学-材料力学第5章弯曲应力作业参考解答
IZ
=
2 × ( 1 × 60 ×1403 12
+ 60 ×140 × (70 - (76.82 - 50))2 )
+ 1 × 280 ×503 + 280 ×50 × (76.82 - 50 / 2)2 = 9.9´107 mm4 12
（3）b-b 处切应力
t b-b
=
FS
S
* z
Izb
=
27.5kN ´ (60 ´100 ´ 63.18mm3 ) 9.9 ´107 ´108 mm4 ´ 60mm
解：
A
A
z
z
A
z
y
y
y
5-23 求图所示梁的最大容许荷载 q。梁的容许正应力为 3.5MPa，容许切应力为 0.7MPa，胶 结处的容许切应力为 0.35MPa。
yc
解：（1）求内力
最大剪力为 Fs max
=
0.5ql
= 0.3q ，最大弯矩为 M z max
=
1 8
ql
2
= 0.045q 。
（2）确定形心位置及计算惯性矩
£ 0.7 ´106
解得： q £ 3.97kN / m 。
(5) 粘结处应力强度条件
t max
=
Fs
max
S
* z
Izb
=
0.3q ´ 25´ 25´ 25´10-9 3.32 ´10-6 ´ 25´10-3
£ 0.35´106
解得： q £ 6.2kN / m 。
最后容许荷载为 q £ 3.97kN / m 。
第 5 章作业参考解答
本章主要公式
梁平面纯弯曲时曲率与弯矩和弯曲刚度的关系： 1 = M r EI z
第5章弯曲应力正应力
材料的许用应力 60MPa.
（1）轮轴为塑性材料
截面关于中性轴对称
max
M
max
Wz
弯矩 M 最大的截面
（2）危险截面：
抗弯截面系数 Wz 最小的截面；
（3）危险点
危险截面的最上、下边缘处。
（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）危险截面 B截面，C截面
M
Fb
Fb Fa
(D d )
4
D4 (1 4 )
Wz
32
D3 (1 4 )
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲 F
Fs
M FL 横截面上内力
F x x
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
横截面
不再保持为平面
且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
120
180
K
30 z
y
M C yK 60 103 60 103 K 61.7 MPa 5 IZ 5.832 10
（压应力） 4 C 截面上最大正应力
M C ymax 60 103 90 103 Cmax 92.55MPa 5 IZ 5.832 10
My IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲; 2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。I z 7.64 106 m4 求最大拉应力、最大压应力。 9KN A 1m C 1m B 1m
4KN
52
88
zc
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置；
（1）轮轴为塑性材料
截面关于中性轴对称
max
M
max
Wz
弯矩 M 最大的截面
（2）危险截面：
抗弯截面系数 Wz 最小的截面；
（3）危险点
危险截面的最上、下边缘处。
（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）危险截面 B截面，C截面
M
Fb
Fb Fa
(D d )
4
D4 (1 4 )
Wz
32
D3 (1 4 )
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲 F
Fs
M FL 横截面上内力
F x x
剪力+弯矩
横截面上的应力 既有正应力， 又有切应力
横力弯曲时的横截面
横截面
不再保持为平面
且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
120
180
K
30 z
y
M C yK 60 103 60 103 K 61.7 MPa 5 IZ 5.832 10
（压应力） 4 C 截面上最大正应力
M C ymax 60 103 90 103 Cmax 92.55MPa 5 IZ 5.832 10
My IZ
1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲; 2 横截面惯性积 Iyz=0; 3 弹性变形阶段;
例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。I z 7.64 106 m4 求最大拉应力、最大压应力。 9KN A 1m C 1m B 1m
4KN
52
88
zc
分析： 非对称截面， 要寻找中性轴位置；
材料力学+第四版+刘洪文+第五章 弯曲应力
Hooke’s Law 所以 σ = E
σ = Eε
y
?
M
O
z x
ρ
?
y
应力分布规律： 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴 的距离成正比. 的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
?
(Stresses in Beams) relationship） 四、静力关系 (Static relationship）
2.强度条件的应用 2.强度条件的应用(Application of strength condition) 强度条件的应用(Application （1） 强度校核
Mmax ≤ [σ] W
Mmax （2）设计截面 W ≥ [σ]
（3）确定许可载荷 Mmax ≤ W[σ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] ≠ [σc ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的 中性轴一般也不是对称轴
三、强度条件（Strength condition) 强度条件（
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式 1.数学表达式（Mathematical formula) 数学表达式（
Mmax σmax = ≤ [σ] W
(Stresses in Beams)
Miz = ∫ dMz = ∫ yσdA= M 3） （
A A
dFN= σdA
dMy = z σdA dMz = y σdA
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（ 将应力表达式代入（1）式，得
σ = Eε
y
?
M
O
z x
ρ
?
y
应力分布规律： 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴 的距离成正比. 的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
?
(Stresses in Beams) relationship） 四、静力关系 (Static relationship）
2.强度条件的应用 2.强度条件的应用(Application of strength condition) 强度条件的应用(Application （1） 强度校核
Mmax ≤ [σ] W
Mmax （2）设计截面 W ≥ [σ]
（3）确定许可载荷 Mmax ≤ W[σ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σt ] ≠ [σc ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴， 且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的 中性轴一般也不是对称轴
三、强度条件（Strength condition) 强度条件（
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式 1.数学表达式（Mathematical formula) 数学表达式（
Mmax σmax = ≤ [σ] W
(Stresses in Beams)
Miz = ∫ dMz = ∫ yσdA= M 3） （
A A
dFN= σdA
dMy = z σdA dMz = y σdA
(Stresses in Beams)
将应力表达式代入（ 将应力表达式代入（1）式，得
第五章 弯曲应力
28.8 106 Pa
28.8MPa
Z
cC
M
B
y 2
Iz
2.5103 N m 52 10-3m 7.6410-6 m4
17.0 106 Pa
17.0MPa
3)计算B截面上的最大拉应力和最大压应力
cB
M
B
y 2
Iz
4 103 N m 8810-3m 7.6410-6 m4
目录
第五章 弯曲应力\梁横截面上的正应力
5.2. 2 横力弯曲时横截面上的正应力
横力弯曲时梁横截面上不仅有正应力，而且有切应力。由于切 应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出 的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面 上的正应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比 值 l ＞5时，其误差甚小。因此，纯弯曲时横截面的正应力计算公
5.2.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
1. 横截面上正应力的计算公式
研究梁横截面上正应力的方法与 研究圆轴扭转时横截面上切应力所用 的方法相似，也须综合研究变形的几 何关系、应力与应变间的物理关系以 及静力平衡关系。
1) 变形的几何关系 取截面具有竖向对称轴（例如
矩形截面）的等直梁，在梁侧面画 上与轴线平行的纵向直线和与轴线 垂直的横向直线，如图a所示。然后 在梁的两端施加外力偶Me,使梁发生 纯弯曲（图b）。此时可观察到下列 现象：
上式是研究梁弯曲变形的基本公式。由该式可知，EIz越大，曲
率半径越大，梁弯曲变形越小。EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，
称为梁的弯曲刚度。
将上式代入式 σ E y ，得 My
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
材料力学-弯曲应力
超静定梁
超静定梁
q
Hale Waihona Puke L/2L/2q
L
M
M
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
合理放置截面
增大 WZ
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理放置截面
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
*
充分利用材料特性合理设计截面
脆性材料：
宜上下不对称截面：
T 形，不等边工字型，不等边矩形框等；
中性轴偏向受拉区的一侧
理想的中性轴的位置: 应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。
*
讨论：钢筋混凝土楼板，钢筋应该铺设在哪一边？
等强梁的概念与应用
等截面梁WZ为常数，横力弯曲时弯矩M是随截面位置变化的。只有|M|max位置的横截面上应力达到[]。 不合理！
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重
材料的许用应力
起重量
跨度
试选择工字钢的型号。
例题
（4）选择工字钢型号
（5）讨论
（3）根据
计算
（1）计算简图
（2）绘弯矩图
解：
36c工字钢
*
作弯矩图，寻找需要校核的截面
要同时满足
分析：
非对称截面，要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
强度条件
h
max
*
叠合梁问题
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕= 10 MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷
1.画梁的剪力图和弯矩图
超静定梁
q
Hale Waihona Puke L/2L/2q
L
M
M
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
合理放置截面
增大 WZ
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理放置截面
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
*
5-6 提高梁强度的主要措施
合理设计截面
*
充分利用材料特性合理设计截面
脆性材料：
宜上下不对称截面：
T 形，不等边工字型，不等边矩形框等；
中性轴偏向受拉区的一侧
理想的中性轴的位置: 应是最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力。
*
讨论：钢筋混凝土楼板，钢筋应该铺设在哪一边？
等强梁的概念与应用
等截面梁WZ为常数，横力弯曲时弯矩M是随截面位置变化的。只有|M|max位置的横截面上应力达到[]。 不合理！
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重
材料的许用应力
起重量
跨度
试选择工字钢的型号。
例题
（4）选择工字钢型号
（5）讨论
（3）根据
计算
（1）计算简图
（2）绘弯矩图
解：
36c工字钢
*
作弯矩图，寻找需要校核的截面
要同时满足
分析：
非对称截面，要寻找中性轴位置
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。
强度条件
h
max
*
叠合梁问题
悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕= 10 MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷
1.画梁的剪力图和弯矩图
材料力学课件第五章 弯曲应力
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
材料力学 第5章 弯曲应力
材料力学
（三）静力学关系
FN x
dA 0
A
Mz A (dA) y M
1 Mz
EI z
由(2)(3)两式可得
… …(3)
x
M y Iz
z x
y
EIz ——抗弯刚度
...... (4)
材料力学
（四）最大正应力
… …(5)
z x
Wz
Iz ymax
——抗弯截面系数
y
z
D
z b
实心圆截面
Pa
92.6MPa
④全梁最大正应力
max
M max Wz
67.5103 6.48 104
Pa
104
.2MPa
材料力学
5.4 弯曲切应力
一、 矩形截面梁横截面上的切应力
x dx 图a
M(x) Fs(x)
Fs(x) y
x 图b
dx M(x)+d M(x)
z
t1
x
b FN1
t
y FN2 图c
1、两点假设： ①切应力与剪力平行； ②距中性轴等距离处，切应力 相等。 2、研究方法：分离体平衡。
60
103 (60 10 3 ) 5.832 10 5
Pa
61.7MPa
材料力学
1 q=60kN/m
A
B
1m
2m
1
180 30
12 z
120 y
qL2
M
8
+
M1 Mmax
x
③1-1截面上的最大正应力
Wz
Iz y
Iz h2
6.48 10 4 m3
1max
第五章 弯曲应力
C
xc
比较： 比较 Ix1、Ix2、Ixc 的大小
x1
求右图对形心轴的惯性矩。 例3 求右图对形心轴的惯性矩。 解：
20 ×1203 120 × 203 I z = I z1 + I z 2 = + 12 12 = 2.96 ×106 mm 4 I y = I y1 + I y 2
zc
∑S = ∑A
h
z y D d
空心圆截面 W =
πD3
32
(1 − α )
4
d α= D
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ycmax 和
yt max 直接代入公式 σ = My 求得相应的最大正应力 Iz
σ cmax
σt max =
ycmax
M
Myt max Iz Myc max Iz
M( x) 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ = Wz 弯曲正应力强度条件: 弯曲正应力强度条件
例1：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用 图示梁的截面为T 压应力分别为［ ］，则 压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳 比值为多少？（Ｃ为截面形心） 比值为多少？（Ｃ为截面形心） ？（Ｃ为截面形心
A
I z = ∫ y dA
2 A
2 A
dA
I P = ∫ r dA
y
A
O
r
z
IP = I y + I z
z
dA
dr
已知：圆截面直径d 例2 已知：圆截面直径 求：Iy， Iz
dA = 2 rdr π
r C
IP 1 Iy = Iz = = ∫ r2dA 2 2 A
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b y P m m1
q(x)
m B x h
m
m1 O
Fs z q1 y
A n x n1 dx
p n
p1 n1 dx
x
关于切应力的分布作两点假设：
y
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
目录
(2)分析方法(Analysis method)
F1
F2 m
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
ymax
Iz
max
Wz
（2）弯矩 M 最大的截面 （3）抗弯截面系数 Wz 最
小的截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（1）计算简图 解： （2）绘弯矩图 （3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
max
Fa
C截面：
max
MC WzC
Fb
Fa 62 .5 267 32 3 WzB d1 0.16 3 32 41 .5 10 6 Pa 41 .5MPa MB
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性轴
中间层与横截面的交线－ －中性轴 中性层 横截面对称轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
m a o b m
n a o by
dx
n
？
胡克定理
二、物理关系
E
E
目录
y
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）根据 max
Wz M max
M max 计算 Wz
(6.7 50 ) 10 3 9.5 4 140 10 6
962 10 6 m 3 962 cm3
（4）选择工字钢型号
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4 10 3 52 10 3 t ,max 7.64 10 6 27.2 10 6 Pa 27.2MPa t
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
1dA
y
m’ m
n
式中：S z *
A
*
y1dA
为面积A*对中性轴的静矩.
FN1 FN 2
M * Sz Iz M dM * Sz Iz
' '
z
y A1 x
dFS bdx
由平衡方程
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
Fx 0
q=60kN/m
180 A C B 120 3. 全梁最大正应力 30 z y
最大弯矩
x l = 3m
FBY
K
M max 67.5kN m
截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I z 5.832 10 5 m 4
M x 90kN
max
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
Fb 62.5 160 32 46.4 10 6 Pa 46.4MPa 3 d 2 0.133 32
目录
（5）结论 轴满足强度要求
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN,起重量 F2 50 kN , 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max （4）计算 Wz ，选择工 字钢型号
'
1dA
y
m’ m
FN 2 FN1 dFS 0
化简后得
n
dM S * z dx I z b dM FS dx
FS S z Izb
*
FS S z I zb
*
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
y
A
4kN.m
4 10 3 88 10 3 c ,max 7.64 10 6 46 .110 6 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
ql 2 / 8 67.5kN m
x
67 .5 10 3
104 .17 10 6 Pa 104 .17 MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60 kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
I Z 5.832 10 5 m 4
M x 90kN
M EI
EI Z 200 10 9 5.832 10 5 C MC 60 10 3 194 .4m
1
ql 2 / 8 67.5kN m
(3)公式推导(Derivation of the formula) z 假设m-m,n-n上的弯矩为M和 y y M+dM.两截面上距中性轴 y1 处的 正应力为1 和2. A1
x
1
FN1 * 1dA
A
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
My1 M * dA A* y1dA A I Iz z M * Sz Iz M dM * FN 2 * 2dA Sz A Iz
三、静力学关系
FN、My、Mz
σ
σ
M EI Z
目录
1
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系
物理关系
E
M EI Z 1
y
E
y
静力学关系
正应力公式
为曲率半径，
1
为梁弯曲变形后的曲率
IZ Wz y max
My IZ
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
a
b
m´ n´
a´
b´ m´ 平面假设：
m x n
a´ b´
n´
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
§5-2 纯弯曲时的正应力
x
（压应力） 61.7 10 6 Pa 61.7MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力
120
x l = 3m
FBY
K
y
30 z
C 截面弯矩
M C 60 kN m
C 截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I Z 5.832 10 5 m 4
c,max 46.1MPa c
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 10 3 88 10 3 t ,max 7.64 10 6 28.8 10 6 Pa 28.8MPa t
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
3 36c工字钢 Wz 962 cm
（5）讨论
q(x)
m B x h
m
m1 O
Fs z q1 y
A n x n1 dx
p n
p1 n1 dx
x
关于切应力的分布作两点假设：
y
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
目录
(2)分析方法(Analysis method)
F1
F2 m
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
ymax
Iz
max
Wz
（2）弯矩 M 最大的截面 （3）抗弯截面系数 Wz 最
小的截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（1）计算简图 解： （2）绘弯矩图 （3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
max
Fa
C截面：
max
MC WzC
Fb
Fa 62 .5 267 32 3 WzB d1 0.16 3 32 41 .5 10 6 Pa 41 .5MPa MB
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性轴
中间层与横截面的交线－ －中性轴 中性层 横截面对称轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
m a o b m
n a o by
dx
n
？
胡克定理
二、物理关系
E
E
目录
y
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图 （2）绘弯矩图
（3）根据 max
Wz M max
M max 计算 Wz
(6.7 50 ) 10 3 9.5 4 140 10 6
962 10 6 m 3 962 cm3
（4）选择工字钢型号
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
yc 80 20 10 120 20 80 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4 10 3 52 10 3 t ,max 7.64 10 6 27.2 10 6 Pa 27.2MPa t
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
1dA
y
m’ m
n
式中：S z *
A
*
y1dA
为面积A*对中性轴的静矩.
FN1 FN 2
M * Sz Iz M dM * Sz Iz
' '
z
y A1 x
dFS bdx
由平衡方程
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
Fx 0
q=60kN/m
180 A C B 120 3. 全梁最大正应力 30 z y
最大弯矩
x l = 3m
FBY
K
M max 67.5kN m
截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I z 5.832 10 5 m 4
M x 90kN
max
M max ymax IZ 180 10 3 2 5.832 10 5
Fb 62.5 160 32 46.4 10 6 Pa 46.4MPa 3 d 2 0.133 32
目录
（5）结论 轴满足强度要求
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦 自重 F1 6.7kN,起重量 F2 50 kN , 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max （4）计算 Wz ，选择工 字钢型号
'
1dA
y
m’ m
FN 2 FN1 dFS 0
化简后得
n
dM S * z dx I z b dM FS dx
FS S z Izb
*
FS S z I zb
*
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩 矩型截面的宽度
y
A
4kN.m
4 10 3 88 10 3 c ,max 7.64 10 6 46 .110 6 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
ql 2 / 8 67.5kN m
x
67 .5 10 3
104 .17 10 6 Pa 104 .17 MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60 kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
I Z 5.832 10 5 m 4
M x 90kN
M EI
EI Z 200 10 9 5.832 10 5 C MC 60 10 3 194 .4m
1
ql 2 / 8 67.5kN m
(3)公式推导(Derivation of the formula) z 假设m-m,n-n上的弯矩为M和 y y M+dM.两截面上距中性轴 y1 处的 正应力为1 和2. A1
x
1
FN1 * 1dA
A
FN1
dFS’
A
B1 B FN2
My1 M * dA A* y1dA A I Iz z M * Sz Iz M dM * FN 2 * 2dA Sz A Iz
三、静力学关系
FN、My、Mz
σ
σ
M EI Z
目录
1
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系
物理关系
E
M EI Z 1
y
E
y
静力学关系
正应力公式
为曲率半径，
1
为梁弯曲变形后的曲率
IZ Wz y max
My IZ
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
a
b
m´ n´
a´
b´ m´ 平面假设：
m x n
a´ b´
n´
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
§5-2 纯弯曲时的正应力
x
（压应力） 61.7 10 6 Pa 61.7MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力
120
x l = 3m
FBY
K
y
30 z
C 截面弯矩
M C 60 kN m
C 截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I Z 5.832 10 5 m 4
c,max 46.1MPa c
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 10 3 88 10 3 t ,max 7.64 10 6 28.8 10 6 Pa 28.8MPa t
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
3 36c工字钢 Wz 962 cm
（5）讨论