勾股定理的证明及简单应用(一)

勾股定理的证明及简单应用

知识要点

1、直角三角形中，直角所对的边叫做斜边，是直角三角形中最长的边。互相垂直的两条边叫做直角边。在我国古代，人们把短直角边叫勾，长直角边叫股，斜边叫弦。 一般地，如图，∠A 所对的边，用a 表示。∠B 所对的边用b 表示，

∠C 所对的边用c 表示。当∠A=RT ∠时，a 表示斜边，当∠B=RT ∠时，

B 表示斜边，∠C=RT ∠时，c 表示斜边。

2、勾股定理：

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即222

a b c +=

特别地，勾股定理的运用，必须找准斜边，即直角所对的边， 当没有明确的直角时，斜边为三边中最长的边。

3、勾股定理的简单证明：

如图，已知△ABC 中 ∠C 为直角，BC=a,AC=b,AB=c.延长AC

到E ，使AE=BC ，过E 作CE 的垂线DE 交CE 于点E ，取DE=AC 。连接AD,BD

求证：222

a b c +=

4、基本勾股数

若a 、b 、c 均为自然数，且无1以外的整数公因式当它们满足关系式222

a b c +=时，我们

称（a 、b 、c ）为基本勾股数组。记一记： ()3,4,5， ()5,12,13，()7,24,25，()8,15,17，

()9,40,41，()11,60,61，…均为基本勾股数组。写出下表的勾股数从中发现什么规律？

a b

c a

b

c

A

C B

D

E

N 倍时，对于任何满足222a b c +=的a 、b 、c ，都成立吗？试证明！

5.解题技巧。

（1）利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边。 （2）作辅助线构造直角三角形解题。

（3）30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系。

（4）数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平面图形等知识点。

【典型例题】

例1．已知一个直角三角形的两直角边分别是6、8，那么斜边长是多少？

例2．在△ABC 中，∠C=90°，

（1）若a=5,b=12，则c= 。 （2）若b=7,c=9，则a 2

= 。 （3）若c=10,a:b=3:4，则a= ，b= 。 （4）若a=b ，c=m ，则a 2

= ，S △ABC = 。 （5）若a=b=m ，则c 2

= ，S △ABC = 。

例3．等腰三角形腰长为17cm,底边长为16cm,求底边上的高。

3，4，5 5，12，13， 7，24，25 8，15，17 9，40，41 6，8，10

15，36，39

27，120，123 28，96，100

40，75，85

2倍 3倍 4倍 5倍

例4.如图Rt △ABC 中 ∠C 为直角，∠B=60°，CD 垂直AB ，若BC 长为a ，用a 表示 AB,AC,CD,BD 的长度，并且求出BC:AC:AB 的值。若∠B=45°呢？

例5．求下列直角三角形中未知边a,b 的长度（如下图所示）

【课堂练习】

1．在ABC ∆中，若C B A ∠∠∠,,的度数比是5：2：3，则ABC ∆是（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．无法确定

2．适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为（ ） （1）13a =

，14b =，1

5

c =； （2）32A ∠=︒，58B ∠=︒； （3）7a =，24b =，25c =；

（4） 2.5a =，2b =，3c =。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是（ ） A ．5，12，13 B ．7，24，25 C ．8，15，17

D ．4，6，9

4．一个直角三角形三边长为连续自然数，则这三个数为（ ）

A ．1，2，3

B ．2，3，4

C ．3 ，4，5

D ．3.5，4.5，

5.5

5．下列语句：

（1）若△ABC 中，222

a b c +≠，则△ABC 不是直角三角形；

24

26

6

a

15

b

16

12

（2）若△ABC 为直角三角形，∠C=90°，则222a b c +=；

（3）若△ABC 中，222

c a b =+，则∠C=90°；

（4）勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方， 则此三角形为直角三角形”其中正确的个数是（ ）。 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

6．三角形三边长分别为6，8，10，那么它最长边上的高为（ ）

A ．6

B ．4.8

C ．2.4

D ．8

7.如图：在四边形

ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC

和AD 的长。

8.如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到公路的距离分别为300m 和500m ，两村庄之间距离为20010m ，现要在公路上建一汽车停靠点，使两村到停靠点的距离之和最小。问最小值是多少？

60°

D

C

B

A B

A

D C l