工程流体力学第九章 膨胀波和激波

第二节
激 波
气流通过凹面时从B开始通道面逐 渐减小，在超声速流情况下,速度就会 逐渐减小，压强就会逐渐增大。与此同 时,气流的方向也逐渐转向，产生一系 列的微弱扰动，从而产生一系列的马赫波,这种马赫波称 , 为压缩波。气流沿整个凹曲面的流动，实际上是由这 一系列的马赫波汇成一个突跃面(图9－4)。气流经过 这个突跃面后，流动参数要发生突跃变化：速度会突 跃减小；而压强和密度会突跃增大。这个突跃面是个 强间断面，即是激波面。
vsv =
p 2 − p1
ρ1
(a )
A －为圆管横截面的面积 应用连续性方程 A ρ 1 v s = A ρ 2 ( v s − v ) 连续性方程： 连续性方程
v=
ρ2 − ρ1 vs ρ2
(b)
联立 (a ) 和(b)
得正激波的传播速度 ：
vs = p 2 − p1 ρ 2 = ρ 2 − ρ1 ρ1 p1 p2 −1 p1
第六节
当
拉瓦尔喷管内的正激波
pm / p = 时，管内无流动。 ab 0 1
当 p / p <1 时，管内发生流动。 随pm的减小，速度逐渐增加， a b 当降低 pm至一定的值，喉道处 a b 将达到声速。在收缩段，气体 是等熵的亚声速流动状态，根 据可压缩流动的性质，即使 p 再下降，这里仍将保持压声速 流动，不会产生超声速流。
2 v12n v2 n ⊕ = h2 + = h0 h1 + 2 2
动量方程
能量方程
h1 +
v v = h2 + = h0 2 2
2 1
2 2
◆
斜激波前后的气流参数比
ρ 2 ρ 1
k+ 1 2 M1 s n β a i 2 1 = k− 2 2 M1 i 2 + a sn β k− 1
密度比：
压强比：
◆
激波的相交
同侧激波的相交 在壁面的同一侧先后有两次转折， 产生两条斜激波AC和BC，这两 条斜激波相交于C后合成一条较 强的斜激波CD。斜激波AC和BC α2 在处A、B分别转折了 和 α 角。
1
异向转折两斜激波的相交 超声速气流通过的管道两对壁 上都有转折处，上、下壁分别 在A1、A2处转折了α 1 ,α 2 角。 A1处发出的斜激波和A2发出 的斜激波相交于B处
vn v s β 1 1 in M1n = = a =M1s β a in c c 1 1
◆
斜激波前后的气流参数比
2 2 c 2 M1 s 2 β−(k− ) 2+(k− )M1 s 2 β 0.5 k a in 1 1 a in 2 =[ { ] [ ] } 2 2 c k+ 1 (k+ )M1 s β 1 a in 1
温度比：
p 2 k k− 1 2 2 2 = M1 s β− a in p k+ 1 k+ 1 1
2 2 1 1 a in T 2 M1 s 2 β−(k− ) 2+(k− )M1 s 2 β k a in 2 =[ ] [ ] 2 2 T k+ 1 (k+ )M1 s β 1 a in 1
其中以法向速度表示的马赫数为 ：
上式表示微弱压缩波是以声速传播的. 将式（9－1）代入式（b）得波面后得气流速度 波面后得气流速度
v= ( p 2 − p 1 )( ρ 2 − ρ 1 )
ρ1 ρ 2
=
ρ p1 p 2 ( − 1)(1 − 1 ) ρ 1 p1 ρ2
（9－2）
由此式可见，激波的强度越弱，气体的流速越低。如果是微弱的扰动 波，波面后的气体是没有运动的，即 p2 / p1 → 1 ，ρ2 / ρ1 → 1 ， v = 0 。
β
◆
气流通过激波时的基本方程
连续方程： ρ 1 v 1 n = ρ 2 v 2 n 法线方向动量方程：
p2 − p1 = ρ1v1n (v1n − v2 n )
切线方向动量方程： ρ1v1n (v2t − v1t ) = 0
能量方程： 由 得
2 v12 v2 h1 + = h2 + = h0 2 2
第三节
正激波前后的参数关系
气体在绝热的管内流动产生正激波。激波上游 （波后）和下游（波前）的参数分别以下脚标“1”、 “2” 表示。设激波等速移动，并将坐标系固连在激波 上，这样无论激波运动与否，均可将激波视为静止 的。通常把这种激波叫做定常运动的正激波或驻址 正激波。若激波面的面积为A（垂直于纸面），并设 正激波前后的气流参数分别为 T v p2 ρ 2 2 p1 ρ 1 T v1 2 1 ， ， ，和 ， ， ， ， 则可以根据以下四个方程—连续性方程、动量方 程、能量方程和状态方程来建立正激波前后各参数 之间的关系式。
（9－1 ）
ρ1 1 − ρ1 ρ2
二、正激波
ρ 由式（9－1）可见，随着激波强度的增大（ p 2 / p1 ， 2 / ρ1 增大），激波 的传播速度也增大。若激波强度很弱，即 p2 / p1 → 1 ， 2 / ρ1 → 1 。 ρ 此时激波已成为微弱压缩波，则式（9－1）可写成：
vs = p 2 − p1 = ρ 2 − ρ1 dp =c dρ
音速比：
斜激波后的马赫数：
v n v s (β− ) δ 2 2 in = =M2s (β− ) δ a in c c 2 2
− M2s (β− ) a in δ M12s −2 β+(k− )/2 a in 1 = 2 M1s β a in k a s 2 β−(k− )/2 M1 in 1
波前后马赫数的关系：
由上面三式可得 普朗特（Prandtl）关系式 ：
M a ∗,1 M a ∗, 2 = 1
三、正激波前、后参数的关系式
1.速度比 速度比 2.压强比 压强比 3.密度比 密度比 4.温度比 温度比 5.声速比 声速比 6.马赫数比 马赫数比
ρ ρ
2 1
v2 = 1 −
1 kMa
2 1
(
p2 − 1) v 1 p1
v12 = v12n + v12t
2 2 2 v2 = v2 n + v 2 t
2 v12n v2 n vt21 ⊕ h1 + = h2 + = h0 − = h0 2 2 2
由上面的分析我们可以知道，气流通过斜激波时，只有法 向速度分量减小，而切向速度不变。同时气流通过斜激波 时，法向总焓的值没有变化。因此，可以将斜激波视为以 法向分速度为波前速度的正激波。
一、激波的基本控制方程
连续性方程： 连续性方程： 动量方程： 动量方程： 能量方程： 能量方程： 或 状态方程 ：
ρ1v1 = ρ 2 v2
p2 − p1 = ρ1v1 − ρ 2 v2
2
2 2
2
v1 k p1 v2 k p2 + = + 2 k − 1 ρ1 2 k −1 ρ2
v1 c v c k + 1 c∗ + 1 = 2 + 1 = 2 k −1 2 k −1 k −1 2
ab m 0
拉阀尔喷管 喷管前部进口处是滞止压强p， 0 出口以后环境压强通常称为背压， 记以 。喉部的流动参量计以下 p b 标“cr”。
a b m
第六节 拉瓦尔喷管内的正激波
（1）
在喷管上下游压强差的作用下，气体流过喷管。在 收缩段内是亚声速流，流动速度越来越快，压强不 断下降。在喉部，马赫数最大，但小于1，压强最低。 在扩张段内也是亚声速流，速度逐渐减慢，压强逐 步上升，在出口处，出口压 。 b p=pm a pm p （2） a b = 1
一、激波的分类
1. 斜激波（超声速气流 经过激波流动方向变化）
2.正激波 （超声速气流 经过激波流动方向不变化）
一、激波的分类
3.脱体激波（超声速气流
流过钝头物体产生的激波）
激波实例： 激波的流动不能作为 等熵流动处理。但是， 气流经过激波可以看作是绝热过程。
6
二、正激波
正激波的形成过程：直圆管在活塞右 正激波的形成过程 侧是无限延伸的，开始时管道中充满静止气体 (a) ，活塞向右突然作加速运动，在一 段时间内速度逐步加大到v，然后以等速v运动. 活塞表面靠近的气体依次引起微弱的扰动， 这些扰动波一个个向右传播。 (b) ，当活塞不断向右加速时，一道接 一道的扰动波向右传播，而且后续波的波速总 是大于现行波的波速，所以后面的波一定能追 上前面的波。 (c) ，无数个小扰动弱波叠加在一起形 成一个垂直面的压缩波，这就是正激波。
斜激波前气流的法向分速度是超音速，斜激波后的法 向分速度是亚音速。斜激波后的气流的速度，则根据切向 气流的分速度大小的不同，可能大于音速也可能小于音速。
第五节 激波的反射与相交
自由界面上的反射
在自由界面上的反射
在固体避面上的反射
λ型激波系
从等压自由界面发生出来的应是膨胀波。在固体壁面上反射 时反射斜激波的激波角会大于入射斜激波的激波角 。若转折 角大于该来流马赫数下的最大转折角，此时入射激波与反射 激波就会如图所示的那样，形成λ型的激波系 λ
◆
正激波和斜激波基本方程的对照表
正激波
，
斜激波 1n,2n
v h = h0 − t 2
⊕ 0 2
速度下脚标
1，2
总焓
h0
连Baidu Nhomakorabea方程
p1v1 = p2 v2
2 p 2 − p1 = ρ1v12 − ρ 2 v2
p1n v1n = p 2 n v2 n
2 p2 − p1 = ρ1v12n − ρ 2v2n
2 2 2 2
2
p
ρ 1T
1
=
1
p
ρ
2
2
T
2
二、普朗特关系式
由能量方程和动量方程可得：
v1 − v 2 = p
2 2 p1 c2 c 12 − = − ρ 1v1 kv 2 kv 1
ρ 2v2
而
k +1 2 k +1 2 c = c∗ − v1 2 2
2 1
2 c2 =
k +1 2 k +1 2 c∗ − v2 2 2
工程流体力学
第九章 膨胀波和激波
第一节
膨胀波
当超声速流流过凸 曲面或凸折面时，通道 面积加大，气流发生膨 胀，而在膨胀伊始因受 扰动而产生马赫波。这 种气流受扰后压强将下 降，速度将增大情况下 的马赫波称为膨胀波。
◆膨胀波产生的特点：
1.超声速来流为定常二维流动,在壁面折转处必
定产生一扇型膨胀波组，此扇型膨胀波是有无 限多的马赫波所组成 2.经过膨胀波组时，气流参数是连续变化的， 其速度增大，压强、密度和温度相应减小,流动过程为绝热等熵的膨 胀过程. . 3.气流通过膨胀波组后，将平行于壁面OB流动. 4.沿膨胀波束的任一条马赫线，气流参数不变，固每条马赫线也是 等压线。而且马赫线是一条直线 . 5. 膨胀波束中的任一点的速度大小仅与 该点的气流方向有关.
Ma 2 = Ma1 Ma1−2 + ( k − 1) / 2 kMa12 − ( k − 1) / 2
第四节 斜激波
当超音速气流流过图 中所示 的凹壁面时将产生斜激波,气 流的速度由超音速变为亚音 速，而且流动的方向也将发 生变化。壁面的转折角为 ， δ 用角标1和2分别表示波前和 波后，n和t分别表示速度与 激波面垂直和平行的分量， 激波与波前壁面的交角称激 波角， 。
p 0 p 0
pm p 1 < ab< 1 p p 0 0
此时喉部达声速 ， t 1 M=，在收缩段和扩张段均为 亚声速流。 pm p p （3） 2 < ab< 1
p 0 p 0 p 0
拉伐尔喷管内的流动 在扩张段中将产生激波现象。喉部处的声速流进入扩张段后成为超声速流，而在 某处截面产生正激波，超声速流通过正激波后成为亚声速流，压强升高，直到出口 处达到了背压 p=p 。激波的位置是和压强比有关的，随着背压的降低，激波逐 ab m 渐从喉道移向出口处。当小于一定值后，激波移出管道成为斜激波，整个扩张段为 超声速流，并且不再随背压的变化而变。
二、正激波
激波的传播速度：
（1）v s －激波向右的传播速度，激波
后气体的运动速度则为活塞向右移动的 速度v .. （2）当把坐标系建立在激波面上时， 激波前的气体以速度 v1 = vs 向左流向 激波，经过激波后气体速度为 vs −v ,
二、正激波
应用动量方程 动量方程: 动量方程
A( p1 − p2 ) = Aρ1vs [(vs − v) − vs ]
p2 2k = Ma p1 k +1
2 1
−
k −1 k +1
=
k + 1 Ma 12 k − 1 2 + Ma 12 k − 1
T2 2kMa2 − (k −1) 2 + (k −1)Ma12 1 =[ ][ ] 2 T1 k +1 (k +1)Ma1
c2 2kMa12 − (k − 1) 2 + (k − 1)Ma12 0.5 = {[ ][ ]} 2 c1 k +1 (k + 1)Ma1