“定区间动轴法”求区间最值

“定区间动轴法”求区间最值

所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间[,]a b （或(,)a b ）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴0x a <、

a ≤0x ≤

b 、0x b >三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大

值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分02a b x +<

和0x ≥2

a b

+两种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、

思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行.

1．条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值

例1已知2

()43,f x x x x R =++∈，函数()g t 、()h t 表示函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值，最大值，求()g t 、()h t 表达式.

分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[,1]t t +在数轴上相对固定，让对称轴2x =-的区间[,1]t t +内外移动，即分成2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值.而只需分2-≤

(1)2t t ++与(1)

22

t t ++->两种情况讨论便可求出()f x 在区间[,1]t t +上的最大值. 解：由2

2

()43(2)1f x x x x =++=+-，知图象关于2x =-对称，结合图象知， 当2t -<，即2t >-时，2

()()43g t f t t t ==++；

而当t ≤2-≤1t +，即3-≤t ≤2-时，()(2)1g t f =-=-

当12t +<-，即3t <-时，2

()(1)68g t f t t t =+

=++.

∴2268,(,3)()1, [3,2]43,(2,)t t t g t t t t t ⎧++∈-∞-⎪

=-∈--⎨⎪++∈-+∞⎩

.

当2-≤

(1)2t t ++，即t ≥52-时，2

()(1)68h t f t t t =+=++当(1)22t t ++->，即52

t <-时，2

()()43h t f t t t ==++.

∴2

2568,[,)2

()543,(,)2

t t t h t t t t ⎧++∈-+∞⎪⎪=⎨⎪++∈-∞-⎪⎩.

评注：本题采用了“定区间动轴法”， 分2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况和2-≤

(1)2t t ++；(1)

22

t t ++->两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、思维混乱，变得脉络清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.

此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是：审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的原因主要有：字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识.

例2已知二次函数()y f x =的定义域为R ，(1)2f =且在x t =处（t ∈R ）取得最值，若()y g x =为一次函数，且2

()()23f x g x x x +=+-

(1)求()y f x =的解析式

(2)若[1,2]x ∈-时，()f x ≥1-恒成立，求t 的取值范围

分析：（2）若[1,2]x ∈-时，()f x ≥1-恒成立，条件的实质即为：当[1,2]x ∈-时()f x 的最小值在于或等于1-，从而将问题归结为区间最值问题.作出函数的大致图象，借助函数图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论.

解：(1)设2

()()f x a x t b =-+，∵()g x 为一次函数，∴1a =

又(1)2f =，∴2

(1)2t b -+=，∴221b t t =-++，

∴()2

221f x x tx t =-++

(2)即min ()f x ≥1-

①当1t <-时，min [()]f x =(1)f -=24t +≥1-，得t ≥34

-

②当1-≤t ≤2时，min [()]()f x f t ==2

21t t -++≥1-

，得1t

≤1③当2t >时，min [()]f x =()2421f t =-+≥1-，得t ≤3

由①，②，③得：1t ≤3.

评注：给定自变量区间求解最值问题时，最重要的策略就是结合二次函数图象，利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值.

2．通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解

例3设函数2

()45f x x x .

当2k

时，求证：在区间[1,5]上，3y

kx

k 的图像位于函数()f x 图像的上方.

分析：通过转化思想，将文字语言3y kx k 的图像位于函数()f x 图像的上方，转化为符号语言2()

(3)(45)0g x k x x x ，当[1,5]x 时恒成立.而当[1,5]x 时，2

()

(3)(45)

0g x k x

x x

恒成立只需min [()]0g x ，所以，

本题的实质为区间最值问题.

解：当[1,5]x

时，2()45f x x x .

2()(3)(45)g x k x x x

2

(4)(35)x k

x

k

2

2

42036

2

4

k k k x

，

2k

，∴

412k

. 又15x ， ① 当41

12

k

，即26k 时，取42

k

x ， min

()g x 2

2

2036

1

106444

k k k . 216

(10)64,

k ∴2

(10)64

0k

，

则min ()0g x .

②当

412

k ，即6k 时，取1x ， min ()g x ＝20k

.

由 ①、②可知，当2k

时，()

0g x ，[1,5]x .

因此，在区间[1,5]上，(3)y k x

的图像位于函数()f x 图像的上方.

评注：因为2k 条件的限制，降低了问题的难度，使讨论的情况减少.很多问题通过转化思想都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的，体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉.