八年级数学实数与二次根式重难点概念(备课必备)

一、

①一个正数a 的平方根有两个±a ,但算术平方根只有一个a 。负数没有平方根和算术平方根。实际计算时要看题隐含的提前条件。要求某个正数的平方根，就是想，什么数的平方等于这个数。比如求81的平方根，就是形如x 2=81求x=? 就要想到9或-9的平方等于81，所以81的平方根是±81=±9 但题中给出81则=9

②0的算术平方根和平方根都是0本身，1的算术平方根是1，1的平方根是±1

③平方根的应用：已知某正方形的面积为144m 2 求该正方形的边长？ 设边长为a ，则有a 2=144，a=144=12m ④不管正负，任何一个数a 都有立方根，且只有一个，立方根的符号和a 一样！ -1、0、1的立方根都是本身 求其它的数的立方根就要想，什么数x 连乘三次=a ？则x 是a 的立方根，比如3×3×3=33=27 则3是27的立方根，用根号表示为327=3

⑤立方根的应用题：已经某正方体的体积为125cm 3，则该正方体的棱长为？设棱长为a,则有a 3=125 a=3125=5cm 二、

①实数包括有理数和无理数，在实际做题中，有理数就是整数与分数（有限小数、无限循环小数），无理数就是带有π的，和带根号开不尽的像8，以及无限不循环小数。

②从初一就学到每个有理数都对应着数轴上的一个点，现在学到实数包括无理数也是一样的，每个实数都对应着数轴上一个点，0的左边为负，右边为正，且越往左数越小，越往右数越大。 实数范围内之前学过的相反数、绝对值、倒数都是一样的规则。比如1-2的相反数是-（1-2）=2-1，|2-3|=-（2-3）=3-2，5的倒数为51=55 三、 ①形如a （a ≥0)的叫二次根式，注意根号下的a ≥0，否则题目计算不成立。（a ）2=a 这个a 在根号下，已经默认了a 为正数，所以就等于a 。但是2a =|a| 当a>0,2a =a ，当a<0，2a =-a ②二次根式的乘法：a ∙b =b a .（a ≥0,b ≥0) 反过来也成立，一般题中是默认了a ≥0,b ≥0 ，三个或多个根式相乘的规则是一样的，相乘时，根式前有系数的，把系数相乘。根式里有因数可以平方的，可以拿出来n m 2=m n (m>0），n m 2=-m n (m<0） .比如18=232⋅=32 ，

3)4(2⋅-=-（-4）3=43（实际题中不多见） ③二次根式的除法，b

a =

b a （a ≥0,b>0)，反过来也成立，注意这里b 在分母里，b ≠0。最简二次根式是指分母里没有根号，根号里已经开尽了。

④二次根式的加减法：只有相同根式的之间可能以加减，把系数加减，根式保留。如35-

25=2

55 根式不同的则保留为答案。如3+2。

带有根式的无理数的混合运算规则和以前学的一样。先乘除后加减，有乘方的先乘方，有括号的先算括号里的，从里到外。 ⑤二次根式化简方法：分母有根号的要分母有理化，分母为单独一个根号的就分子分母同时乘以分母，让分母的根号平方去掉，如果分子是根号的加减式则用平方差公式搞定。根号里有小数的要化成分数，有带分数的要化成假分数再分母有理化。根号下是形如完全平方式的，可以因式分解的则要因式分解开根号出来。

四、经典题型：

1、判断有理数和无理数，下列数中3

2、2π、3.141441444…、2.66666…、8、-364无理数有（ ）个？ 2、若a 为实数，则下列式子一定是负数的是？A -2a ， B -（a-1)2、 C -a 2、 D -（a 2+1)

3、若2x =-x ，则实数x 在数轴上的点在（ ）

A 原点右侧，

B 原点左侧、

C 原点或原点右侧、

D 原点或原点左侧

4、若2-a 的立方根是2-a 则a=_______

5、|a-4|+2+b =0,则a 2+b 2=________

6 当12+a +2-b 的值最小时，则a.b=________

7、如图数轴 —a ——0—b ———c ——→ 化简2a +c b -+a c -=______

8、2

1--a a 有意义，则a 的取值范围是_______

9、若2)3(-x =3-x ，则X 的取值范围是______

10、已知7的整数部分为a ，小数部分为b ，求3

1b(7+a)的值。 11、一个正数的平方根是a+2和a -8 则这个正数是____ 3a 的立方根是______

12、计算：①（5+3）（2-5） ②（26+4）（26-4） ③ （23-2）2

④ 31827+ ⑤（12—21）÷2

13解方程：①8x 3-3=24 ② (x+1)2+1=5

14应用题 ：①面积同为48m 2的正方形或是圆形，请计算比较哪一种形状的周长小？

②某电梯内空间是一个长方体，已知它底面是边长为2米的正方形，高3米，请问该电梯允许运的最长材料是多少米？（结果用根号表示）