圆的弧长和扇形的面积

24.4弧长和扇形面积教案

课标要求：会计算圆的弧长、扇形的面积

一、学情分析

九年级学生已具备较强的学习能力，又有圆的周长和面积知识的储备，本节难不大，学生将有兴趣学习。

二、学习目标：

1、理解弧长公式和扇形面积公式的推导过程，掌握公式并能正确、熟练的运用两个公式进行相关计算；

2、经历用类比、联想的方法探索公式推导过程，培养学生的数学应用意识，分析问题和解决问题的能力。

3、通过介绍扇面的文化，渗透艺术文化熏陶和情感的教育。

三、教学重点和难点：

重点：弧长和扇形面积公式的推导和有关的计算。

难点：弧长和扇形面积公式的应用。

四、教学方法：

根据九年级学生的年龄特点和心理特征以及现有的知识水平，老师通过扇子文化导入，可以激发学生的学习兴趣。在讲解新课时我主要采用启发式教学法，以问题链的形式，让学生通过探究由特殊到一般，自己得出n°圆心角所对弧长公式后，再利用类比方法得出n°圆心角所对扇形面积公式。同时再启发学生用联系和发展的观点得出扇形面积的第二公式。本节课设置多个练习，由简到难，重点巩固两个公式，培养和渗透学生几何建摸和几何推理应用意识，提高解决问题的能力和树立严谨的学习态度。

五、教学过程：

情境导入：

幻灯片展示：扇子文化：中国是世界上最早使用扇子的国家，并逐渐传入日本和欧洲的许多国家。中国民间流传的活佛济公的形象，惹人喜爱，它头戴破僧帽，衣衫褴褛，手持破蒲扇，疯疯癫癫，却爱济困解难，助人为乐，可谓是家喻

户晓的传奇人物。三国时蜀相诸葛亮，足智多谋，风流倜傥，辅助刘备建立霸业，每每羽扇纶巾装束，羽扇常不离手，成了他身份和智慧的象征。明代唐伯虎喜在扇面上作画题诗。有时一把普遍的扇子，一经名家题诗作画而身价百倍。在中国，最常见的是折扇。（一学生朗读）

幻灯片展示中国各种扇子，引出课题：弧长的扇形面积

（一）弧长：

1、复习什么是弧？结合幻灯片演示。

2、探求新知：

学生思考：

(1)半径为R 的圆,周长是多少?圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧?

(2)1°圆心角所对弧长是多少?

(3)n °的圆心角所对的弧长是多少?

教师提出问题，引导学生分析弧长和圆周长之间的关系，推导出n °的圆心角所对的弧长的计算公式。引导学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论。使学生明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论。

3、小试牛刀：

①已知弧所对的圆心角为900，半径是4，则弧长为______ ②已知一条弧的半径为9，弧长为8 ，那么这条弧所对的圆心角为_1600_。

4、简单应用：

③制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L (单位：mm ，精确到1mm)

学生解题，（一人板演）提问学生从图中获得哪些信息，通过练习，使学生掌握

ππ

2

弧长公式中弧长、半径、圆心角三者之间的关系．对实际问题引导学生分步分析，分步计算。体会数学来源于生活并服务于生活。

（二）、扇形面积

1、扇形定义

(1)通过幻灯片演示引出扇形，学生总结扇形定义。

(2)由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

2、练一练：

④判断五个图形是否是扇形。 观察图片，得出扇形定义，并能准确判断出什么样的图形是扇形。

由观察图片和图形得出概念，记忆较深刻，对熟练判断是否为扇形铺平道路。只有明确定义才能更好的学习更深一层次的知识。

3、探索扇形面积公式：

学生类比弧长公式的推导过程，探究扇形面积公式。

（1）半径为R 的圆,面积是多少？圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？

（2）1°圆心角所对扇形面积是多少？

（3）n °的圆心角所对的扇形面积是多少？

学生在探索出弧长公式的基础上,自己尝试寻找探索方法,将扇形面积和圆的面积结合起来，分析得出n °的圆心角所对的扇形面积公式。学生要学以致用，在弧长公式的推导过程中，是由老师引导着分析；而扇形面积公式完全由学生自己推导，锻炼他们的探索新知识的能力。体验成功的快乐。

学生思考：如何利用弧长表示扇形面积？

S=1/2lR

4、随堂练习：

⑤若扇形的圆心角为120°，弧长为

，则扇形半径为( )，扇形面积为( )。 ⑥ 如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是（ C ）

(A)300 (B)360 (C)450 (D)600

5、能力提升：

cm 108

1

⑦如图，水平放置的一个圆柱形排水管道的横截面半径为0.6m，其中水高

0.3cm，求截面上有水部分的面积（结果精确到0.01cm2）．

分析：要求图中阴影（弓形）面积，没有直接的公式，需要转化为图形组合的和差问题，即扇形面积与三角形面积的差。容易想到做辅助线利用垂径定理，先根据公式分别求出扇形和三角形面积，问题得到解决。

解：连接OA，OB，作弦AB的垂线OC，垂足为D,连接AC,则AD=BD.

∵OC=0.6，CD=0.3，

∴OD=OC－CD=0.3,

∴OD= CD

∵AD⊥DC,

∴AD是线段OC的垂直平分线，

∴AC=AO=OC.

∴∠AOD=60°,从而∠AOB=120°

S扇形OAB=

2

120

0.60.12 360

π

π

⨯=

在Rt⊿AOD中∵OA=0.6,OD=0.3 ∴AD=0.33，

∴AB=0.63，S⊿

OAB=

1

0.3

2

⨯=

∴S= S扇形OAB- S⊿OAB≈0.22（m2）

所以截面上有水部分的面积约为0.22m2。变式1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。(结果保留 )

有水部分的面积= S扇+S△

C D

π