高中数学平行关系.docx

第 4 节平行关系

最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线

面平行的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 .

知识梳理

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线 l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行 .

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定定

平面外一条直线与此平面内

aα，b α，a 的一条直线平行，则该直线平

理∥ b? a∥α行于此平面

性质定一条直线和一个平面平行，则

a∥α， a β，α过这条直线的任一平面与此

理∩β＝b? a∥b 平面的交线与该直线平行

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面 .

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

判定

一个平面内的两条相交直线与aα，b α，a

另一个平面平行，则这两个平面∩ b＝ P，a∥β，b 定理

平行∥β? α∥β性质两个平面平行，则其中一个平面α∥β，a α? a 定理内的直线平行于另一个平面∥β

如果两个平行平面同时和第三α∥β，α∩γ ＝个平面相交，那么它们的交线平a，β∩γ＝b? a

行∥b

[ 常用结论与微点提醒 ]

1.平行关系中的两个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α， a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

2.线线、线面、面面平行间的转化

1.思考辨析

诊断

(在括号内打“√”或“×”)

自测

(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()

(2)若直线 a∥平面α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

.(

.(

)

)

)

解析(1)若一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行或在平面内，故 (1)错误 .

(2)若 a∥α，P∈α，则过点 P 且平行于 a 的直线只有一条，故 (2)错误 .

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交，故(3)错误 .

答案(1)×(2)×(3)×(4)√

2.(教材习题改编 )下列命题中正确的是 ()

A. 若 a，b 是两条直线，且a∥ b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面

B.若直线 a 和平面α满足 a∥α，那么 a 与α内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a， b 和平面α满

足

a∥b，a∥α， bα，则b∥α

解析根据线面平行的判定与性质定理知，选 D.

答案D

3.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且mα.“m∥β”是“ α∥β”的()

A. 充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

解析当 m∥β时，可能α∥β，也可能α与β相交 .

当α∥β时，由 mα可知，m∥β .

∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 .

答案B

4.(2018 西·安模拟 )已知 m， n 是两条不同的直线，α ，β ，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 ()

A. m∥α，n∥α，则 m∥n

B.m∥n， m∥α，则 n∥α

C.m⊥α，m⊥β，则α∥β

D. α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

解析 A 中， m 与 n 平行、相交或异面， A 不正确； B 中， n∥ α或 n α， B 不正确；根据线面垂直的性质， C 正确； D 中，α∥β或α与β相交， D 错.答案C

教材练习改编

)如图，正方体1 1 1

D

1 中，E为DD 1

5.(ABCD－A B C

的中点，则 BD1与平面 AEC 的位置关系为 ________.

解析连接 BD，设 BD∩AC＝ O，连接 EO，在△ BDD1中， O 为 BD 的中点， E 为 DD1的中点，所以 EO 为△BDD 1的中位

线，则 BD1∥EO，而 BD1平面

ACE，EO 平面，所以

BD

1∥平面ACE.

ACE

答案平行

考点一与线、面平行相关命题的判定

【例 1】 (1)(2018 成·都诊断 )已知 m，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且 m α，n β.有下列命题：①若α∥β，则 m∥n；

②若α∥β，则 m∥β；

③若α∩β＝l ，且 m⊥ l，n⊥l ，则α⊥β；

④若α∩β＝l ，且 m⊥ l，m⊥ n，则α⊥β.

其中真命题的个数是 ()

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)(2018 安·庆模拟 )在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， M，N，Q 分别是棱 D1C1，

A1D1， BC 的中点，点P 在 BD1上且 BP ＝2BD1，则下面说法正确的是

3

________(填序号 ).

①MN∥平面 APC；② C1Q∥平面 APC；③ A，P，M 三点共线；④平面 MNQ∥平面 APC.

解析(1)①若α∥β，则 m∥ n 或 m，n 异面，不正确；

②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得 m∥β，正确；③若

α∩ β＝l ，且 m⊥ l，n⊥l ，则α与β不一定垂直，不正确；

④若α∩β＝l ，且 m⊥ l，m⊥ n， l 与 n 不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.

(2)如图，对于①，连接 MN，AC，则 MN∥AC，连接 AM，CN，

易得 AM，CN 交于点 P，即 MN 面 APC，所以 MN∥面 APC 是错误的 .

对于②，由①知 M，N 在平面 APC 内，由题易知 AN∥C1

Q ，且

AN

平面，

APC

所以 C1Q∥面 APC 是正确的 .

对于③，由①知， A，P，M 三点共线是正确的 .

对于④，由①知 MN面APC，又MN面MNQ，所以面MNQ∥ 面APC是错误的 .

答案(1)B (2)②③

规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个

定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟

悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项 .

2.(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断 .

(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情况，通过举反例否