第3章：定量预测4-趋势外推法
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皮尔：美国生物学家和人口统计学家(Raymond Pearl， 1870～1940年)， 皮尔曲线有时也被称作逻辑斯蒂(logistic) 曲线或生长曲线。由于该曲线可以反映生物的生长过程，所 以皮尔曲线在生物繁殖、人口发展统计和产品生命周期分析 等方面都有着广泛的应用。L为时间序列中Y值的极限值。
利用修正指数曲线模型，可以判断一 种产品的市场是否达到发展极限，一般说 来，发展速度慢时，表明冰箱已经接近有 效市场的上限，如果企业只生产一种产品， 就要考虑开发其它业务。所以该法一般适 用于“某些新商品，需求量变化为初期迅 速增加，一段时间后逐渐减少，且增长的 环比速度大体相等，最后趋向于某一个正 的极限常数。”
• 如果在序列中发现一阶向后差分为常数， 则套用线性模型。二阶为常数，套用二次 抛物线模型，三阶为常数，套用三次曲线 模型。EXCEL演示
三 多项式曲线趋势外推法
• 一般形式为： • Y=b0+b1t+b2t2+b3t3+…… +bktk • 其中：Y预测目标变量，t为时间，b为待定 系数 • 当K=1时，为线性模型，K=2时，为二次抛 物线模型，当K=3时，为三次多项式趋势模 型
• （一）线性趋势外推法： • 散点图呈线性趋势y=a+bt • 例子：某企业某种产品1996~2002年市场 销售量资料如下，试利用趋势外推法对这 种产品进行预测。直线模型实例 • 当数据量较小，可以采用手工算法。 • 这涉及到将t进行一下处理。奇数和偶数项
• （二）二次曲线趋势外推法 • Y=b0+b1t+b2t2 • 例子：某商店某种产品的销售量如表所示， 试预测1999年的销售量，并要求在90%的 概率 保证度下，给出预测的置信区间。二 次曲线实例数据 • 步骤：1选模型 ：①散点图②计算差分 • 2 求模型参数。
第四节 ：趋势外推法
一：含义及假定条件
• 当预测对象随着时间呈现某种水平、上升 或下降的趋势，并且无明显的季节波动， 又能找到一条合适的曲线反映这种变化趋 势时，就可用时间t为自变量，时序数值y为 因变量，建立趋势模型：Y=f(t) • 注意假设条件（1）预测目标的发展变化过 程没有跳跃，属于渐进变化。（2）决定过 去事物发展的因素在很大程度上仍决定事 物未来的发展。连续性原理 连续性原理
函数图形
ˆ ′ Y t = (a ln b )b t 2 ˆ ″ Y t = a (ln b ) b t
• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值， 因为当接近某一极限值时，特性值已不按指数规 律增长。在产品导入期阶段，产品需求增长很慢， 而随着时间的推移，社会需求不断增大，产品在 早期的市场中也逐渐完善起来，因而需求量会快 速增加，当产品的市场容量接近市场上限时，需 求量的增长速度就会慢下来。产品市场发展的全 过程就会经历发生、发展、成熟和衰退四个阶段， 而这正是生长曲线所能描述的。生长曲线又称S 曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀兹 曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟 期商品的预测。
六 生长曲线模型
一、Gompertz曲线 ˆ 模型形式：y = ka
bt
数学特点：对数的阶 差分的环比为常数
龚珀兹（Gompartz）：英国统计学家和数学家 （1779~1865），他在研究控制死亡率问题时提出 了一种曲线，多用于新产品的研制、发展、成熟和 衰退的分析。
二、皮尔曲线 L ˆ 模型形式：y = −bt 1 + ae 数学特点：倒数的一阶 差分的环比为常数
五 修正指数曲线预测模型
ˆ = k + ab t 模型形式：Yt 式中：t为时间，k、a、b为参数 k > 0,0 < b < 1 特点：一阶差分的环比为常数b ˆ ˆ ∇t Yt − Yt −1 = =b ˆ ˆ ∇ t −1 Y − Y
t −1 t −2
待定系数a，b，k的求法采用“三段和值法”进行。
• 估计标准误差SE:
δ=
ˆ) ∑ (Yi −Yi
i =1
n
2
n− p
其中， 为时间序列的长度 为时间序列的长度， 为限制条件 为限制条件， 其中，n为时间序列的长度，p为限制条件，即利用最小二乘法时的所列方程 可以简单理解为直线模型为2，抛物线模型为3，三次曲线为4， 数，可以简单理解为直线模型为 ，抛物线模型为 ，三次曲线为 ，最高次 数加1。 数加 。
• 三次曲线趋势外推法：步骤同二次曲线， 实例数据见三次曲线 • 多次曲线趋势外推法：同理 • 计算时可利用power（number，power） 如：12896 =？ 解法：可输入power（1289，6）求得。
四 指数曲线预测模型
ˆ yt = ae (a > 0)
bt
参数a为时间序列的初期水 a 平，必须大于0。 参数b为时间序列的平均发 展速度，可以为正，负值。
• 参数a，b的确定：通常将指数曲线方程式 化为直线形态后求出。两边求对数LN。 • 该曲线模型的判定方法：时间序列逐期增 长率大体相同，几乎按同一比例增减（又 称一阶差比率大致相等。）。 • 这种曲线模型能够对产品、技术发展的早 期阶段进行合理的描述。
指数曲线适合于市场初期，中后期就 不再适用，否则将达到一个荒谬的程度。因 为每一种产品的市场都有一个极限，愈接近 市场极限，市场发展速度就愈慢，不可能按 指数规律无限外推，于是便出现了所谓的修 正指数曲线模型。
二趋势模型及选择
• 正确识别并选择趋势模型是应用趋势外推 法的首要工作，基本方法有两种： 1 图形识别法 2 差分计算
1 直线， 指数 ，二次抛物线， 三次曲线等模型的图形 直线， 二次抛物线，
二次抛物线 直线
三次曲线 指数
2差分法
• 所谓差分，是变量的微小变化。根据历史 数据计算差分把数据修匀，将非平稳时间 序列转换为平稳序列，通过该平稳序列的 表现，来发现该套用那个模型。 • • • • • 假设时间序列为yt （t=1.2，3 ……，n） 一阶向后差分为： y’t = yt - yt -1 二阶向后差分为： y”t= y’t -y’t -1 三阶向后差分为： y”’t= y”t –y”t -1 多阶以此类推
利用修正指数曲线模型，可以判断一 种产品的市场是否达到发展极限，一般说 来，发展速度慢时，表明冰箱已经接近有 效市场的上限，如果企业只生产一种产品， 就要考虑开发其它业务。所以该法一般适 用于“某些新商品，需求量变化为初期迅 速增加，一段时间后逐渐减少，且增长的 环比速度大体相等，最后趋向于某一个正 的极限常数。”
• 如果在序列中发现一阶向后差分为常数， 则套用线性模型。二阶为常数，套用二次 抛物线模型，三阶为常数，套用三次曲线 模型。EXCEL演示
三 多项式曲线趋势外推法
• 一般形式为： • Y=b0+b1t+b2t2+b3t3+…… +bktk • 其中：Y预测目标变量，t为时间，b为待定 系数 • 当K=1时，为线性模型，K=2时，为二次抛 物线模型，当K=3时，为三次多项式趋势模 型
• （一）线性趋势外推法： • 散点图呈线性趋势y=a+bt • 例子：某企业某种产品1996~2002年市场 销售量资料如下，试利用趋势外推法对这 种产品进行预测。直线模型实例 • 当数据量较小，可以采用手工算法。 • 这涉及到将t进行一下处理。奇数和偶数项
• （二）二次曲线趋势外推法 • Y=b0+b1t+b2t2 • 例子：某商店某种产品的销售量如表所示， 试预测1999年的销售量，并要求在90%的 概率 保证度下，给出预测的置信区间。二 次曲线实例数据 • 步骤：1选模型 ：①散点图②计算差分 • 2 求模型参数。
第四节 ：趋势外推法
一：含义及假定条件
• 当预测对象随着时间呈现某种水平、上升 或下降的趋势，并且无明显的季节波动， 又能找到一条合适的曲线反映这种变化趋 势时，就可用时间t为自变量，时序数值y为 因变量，建立趋势模型：Y=f(t) • 注意假设条件（1）预测目标的发展变化过 程没有跳跃，属于渐进变化。（2）决定过 去事物发展的因素在很大程度上仍决定事 物未来的发展。连续性原理 连续性原理
函数图形
ˆ ′ Y t = (a ln b )b t 2 ˆ ″ Y t = a (ln b ) b t
• 指数曲线模型不能预测接近极限值时的特性值， 因为当接近某一极限值时，特性值已不按指数规 律增长。在产品导入期阶段，产品需求增长很慢， 而随着时间的推移，社会需求不断增大，产品在 早期的市场中也逐渐完善起来，因而需求量会快 速增加，当产品的市场容量接近市场上限时，需 求量的增长速度就会慢下来。产品市场发展的全 过程就会经历发生、发展、成熟和衰退四个阶段， 而这正是生长曲线所能描述的。生长曲线又称S 曲线。S曲线（又称逻辑增长曲线）包括龚珀兹 曲线和皮尔曲线。两种曲线模型特别适用于成熟 期商品的预测。
六 生长曲线模型
一、Gompertz曲线 ˆ 模型形式：y = ka
bt
数学特点：对数的阶 差分的环比为常数
龚珀兹（Gompartz）：英国统计学家和数学家 （1779~1865），他在研究控制死亡率问题时提出 了一种曲线，多用于新产品的研制、发展、成熟和 衰退的分析。
二、皮尔曲线 L ˆ 模型形式：y = −bt 1 + ae 数学特点：倒数的一阶 差分的环比为常数
五 修正指数曲线预测模型
ˆ = k + ab t 模型形式：Yt 式中：t为时间，k、a、b为参数 k > 0,0 < b < 1 特点：一阶差分的环比为常数b ˆ ˆ ∇t Yt − Yt −1 = =b ˆ ˆ ∇ t −1 Y − Y
t −1 t −2
待定系数a，b，k的求法采用“三段和值法”进行。
• 估计标准误差SE:
δ=
ˆ) ∑ (Yi −Yi
i =1
n
2
n− p
其中， 为时间序列的长度 为时间序列的长度， 为限制条件 为限制条件， 其中，n为时间序列的长度，p为限制条件，即利用最小二乘法时的所列方程 可以简单理解为直线模型为2，抛物线模型为3，三次曲线为4， 数，可以简单理解为直线模型为 ，抛物线模型为 ，三次曲线为 ，最高次 数加1。 数加 。
• 三次曲线趋势外推法：步骤同二次曲线， 实例数据见三次曲线 • 多次曲线趋势外推法：同理 • 计算时可利用power（number，power） 如：12896 =？ 解法：可输入power（1289，6）求得。
四 指数曲线预测模型
ˆ yt = ae (a > 0)
bt
参数a为时间序列的初期水 a 平，必须大于0。 参数b为时间序列的平均发 展速度，可以为正，负值。
• 参数a，b的确定：通常将指数曲线方程式 化为直线形态后求出。两边求对数LN。 • 该曲线模型的判定方法：时间序列逐期增 长率大体相同，几乎按同一比例增减（又 称一阶差比率大致相等。）。 • 这种曲线模型能够对产品、技术发展的早 期阶段进行合理的描述。
指数曲线适合于市场初期，中后期就 不再适用，否则将达到一个荒谬的程度。因 为每一种产品的市场都有一个极限，愈接近 市场极限，市场发展速度就愈慢，不可能按 指数规律无限外推，于是便出现了所谓的修 正指数曲线模型。
二趋势模型及选择
• 正确识别并选择趋势模型是应用趋势外推 法的首要工作，基本方法有两种： 1 图形识别法 2 差分计算
1 直线， 指数 ，二次抛物线， 三次曲线等模型的图形 直线， 二次抛物线，
二次抛物线 直线
三次曲线 指数
2差分法
• 所谓差分，是变量的微小变化。根据历史 数据计算差分把数据修匀，将非平稳时间 序列转换为平稳序列，通过该平稳序列的 表现，来发现该套用那个模型。 • • • • • 假设时间序列为yt （t=1.2，3 ……，n） 一阶向后差分为： y’t = yt - yt -1 二阶向后差分为： y”t= y’t -y’t -1 三阶向后差分为： y”’t= y”t –y”t -1 多阶以此类推