趋势外推预测法
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大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
2. 加权拟合直线方程法的数学模型
假设加权拟合直线方程为 ，加权离差平方和为：
(3.1.10)
要使 达到最小，应用多元函数求极值的方法，对式（3.1.10）分别求 与 的偏导数，并令之为零：
(3.1.11)
(3.1.12)
对以上两式联立进行求解即可得到 、 的值。
3．加权拟合直线方程法的预测步骤
例3.2数据资料同上例，当 时，试用加权拟合直线方程法预测2004与2005年的利润额各为多少万元？
2． 拟合直线方程法数学模型
设拟合直线方程为：
（3.1.1）
式中 —第t期的预测值； —自变量，表示第 期的编号的取值； —趋势直线在y轴上的截距； —趋势直线的斜率。
假设 为时间序列第 期实际观察值 ， 为趋势直线的第 期预测值， 为第 期实际观察值与其预测值的离差，
假设 为总离差平方和，则
上式中， 的取值均已确定， 的大小实际上取决于待定系数 的取值，也就是说，上式中 实际上是以 为自变量的二元函数。所以，为使 值为最小，可分别对 求偏导，并令之为零。即：
广义地讲，任何预测方法都是某种推测或推断，而对时间序列而言，推测与推断都是一种外推（由现在推测未来，如移动平均法、指数平滑法等时间序列方法）。“趋势外推法”是根据事物发展的特有规律，推测并着重研究其可能的发展趋势，故由此而得名。趋势外推法是根据变量（预测目标）的时间序列数据资料，提示其发展变化规律，并通过建立适当的预测模型，推断其未来变化的趋势。很多变量的发展变化与时间之间都存在一定的规律性，若能发现其规律，并用函数的形式加以量化，就可运用该函数关系去预测未来的变化趋势。
解：
1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。
2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
=191.0+82.7 (3.1.9)
表 3.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）
年份
利润额y
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表3.2某家电企业1993～2003年年利润及加权拟合直线法计算表（单位：万元）
年份
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191+82.7×12=1183.4(万元)
可见，由于两种时序列编号方法不同，两条直线方程式（3.1.8）与（3.1.9）的截距不同。但斜率相同，两个拟合直线方程所求得的预测结果完全一样。请读者自己将数据的散点图及拟合曲线画在同一坐标系中，观察其中的异同。
4．拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为： ,其一阶差分为
即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。
4． 结论分析
比较例3.1与例3.2的预测结果，可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（ =0.8），使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言，由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则，使其预测结果更接近于实际观察值。而且随着 取值越小，对近期数据所赋权数就越大，因此近期预测值就越接近实际观察值。但是，要选择一个比较合适的 值也是一个比较困难的事，一般要经过若干次试探，使得加权离差平方和 达到最小为好。
设有 个时间序列观察值 ，待求的拟合直线为 ，它使 个观察值对该直线的离差分别为 。其中在 直线上方一侧的离差为正离差，下方一侧为负离差。如果简单地以离差代数和 的大小来反映该直线是否是最佳拟合直线，则可能出现正、负离差的相互抵消使离差代数和变小，甚至出现完全相抵消的情况，这说明 并不能真正反映拟合直线的优劣。因此，为了避免正、负离差的相互抵消，应采用离差平方和 的大小来反映拟合直线的拟合效果。最小二乘法就是利用数学上的微分求极值原理，将离差平方和趋于最小时的拟合直线作为最佳的一条预测直线方程，从而提高预测的精度。
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
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表3.1的左边以 来进行自变量 的取值，求得 ， ， 。表3.1的右边以0，1，2，…，10对自变量 进行取值，并求得 ， ， 。
3) 确定待定系数，建立预测模型。
1按表3.1左边的编号方法，有
= =604.5, = .
直线方程为
=604.5+82.7 (3.1.8)
由二次曲线外推预测法的模型322与拟合直线外推法相同的原理对式322求方程组323由于表示时间序列的编号如同拟合直线方程法一样当时间序列观察期的项数为奇数时令其中间项的编号为0则?式323可简化为
第
一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。
②按表3.1右边的编号法，有
， =82.7
直线方程为
=191.0+82.7 (3.1.9)
4) 用拟合直线方程求预测值。
1按式（3.1.8）进行预测：
604.5+82.7×6=1100.7（万元）
604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
2按式（3.1.9）进行预测：
191＋82.7×11=1100.7(万元)
直线趋势外推法只适用时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。
直线趋势外推法对时间序列数据，不论其远近如何都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因子的影响，使趋势值都落在拟合直线上，从而消除了不规则变动。
3.1.
1．加权拟合直线方程法的原理
上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小值。从结构上看，误差平方和 是每年的实际值 与该年的预测值 的偏差值的平方和，这意味着式 中的每一项都有同样的重要性，即不论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权数。但事实上，对于预测精确度来说，近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象，在预测期前的几期递增趋势明显且稳定，而远期的数量指标曾有过较大的跳动，按最小平方法，尽管时间序列后几期的误差平方都不大，但由于前面开始几期跳跃较大，也会使 较大。这就使得本来预测误差不大，精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测的实践中，要按照时间先后本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。
(3.1.6)
(3.1.7)
3．拟合直线方程法的预测步骤
例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如（表3.1）所示，试预测当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，2004、2005年企业的利润各为多少万元？
(3.1.2)
(3.1.3)
将式(3.1.2)和式(3.1.3)联立求解，得：
(3.1.4)
(3.1.5)
式中 ，
此处我们要注意到，自变量 的取值为1到 ,也就是说，自变量 的取值等于其下标 ，如 ， 。而实际上，从直线趋势法的原理来讲，时间变量 的取值代表的是时间变量的编号，而这种编号并不一定要从1开始。还可以从任一个自然数开始顺序编号，如 ， 。所以，我们可以利用这样的便利减少我们的工作量，这种方法称之为正、负对称编号法。即当时间序列的数据长度 为奇数时，取中数 的编号为0，那么 就构成了以0号为中心的正、负数对称的顺序编号，也就是令 ，使得 。如 ， ，那么 的取值为 ，此时显然有 ，从而达到简化计算的目的。使用正、负对称编号法时，式（3.1.4）、(3.1.5)可以简化为：
常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。
3.1.2
拟合直线方程法是根据时间序列数据的长期变动趋势，运用数理统计方法，确定待定参数，建立直线预测模型，并用之进行预测的一种定量预测分析方法。
1．拟合直线方程法的原理
拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。
趋势外推法的两个前提假设是：
1.技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去的技术发展，而且在很大程度上也决定着该技术的未来发展。这一前提假设实质上指的是在研究某项技术的过去、现在和未来的整个发展过程中，它保持相对不变，亦即内、外因保持相对不变。
2.技术或经济的发展过程，一般属于渐进变化，而不是跳跃式变化。这一前提假设实际上是指质的稳定性。
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0.1074
0.1342
0.1678
0.2097
0.2621
0.3277
0.4096
0.5120
0.6400
0.8000
1.0000
21.48
40.27
58.72
83.87
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206.44
286.72
384.00
544.00
260.00
1020.0
3536.57
趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。
3.1
直线趋势外推预测法是最简单的一种外推法，适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
假设由近及远的离差平方和的权重分别为 ， ， ,…， ，其中0≤ ＜1， =1，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后由近及远，按 比例递减。各期权重衰减速度取决于 的取值， 取值越大（越接近于1），衰减速度越慢；反之， 的取值越小（越接近于0），则衰减速度越快。如 =1，则就转化为如上述的非加权拟合直线方程法。从该意义上说，加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)
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大量事实证明，事物的发展过程，虽然有时可能出现某种跳跃，但主要还是渐进发展的。在这种情况下，趋势外推法就能为某些技术或经济的未来发展趋势与状况做出科学的预测。实际上,趋势外推法已成为科学技术发展渐进过程的一种主要预测方法，尤其是在技术预测领域中,其应用最为广泛。据统计,约有80％的技术预测使用这种方法。这种方法的主要优点是,可以揭示技术发展的未来趋势,并能够定量地估价某些功能特性。利用趋势外推法进行预测,在国外的工业公司和科研机构已经得到了广泛的应用，我国的某些技术和经济部门也已开始应用。
2. 加权拟合直线方程法的数学模型
假设加权拟合直线方程为 ，加权离差平方和为：
(3.1.10)
要使 达到最小，应用多元函数求极值的方法，对式（3.1.10）分别求 与 的偏导数，并令之为零：
(3.1.11)
(3.1.12)
对以上两式联立进行求解即可得到 、 的值。
3．加权拟合直线方程法的预测步骤
例3.2数据资料同上例，当 时，试用加权拟合直线方程法预测2004与2005年的利润额各为多少万元？
2． 拟合直线方程法数学模型
设拟合直线方程为：
（3.1.1）
式中 —第t期的预测值； —自变量，表示第 期的编号的取值； —趋势直线在y轴上的截距； —趋势直线的斜率。
假设 为时间序列第 期实际观察值 ， 为趋势直线的第 期预测值， 为第 期实际观察值与其预测值的离差，
假设 为总离差平方和，则
上式中， 的取值均已确定， 的大小实际上取决于待定系数 的取值，也就是说，上式中 实际上是以 为自变量的二元函数。所以，为使 值为最小，可分别对 求偏导，并令之为零。即：
广义地讲，任何预测方法都是某种推测或推断，而对时间序列而言，推测与推断都是一种外推（由现在推测未来，如移动平均法、指数平滑法等时间序列方法）。“趋势外推法”是根据事物发展的特有规律，推测并着重研究其可能的发展趋势，故由此而得名。趋势外推法是根据变量（预测目标）的时间序列数据资料，提示其发展变化规律，并通过建立适当的预测模型，推断其未来变化的趋势。很多变量的发展变化与时间之间都存在一定的规律性，若能发现其规律，并用函数的形式加以量化，就可运用该函数关系去预测未来的变化趋势。
解：
1) 绘制时间序列数据散点图。观察各散点的变化趋势是否可用直线方程来拟合。
2) 列表计算求待定系数所需的数据资料。
=191.0+82.7 (3.1.9)
表 3.1某家用电器厂1993～2003年年利润及拟合直线方程法计算表（单位：万元）
年份
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表3.2某家电企业1993～2003年年利润及加权拟合直线法计算表（单位：万元）
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191+82.7×12=1183.4(万元)
可见，由于两种时序列编号方法不同，两条直线方程式（3.1.8）与（3.1.9）的截距不同。但斜率相同，两个拟合直线方程所求得的预测结果完全一样。请读者自己将数据的散点图及拟合曲线画在同一坐标系中，观察其中的异同。
4．拟合直线方程法的特点
拟合直线方程的一阶差分为一常数。直线方程为： ,其一阶差分为
即该家用电器在2004、2005年的利润分别为1105.6、1189.26万元。
4． 结论分析
比较例3.1与例3.2的预测结果，可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，又由于加权拟合直线法的加权系数取值比较大（ =0.8），使得加权与不加权两种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言，由于加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则，使其预测结果更接近于实际观察值。而且随着 取值越小，对近期数据所赋权数就越大，因此近期预测值就越接近实际观察值。但是，要选择一个比较合适的 值也是一个比较困难的事，一般要经过若干次试探，使得加权离差平方和 达到最小为好。
设有 个时间序列观察值 ，待求的拟合直线为 ，它使 个观察值对该直线的离差分别为 。其中在 直线上方一侧的离差为正离差，下方一侧为负离差。如果简单地以离差代数和 的大小来反映该直线是否是最佳拟合直线，则可能出现正、负离差的相互抵消使离差代数和变小，甚至出现完全相抵消的情况，这说明 并不能真正反映拟合直线的优劣。因此，为了避免正、负离差的相互抵消，应采用离差平方和 的大小来反映拟合直线的拟合效果。最小二乘法就是利用数学上的微分求极值原理，将离差平方和趋于最小时的拟合直线作为最佳的一条预测直线方程，从而提高预测的精度。
3.1.1
时间序列的变化趋势从图形上看，就是序列呈现某种增长或衰减的趋势，这种趋势是长期趋势。尽管时间序列的项值是各方面因素综合作用的结果，但序列呈现的线性趋势，说明其中有的因素是长期起决定作用而致。必须把这个长期趋势研究清楚，才能进行外推预测。
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同，因而只要将其趋势直线加以延伸，便可预测未来的项值。一般而言，这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。
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表3.1的左边以 来进行自变量 的取值，求得 ， ， 。表3.1的右边以0，1，2，…，10对自变量 进行取值，并求得 ， ， 。
3) 确定待定系数，建立预测模型。
1按表3.1左边的编号方法，有
= =604.5, = .
直线方程为
=604.5+82.7 (3.1.8)
由二次曲线外推预测法的模型322与拟合直线外推法相同的原理对式322求方程组323由于表示时间序列的编号如同拟合直线方程法一样当时间序列观察期的项数为奇数时令其中间项的编号为0则?式323可简化为
第
一定的外界随机条件对应系统状态的一定表象，把一系列随机条件和对应的表象联接起来的长链条，既体现了系统运动变化的随机性，又体现了系统运动变化的约束性。因此，可以沿着这一链条，由系统的历史和现实的发展趋势推测其未来的发展趋势，即由已知推测未来。趋势外推法就是在大量历史的和现实的随机现象中，寻求它们的“平静的反映”，从而得到系统运动变化的规律，并据此规律推测出该系统未来的状况。这就是应用趋势外推法可以对事物的未来状况进行预测的理论根据。
②按表3.1右边的编号法，有
， =82.7
直线方程为
=191.0+82.7 (3.1.9)
4) 用拟合直线方程求预测值。
1按式（3.1.8）进行预测：
604.5+82.7×6=1100.7（万元）
604.5＋82.7×7=1183.4（万元）
2按式（3.1.9）进行预测：
191＋82.7×11=1100.7(万元)
直线趋势外推法只适用时间序列数据呈直线趋势的上升（或下降）变化。
直线趋势外推法对时间序列数据，不论其远近如何都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因子的影响，使趋势值都落在拟合直线上，从而消除了不规则变动。
3.1.
1．加权拟合直线方程法的原理
上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型的参数的常用方法。其基本思想就是要使预测结果与实际数据的误差的平方和达到最小值。从结构上看，误差平方和 是每年的实际值 与该年的预测值 的偏差值的平方和，这意味着式 中的每一项都有同样的重要性，即不论这个误差是近期的或是远期的，都赋予同等的权数。但事实上，对于预测精确度来说，近期的误差比远期误差更为重要。如一个经济现象，在预测期前的几期递增趋势明显且稳定，而远期的数量指标曾有过较大的跳动，按最小平方法，尽管时间序列后几期的误差平方都不大，但由于前面开始几期跳跃较大，也会使 较大。这就使得本来预测误差不大，精度较高的预测值也得承认有较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测的实践中，要按照时间先后本着重近轻远的原则，对离差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方和达到最小，求出加权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。
(3.1.6)
(3.1.7)
3．拟合直线方程法的预测步骤
例3.1某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如（表3.1）所示，试预测当时间变量的编号分别为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5和0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，2004、2005年企业的利润各为多少万元？
(3.1.2)
(3.1.3)
将式(3.1.2)和式(3.1.3)联立求解，得：
(3.1.4)
(3.1.5)
式中 ，
此处我们要注意到，自变量 的取值为1到 ,也就是说，自变量 的取值等于其下标 ，如 ， 。而实际上，从直线趋势法的原理来讲，时间变量 的取值代表的是时间变量的编号，而这种编号并不一定要从1开始。还可以从任一个自然数开始顺序编号，如 ， 。所以，我们可以利用这样的便利减少我们的工作量，这种方法称之为正、负对称编号法。即当时间序列的数据长度 为奇数时，取中数 的编号为0，那么 就构成了以0号为中心的正、负数对称的顺序编号，也就是令 ，使得 。如 ， ，那么 的取值为 ，此时显然有 ，从而达到简化计算的目的。使用正、负对称编号法时，式（3.1.4）、(3.1.5)可以简化为：
常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（又称折扣最小平方法）。
3.1.2
拟合直线方程法是根据时间序列数据的长期变动趋势，运用数理统计方法，确定待定参数，建立直线预测模型，并用之进行预测的一种定量预测分析方法。
1．拟合直线方程法的原理
拟合直线方程法的原理就是最小二乘原理。它是依据时间序列数据拟合一条直线形态的趋势线，使该直线上的预测值与实际观察值之间的离差平方和为最小。
趋势外推法的两个前提假设是：
1.技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去的技术发展，而且在很大程度上也决定着该技术的未来发展。这一前提假设实质上指的是在研究某项技术的过去、现在和未来的整个发展过程中，它保持相对不变，亦即内、外因保持相对不变。
2.技术或经济的发展过程，一般属于渐进变化，而不是跳跃式变化。这一前提假设实际上是指质的稳定性。
1
0
0.1074
0.1342
0.1678
0.2097
0.2621
0.3277
0.4096
0.5120
0.6400
0.8000
1.0000
21.48
40.27
58.72
83.87
131.07
206.44
286.72
384.00
544.00
260.00
1020.0
3536.57
趋势外推预测法是研究变量的发展变化相对于时间之间的函数关系。根据函数关系的形态不同，可分为直线趋势外推预测法、曲线趋势外推预测法。
3.1
直线趋势外推预测法是最简单的一种外推法，适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降的情形。此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述，并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
假设由近及远的离差平方和的权重分别为 ， ， ,…， ，其中0≤ ＜1， =1，说明对最近期数据赋予最大权重为1，而后由近及远，按 比例递减。各期权重衰减速度取决于 的取值， 取值越大（越接近于1），衰减速度越慢；反之， 的取值越小（越接近于0），则衰减速度越快。如 =1，则就转化为如上述的非加权拟合直线方程法。从该意义上说，加权拟合直线方程法是拟合直线方程法的改进和发展。
1) 列表计算有关数据。按式（3.11）与式（3.12）的要求，分别计算各年的 , , ， ， ， ，并加总求和，然后代入上式，有：
联立求解得 ， ，故预测模型为
(3.1.13)
2）预测值。
当 时， =101.68＋83.66×12=1105.6(万元)
当 时， =101.68＋83.66×13=1189.26(万元)