趋势外推预测方法简介
第六讲 趋势外推法
yt , t = 0,1,2,L3n −1
S1 = ∑yt , S2 = ∑yt , S3 = ∑yt
t =0 t =n t =2n n−1 2n−1 3n−1
于是得A、B、K的估计式为
1 Λ S3 − S2 n B = S −S 2 1 Λ B−1(S2 − S1 ) Λ A= 2 Λn B −1 Λn Λ Λ B −1 1 1 S − S2 − S1 K = S − A 1 = 1 Λn Λ n n B−1 B −1
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆ yt = K + ab t
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线模型为:
yt = 615.641 − 205.667 × (0.9172)t
差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平 稳序列。 差分法可分为普通差分法和广义差分法两类。 一阶、二阶、k阶差分 广义差分法就是先计算时间序列的广义差分 (时间序列的倒数或对数的差分,以及相邻项的比率 或差分的比率等),然后,根据算得的时间序列差分 的特点,选择适宜的数学模型。
差分法识别标准：
Λ
Λ
yt = 14.8768e0.1098t
预测1999年的产量 y = 14.8768e0.1098×7 = 32.1 1999
曲线的拟合优度分析
实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种 模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选 几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究 竟用哪一种模型。 评判拟合优度的好坏一般使用标准误差来作 为 优度好坏的指标：
第3章 趋势外推预测法讲解
年份
利润 额
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
第3章 趋势外推预测法
利润额 1200 1000
800 600 400 200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
1189.26万元。
第3章 趋势外推预测法
4．
比较例3.1与例3.2的预测结果,可以发现,由于时间 序列数据的线性趋势比较明显,又由于加权拟合直线法 的加权系数取值比较大（α=0.8）,使得加权与不加权两 种拟合直线法的预测结果很接近。但就一般而言,由于 加权拟合直线法按重近轻远的赋权原则,使其预测结果 更接近于实际观察值。而且α取值越小,对近期数据所 赋权数就越大,因此近期预测值就越接近于实际观察值。 但是,要选择一个比较合适的α值也是一个比较困难的 事,一般要经过若干次试探,
xt*yt
1 200 4 600 9 1050 16 1600 25 2500 36 3780 49 4900 64 6000 81 7650 100 9500 121 11220 506 49000
191 273.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018
yt为时间序列第t期实际观察值(t=1, 2, …, n),
其yˆ预t 测为值趋的势离直差线,的e第t t期yt预 测yˆt 值 ,yett为 a第ˆ t期bˆx实t 际观察值与
第3章 趋势外推预测法
趋势外推法
趋势外推法（trend projection）是生产预测中常用的一种方法。
这种方法是找出一系列历史数据的趋势线并外推于将来做中长期预测。
该方法的原理是：给趋势型时间数列拟合以时间单位为自变量的数学模型，然后以顺延的时间单位作已知条件，外推时间数列后续趋势值。
外推预测的准确程度取决于所拟合模型的拟合优度，最小二乘法以其所拟合模型的预测标准误差最小的优势成为最常用的趋势模型的拟合方法。
趋势外推法又分为以下几类：增长型趋势模型外推法（又包括：等差增长趋势模型、二级等差增长趋势模型、等比增长趋势模型等），周期波动趋势模型外推法，生命周期趋势模型法等。
一、增长趋势模型增长趋势模型包括等差增长趋势模型、二级等差趋势模型、等比增长趋势模型等，详述如下：（三）等比增长趋势模型当时间数列逐期变量值以同一比率增长时，可配以指数曲线增长模型：二、周期波动趋势模型季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于一年，且不稳定。
尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。
正弦曲线预测模型的一般形式为：只要对已知数据按上述各项要求加工填入以后，求解六元一次方程组，得β0～β5，代入预测方程即可开始预测。
三、生命周期趋势模型当时间数列变化呈前期增长缓慢、中期增长逐渐加速、后期增长逐渐平缓、末期逐渐加速负增长时，可配以生命周期趋势模型。
这类曲线包括能模拟生命周期的前期、中期和后期的龚珀资曲线、罗吉斯蒂曲线（蒲尔-里得）曲线以及能模拟生命周期中后期的修正指数曲线模型。
龚珀资曲线和罗吉斯蒂曲线是拟合从前期至后期的生命周期趋势，而后者是拟合从中后期至后期的生命周期趋势。
----摘自《市场预测方法与案例》。
趋势外推法法
第四节 趋势外推法趋势外推法，也称趋势延伸法，是根据预测目标的历史时间序列所揭示的变动趋势外推到未来以确定预测值的时序预测法。
可分为随手作图法，拟合直线方程法、拟合曲线方程法。
一、随手作图法这种方法是选定时间作为横轴，预测目标量作为纵轴，先按时间序列数据作出散点图。
然后根据备散在点所显示的趋势走向图形(直线或某种曲线)，运用直尺或曲线板随手画出一条沿各个点拟合度最佳的直线或曲线，并加以延伸，得出待预测时间对应的预测值。
该方法简便易行，不用建立数学模型，预测效果良好。
但这种方法全凭预测者的观察力和作图技巧，它直接影响到预测的精度。
二、拟合直线方程法这种方法是根据呈线性变动趋势的时间序列，拟合出直线方程bx a Y +=∧，再利用方程进行预测外推，得出预测结果。
直线方程bx a Y +=中，x 为按整数序编号的时间序列，Y 为预测目标量，a 、b 为参数。
设时刻为i x 时，对应的观察值为i Y ，n i ,,2,1 =。
根据这些数据我们要利用最小二乘法拟合出一条直线方程bx a Y +=∧即确定参数a 、b ，使拟合偏差i i Y Y ∧-的平方和∑∧-=22)(i i Y Y S 最小。
由微分法，令02=∂∂a S ，02=∂∂bS ，解之可得到∑∑---=-=x b Y x nb Y n a i i 11 （4-13） ∑∑∑∑∑--=22)())((i i i i i i x x n Y x Y x n b （4-14）当时间序列是整数项时，我们取i x 的中间项为0，其余按下列取值 …，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，… （中间项）例如 n=7时，i x 分别取为-3，-2，-l ，0，1，2，3七个数值。
这样规定i x 取值后，n 为奇数时有∑=0i x ，则计算参数a 、b 的公式可以简化为∑==-i Y nY a 1（4-15）∑∑=2ii i xY x b （4-16） 例8 某市五金公司1978年到l984年销售额资料为 年份 l978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 销售额 4923 5811 7171 8248 8902 9860 l0800(万元)试预测l985、1986两年的销售额。
5.非线性趋势外推预测分析法
第二步，求模型的参数 模型参数的计算如表5-3所示
年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 合计
表5-3 某产品销售量二次多项式曲线模型参数计算表
时序（t）
yt
t2
t4
ty
-4
10.0
16
256
-40.0
-3
18.0
9
81
-54.0
-2
25.0
4
16
-50.0
-1
30.5
1
1
-30.5
0
35.0
0
0
0.0
1
38.0
1
1
38.0
2
40.0
4
16
80.0
3
39.5
9
81
118.5
4
38.0
16
256
152.0
0
274.0
60
708
214.0
t2y
160.0 162.0 100.0 30.5
0.0 38.0 160.0 355.5 608.0 1614.0
调整的 R2 0.9547 ，F 632.6 F0.05(1,30), 则方程通过显著 性检验，拟合效果很好。标准误差为：175.37。
（5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采用
二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用方程：
yˆt 577.24 44.33t 3.29t2
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5.3 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法
一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：
yˆt aebt (a 0)
趋势外推法
根据上表，将年度作为横坐标，人数作为纵坐标，绘制出散 点图。
由散点图可知，应建立直线趋势方程： Y =a +bX 其中：Y — 人数 X — 年度 利用最小二乘法，可以得出a、b的计算公式：
可得：a = 390.7，b = 41.3
Y = 390.8 + 41.3X
所以，未来第三年的人力资源需求量为：
• 当时点数列不存在长期趋势和季节性变动时，采用平滑方法 预测； • 当时点数列存在长期趋势但不含季节变动时，宜采用趋势外 推方法预测； • 当时点数列存在长期趋势和季节变化时宜采用趋势季节模型 方法预测。
步骤：
• 运用定性方法确定因变量是否适合运用趋势外推法。如果适 合，则搜集y的历史数据，对其进行初步处理。（画出趋势 线） • 对y 的历史数据和X进行回归分析，求出a,b,得到趋势外推 模型。 • 运用趋势外推模型预测y值。
Y = 390.8 + 41.3×15 = 1010(人)
满足两个前提： 1、企业要有历史数据（一般使用过去五年的数据进 行预测）； 2、是这些数据要有一定的发展趋势可循。 • 比较简单，只能预测大概走势，作为初步预测时比 较有价值。源需求量在时间上
表现出明显的均等趋势时才使用的。
• 根据历史数据，在坐标轴上绘出散点图；然后根据
图形可以直观地判断拟合哪种趋势线，从而建立相 应的趋势方程； • 根据趋势方程可以对未来某一时间的人力资源需求 进行预测。
表1 某企业过去12年的人力资源数量
年度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数 510 480 490 540 570 600 640 720 770 820 840 930
趋势外推法
趋势外推法
经济预测与决策第四章趋势外推法
2．拟合直线法的原理
这种方法是基于最小二乘法原理，通过对时间序列数据拟 合得出一条直线，使得该直线上的预测值与实际观察值之 间的离差平方和为最小。
3．拟合直线方程法的数学模型
4．加权拟合直线法的数学模型
在拟合直线法中，计算离差平方和时对近期误差和远期误差 赋予的权重是一样的。实际中，近期数据对预测结果的影响 更有意义，也就是说，对于预测精确度而言，近期误差比远 期误差更为重要。因此，在计算离差平方和时，对离差平方 项按照近大远小的原则赋予不同权值，即离差平方项对应的 时间点距离现在越近，其赋权值越大。对加权离差平方和再 按照最小二乘法原理，使离差平方和达到最小，进而求出加 权拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线法。
4.2.2 线性趋势外推预测法的应用举例
【实例4-1】
已知A公司1998~2008年销售利润，详见表4-1。试预测该公 司2009年的销售利润。
【实例4-2】
仍以表4-1对应的数据来说明加权拟合直线方程法的应用。 表4-4给出了各期对应的权值。
【解】 首先，基于表4-1中数据绘制趋势图，如图4-1所示。 从图4-1可知，公司销售利润呈现直线上升趋势。因此采 取线性趋势外推预测法进行预测。 其次，基于表4-1中数据计算线性趋势外推预测法模型的 参数a、b。
4.4 生长曲线预测法 4.4.1 生长曲线预测法基本原理 4.4.2 生长曲线预测法的应用举例
4.5 习题
本章学习目标
4.1 趋势外推预测法概述
4.1.1 趋势外推预测法含义 4.1.2 常用趋势外推预测法简介
4.1.1 趋势外推预测法含义
趋势外推预测法（Trend extra polation）是根据事物过 去和现在的发展趋势推断未来发展趋势的一类方法的总称 。这类方法的基本假设是事物的未来发展趋势系过去和现 在连续发展的结果。
趋势外推预测法
1、最小二乘法确定直线方程
最小二乘法：通过对时间序列拟合直线，使得直线 上的预测值与实际观察值之间的离差平方和最小。
n
2
Q ( yt aˆ bˆxt )
t 1
❖ 然后利用数学上的最优化求解方法，通过求导 使Q值达到最小。
❖ 解得： aˆ y bˆx
n
(xt x)(yt y)
bˆ t1 n
❖ Ｍt(2)＝(Ｍt(1)＋Ｍt-1(1)＋…Mt-N+1(1))/N
式动中平：均Ｍ值t；(2)为N为第移t期动二时次期移数动。平均值；Ｍt(1)为一次移
设时间序列从某时期t开始具有线性增长趋势，且认为 未来时期也按线性趋势变化，则可建立如下趋势直 线方程：
at=2Mt(1)-Mt(2)
bt=2/(N-1)*(Mt(1)-Mt(2) )
模型关键：确定平滑系数和初始值
平滑系数a的确定：
（1）当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，a 应取小一些，如0.1~0.3，以减小修正幅度。 （2）当时间序列的波动较大时，应选择居中 的a值，如0.3-0.5。
❖ （3）当时间序列波动很大时，并呈现明显的 且上升或下降趋势时， a值应取大些，如0.60.8，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上 数据的变化。（4）在实际预测值中，可以取 几个a值进行试算，比较他们的预测误差，选 择误差小的那个a值。
(xt x)2
t 1Leabharlann ❖ 例1：已知A公司1998年—2008年的销售利润 如下表所示，是预测该公司2009年的销售利 润。
❖ 首先：判断数据的特点。
❖ 形式1：统计图 ❖ 形式2：差分
其次：确定参数。 方法1：利用“工具”——数据分析——回归 这里的回归是对时间t的回归。
趋势外推法
趋势外推法
趋势外推法（Trendextrapolation）是根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法的总称，用于 科技、经济和社会发展的预测，是情报研究法体系的重要部分。 趋势外推的基本假设是未来系过去和现在连续发展的结果。当预测对象依时间变化呈现某种上升或下 降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法 进行预测。 趋势外推法的基本理论是：决定事物过去发展的因素，在很大程度上也决定该事物未来的发展，其变 化，不会太大；事物发展过程一般都是渐进式的变化，而不是跳跃式的变化掌握事物的发展规律，依据这 种规律推导，就可以预测出它的未来趋势和状态。
运用一：预测未来的销售量或需求量等 【例 4-2】品种销售量如表 1 所示 表1 产品销售量资料(单位：万件) 2003 10 2004 18 2005 25 2006 30.5 2007 15 2008 38 2009 40 2010 39.5 2011 38
试预测 2012 年的销售量，并要求在 90%的概率保证程度下给出预测的置信区间。 【实验步骤】 ： 1．确定预测模型； 2．模型参数估计； 3．预测结果的置信区间估计。 注：Matlab 软件在数据计算方面比较容易，而 SAS 软件更体现在数据的整理和统计方面 第一步，确定预测模型，利用 Matlab 软件画出产品销售量与年份之间的关系图，结果 见图 1。 >> t=[2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011]' >> y=[10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38]' >> plot(t,y)
SE
( y yi^)
趋势外推预测方法简介
2001 2002 72.3 72.8
2003 73.2
第五章 趋势外推预测方法
5.3 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到 衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的 速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到 快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长 速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎 停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时 生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生 长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过 程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲 线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚 珀兹曲线和皮尔曲线。
lg yˆ lg k bt lg a （5.3.2）
式（5.3.2）在形式上已与式（5.3.1）表示的修正指数曲线相同。
第五章 趋势外推预测方法
6. 龚帕兹（Compertz）模型
yt kabt
取对数， ln yt ln k (ln a)bt 修正指数曲线。
特征： yt 线性变化。 yt
2 1.75
1.5 1.5
1.25
1 1
0.75
0.5
0.5
0.25
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ln a 0 0 b 1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
ln a 0 b 1
第五章 趋势外推预测方法
150 25
125 20
100
15 75
10 50
5
25
第3章 趋势外推预测法讲解
xt*yt
1 200 4 600 9 1050 16 1600 25 2500 36 3780 49 4900 64 6000 81 7650 100 9500 121 11220 506 49000
191 273.7 356.4 439.1 521.8 604.5 687.2 769.9 852.6 935.3 1018
a
Q
b
n
nt xt
t 1
yt
n
a nt xt
t 1
n
b nt xt2
t 1
0
b
第3章0.8时,试用加权拟合直 线方程法预测2004年与2005年的利润额。
解 (1) 列表，分别计算各年的n-t, αn-t, αn-tyt,αntxtyt,αn-txt，αn-tx2t,并加总求和
第3章 趋势外推预测法
线性趋势预测的基本思想就是假定影响时间序列的 项值的主要因素过去、现在和将来都大体相同,因而只要 将其趋势直线加以延伸,便可预测未来的项值。一般而言, 这种预测方法只适用于短期或经济平稳发展时期的预测。 常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程 法（又称折扣最小平方法）。
当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对 于未来时点的某个值（经济指标未来值）就可由上述 变化趋势模型（曲线方程）给出。这就是趋势外推的 基本思想。
第3章 趋势外推预测法
3.基本假设 趋势外推法的两个前提假设是： （1）假设事物的发展过程没有跳跃式发展。这一
前提假设实际上是指质的稳定性。 （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，
分别为e1, e2, …, en。其中在AB直线上方一侧的离差为
正离差,下方一侧为负离差。如果简单地以离差代数和
第四讲 趋势外推法
yt yt yt 1 B yt 1 yt 1 yt 2
当时间序列算得的一阶差分比率大致相等时,就可以 配修正指数曲线模型进行预测。
指数曲线模型的参数估计及应用
bt 对指数曲线模型 y t Ae 取对数,作变换,转化为直线模型。
ln y t ln A bt Yt ln y t , a ln A Yt a bt
年份
1963 1964 1965 1966 1967
时序 （t）
12 13 14 15 16
总额 （ yt ）
604.5 638.2 670.3 732.8 770.5
年份
1974 1975 1976 1977 1978
时序 （t ）
23 24 25 26 27
总额 （ yt ）
1163.6 1271.1 1339.4 1432.8 1558.6
修正指数曲线预测模型 1）模型的形式
ˆt K abt y
2）模型的识别
例4 我国卫生机构人员总数如表4.13所示，试预 测2003年我国卫生机构总人数。 解: 绘制散点图，如图4.13所示。
得:
所以我国卫生机构总人数修正指数曲线 模型为:
yt 615.641 205.667 (0.9172)t
差分特性 使用模型
一阶差分相等或大致相等 二阶差分相等或大致相等
三阶差分相等或大致相等 环比相等或大致相等 一阶差分比率相等或大致相等
一次线性模型 二次线性模型
三次线性模型 指数曲线模型 修正指数曲线模型
多项式趋势预测模型及应用
特别:直线(一元时间回归)模型参数估计的简捷算法
y t a bt
将 t 19 代入模型,得到2003年我国卫生 机构总人数的预测值:
趋势外推预测法
• 式中N---跨度，依数据的具体情况而定，其值越大则滑动平均的 平滑作用越大。
0 1, （3）一次指数平滑法。取定参数 ， 预测模型为
初值
s 0 x1，
s t x t (1 ) st 1 ˆ x s t 1 t
二、线性预测外推
（1）二次滑动平均法。二次滑动平均法就是对一次滑动平均序 列再做一次滑动平均，取跨度为N,二次滑动平均预测模型为
(2)二次指数平滑法。二次指数平滑法也是在一 次指数平滑基础上再次进行指数平滑后得到的 外推结果，预测公式为
1 1 s s （ 1 ） s t t t（ -1 t 1,2,...,T） 2 1 1 2 x ˆ t 1 st s t t 1,2,...,T 1 1 1
三、多项式趋势外推 在负荷预测中常用二次多项式趋势的三次指数 平滑等进行预测，预测公式为
3 2 3 s s 1 s t t 1 t x 2 ˆ lc ˆt b ˆ ˆt a l t t 1 2 3 ˆ t 3s 3 s s a t t t 1 2 3 ˆ b [ 6 5 s 2 5 4 s 4 3 s t t t t ] 2 21 2 1 2 3 c ˆt s 2 s s t t t 2 2 1
一、水平趋势外推
...， x T }，负荷水平趋 假定负荷变化的历史数据序列为{ x 1， x 2， 势变化规律，则可以由这组数据出发利用水平趋势外推法，求出负 荷的预测值序列{ x ˆ 1， x ˆ 2， ˆ T， x ˆ T 1， x ˆ T 2， ...， x ... } 。 (1)全平均法。预测模型为
趋势外推法
趋势外推法趋势外推法是一种使用历史数据来预测未来趋势的方法。
它基于一个基本假设，即未来的发展将延续过去的趋势。
这种方法常常被应用于经济、市场和社会领域的趋势预测。
本文将介绍趋势外推法的基本原理和应用，并通过一个实例来解释其实际应用。
趋势外推法基于观察到的趋势和周期性模式进行预测。
它假设未来变化的方向与历史数据中的变化方向一致，但可能会有一些变化幅度上的差异。
因此，它可以提供有关未来可能发展的大致方向和范围的预测。
这种方法可以应用于各种趋势预测，例如经济增长、市场销售额和人口发展等。
首先，收集一段时间内的历史数据，并通过绘制曲线或制作图表来分析这些数据。
然后，根据观察到的趋势和模式，推断未来可能的变化趋势。
举一个实际的例子，我们可以使用趋势外推法来预测一家公司未来一年的销售额。
首先，我们收集了公司过去五年的销售额数据，并将其绘制成图表。
通过观察到的趋势，我们可以看到公司销售额呈现逐年增长的趋势。
接下来，我们可以利用这个趋势来预测未来一年的销售额。
通过简单地延续过去几年的增长率，我们可以估计未来一年公司的销售额可能在一个特定的范围内，例如增长10%-15%。
然而，需要注意的是，趋势外推法并不能完全准确地预测未来的变化。
它只能提供一个大致的预测，没有考虑到其他可能影响未来趋势的因素。
因此，在实际应用中，必须结合其他方法和因素来进行综合分析和预测。
总之，趋势外推法是一种常用的趋势预测方法，它利用历史数据来判断未来的发展趋势。
它能够提供一个大致的预测范围，但不能完全准确地预测未来的变化。
因此，在实际应用中，需要结合其他因素和方法进行综合分析和预测，以提高预测的准确性和可靠性。
5预测与决策-趋势外推法
利润额yt 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
1200 1000
利润额 yt
1200 1000
利润额 yt
？？
800
800
600
600
400
400
200
200
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
45
销售量（万件）
40
35
30
25
10000 9000 8000 7000 6000 5000
总需求量（件）
20
4000
15
3000
10
2000
5
1000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
加权拟合直线方程法的数学模型
Q n t(y t a b t)2
(tt)(yy) (tt)2
利润额 1200
1000
800
yc abt
600
400
200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
……………… T= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
由近及远，按 比例 递减。
各期权重衰减的速度取决于 的取值。
人力需要预测之趋势外推预测法
人力需要预测之趋势外推预测法将人力资源需求量的历史数据按时间顺序排列，即可形成一个时间数列。
时间数列分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列三种，人力资源需求量是绝对数，因而其数列是绝对数时间数列。
按数列反映的现象性质不同，又可分为时期数列和时点数列，人力资源需求量是期末时点上的数据，因而其数列是时点数列。
在明确人力资源需求时点数列的性质后，考虑采用恰当的预测方法。
针对时点数列，一般可选用三种方法：方法一，当时点数列不存在长期趋势和季节变动时，宜采用平滑方法预测；方法二，当时点数列存在长期趋势但不含季节变动时，宜采用趋势外推方法预测；方法三，当时点数列存在长期趋势和季节变化时，宜采用趋势季节模型方法预测。
当人力资源需求时点数列不存在长期趋势，但中短期内有一定规律可循时，可采用方法一。
但是当随时间变化的趋势不明显时，一般最好不要采用该类数量方法预测，所以方法一在人力资源需求预测方面运用较少。
当人力资源需求呈现长期发展趋势，又随季节变化时，采用方法三。
在组织中，一般人员是较为固定的，不会轻易随季节变化而变动，否则会严重地影响员工的忠诚度，甚至有些企业提倡经济萧条时也不裁员，因随便增减人员对企业危害巨大。
也有符合该要求的人力资源需求数列，比如有淡旺季之分的产品促销员，这些促销员是临时招聘，而非正式员工，市场上供给充分，不需要过早预测，所以方法三更少运用。
事实上，当正式员工需求呈现长期发展趋势时，不会考虑季节变动，一般选用方法二，所以趋势外推预测法（trend analysis）是人力资源需求预测中运用最广泛的时点数列预测方法。
趋势外推预测法中，最重要的是找出趋势线。
找出趋势线的方法有多种，一般有绘图法、分段平均法、最小二乘法、指数平滑法等。
最简单、最直观的方法是绘图法。
以人力资源需求量为纵轴，以时间为横轴，在坐标图上描出各年的历史数据。
观察这些点是否有一定的发展规律，如果有，尝试在图上画出一条直线或曲线，使得大多数点尽可能地与这条线重合或接近。
趋势外推法
Q 2 ( yt a bt) a a 2 ( yt a bt) 0
y
t
na bt 0
（2）
Q 2 ( yt a bt) b b 2t ( yt a bt) 0
2 ty a t b t t 0
二、二次曲线外推法(Twice curve extension)
在实际预测中,常常碰到的是其他的曲线 形式。在这样的情况下,就要用到曲线外推 趋势法。这种方法仍然是利用最二乘法来拟 合曲线方程。介绍如下： 设曲线预测模型为：
（一）model
ˆt a bx cx2 y
（ 1）
利用最小二乘法得：
t
a 直线方程的截距，b 斜率，ei 离差 现对yt 作n次观察(t 1, 2, , n), ˆt yt a bt 则有：ei yt y Q e ( yt y t ) 2 [ yt (a bt )]2 最小值
2 i
为了使误差最小,即Q为最小值;可分别对a,b求偏 导,并令其为0.则有:
-4 -3 -2 -1
25
16 9 4 1
-1000
-2000 -1050 -800 -500
191.0
273.7 356.4 439.1 521.8
0
1 2 3 4
0
1 4 9 16
0
300 700 1200 2000
1999
2000 2001
630
700 750
0
1 2
0
1 4
0
700 1500
Q e ( yt y t ) 2 ( yt a bx cx2 ) 2 最小值
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5.4 包络曲线法
分析和预测复杂的技术系统，特别是从事长远预 测时，不仅要预测技术发展的量变过程，同时要预测 技术发展的质变过程。若用一条相切于这些S形生长 曲线的平滑的包络线来描述这一过程，则可以得到表 示一种技术特性发展总体趋势的曲线，这就是包络曲 线法。R．Ａyres在科学技术预测和长远规划一书中 ，列举了许多实例用以说明很多整体技术系统是符合 包络曲线发展规律的。
5.3 生长曲z）模型
取对数， 特征：
修正指数曲线 。
7. 逻辑（Logistic）增长型曲线模型
y=k, y=0, 上、下两条渐近线
缓慢
k
快速增长
平稳发展 饱和状态 特征：
企业集团形成发展行为，技术创 新扩散的基本规律，手机普及率等。
5.3 生长曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
5.2 修正指数曲线法
注意：并不是任何一组数据都可以用修正指数曲线 拟合。采用前应对数据检验，检验方法是看给定数
据的逐年增长量的比率是否接近某一常数e-K，即
5.2 修正指数曲线法例题
例：根据统计资 料，某厂收音机 连续15年的销售 量如下表所示， 试用修正指数曲 线预测1986年 的销售量
趋势外推预测方法简介
2020年4月21日星期二
第五章 趋势外推预测方法
趋势外推法的假设条件是： (1)假设事物发展过程没有跳跃式变化，即事物
的发展变化是渐进型的。 (2)假设所研究系统的结构、功能等基本保持不
变，即假定根据过去资料建立的趋势外推模型能适合 未来，能代表未来趋势变化的情况。
基本思想
模型库 模型识别 参数估计 预测
类型、特征 属何种类型 确定模型
第5.1 指数曲线法
1. 指数曲线模型及其应用
5.2 修正指数曲线法
许多系统特征数据序列，如反映技术进步或经济 增长的时间序列数据，在其未达到饱和状态之前的成 长期内，往往遵循指数曲线增长规律。因此，对发展 中的事物，可以考虑用指数曲线进行预测。
的渐近线
b<0 0<c<1
b<0 c>1
特征：
5.2 修正指数曲线法(另一种形式)
5.2 修正指数曲线法(另一种形式)
5.2 修正指数曲线法
将3组数据分别代入(5.2)式，经整理得
5.2 修正指数曲线法
b>0下方渐近线 b<0上方渐近线
例题 修正指数曲线法
5.3 生长曲线法
生物的生长过程一般经历发生、发展、成熟到 衰老几个阶段，在不同的生长阶段，生物生长的 速度也不一样。发生初期成长速度较慢，由慢到 快；发展时期生长速度则较快；成熟时期，生长 速度由达到最快而后逐渐变慢，到衰老期则几乎 停止生长。指数曲线模型不能预测接近极限值时 生物生长的特性值，因为趋近极限值时，生物生 长特性值已不按指数规律增长。描述生物生长过 程可以考虑运用形状近似于S型的曲线（称为S曲 线）。本节主要介绍两种最为常用的生长曲线龚 珀兹曲线和皮尔曲线。
5.4 包络曲线法
包络曲线有可能揭示预测变量的总趋势，估计预测变量的可能极限，描 述其极限的性质。同时包络曲线往往要越过现有技术的极限参数，预见或揭 示即将出现的新技术。因此，它不仅可以用于预测渐变过程，更主要的是用 来预测科学和技术发展的突变，即跳跃式发展过程，揭示原理上新的发明等 等。所有这些都是技术预测中最重要和最困难的任务。
5.2 修正指数曲线法例题
解：经计算可得
5.2 修正指数曲线法例题
现将数据分为三组，每组5个数据，即N=5， 并以1969年为开始年份，t69=0。
5.2 修正指数曲线法
将3组数据分别代入(5.2)式
5.2 修正指数曲线法(另一种形式)
描述对象在发展的初期和中期增长速度较快，随后增长速 度逐渐下降，其图形接近于渐近线。其中a为饱和值。
采用指数曲线外推预测，存在预测值随着时间推 移无限增大的问题。这与客观实际是不一致的，因为 任何事物的发展都有其一定的限度，不可能无限增长 。例如一种商品的销售量，在其市场成长期内可能会 按指数曲线增长。但随着时间的推移，其增长的趋势 可能会减缓以至于停滞。对于这种情况，可以考虑改 用修正指数曲线进行预测。
在利用包络曲线预测时，首先要建立包络曲线。 １．包络曲线建立的步骤