含噪复信号频率估计算法研究
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其中， 是单位矩阵。
又由于并且当 时， 和 相互独立，则
于是，矩阵P是正定的对角矩阵，即
因此，向量 的自相关矩阵可以表示为
（2-6）
实际应用中，选取 ，则由式（2-4）可知， 是列满秩的；因此
也即 不是满秩矩阵的，Байду номын сангаас 进行奇异值分解得
（2-7）
其中 ，U是酉矩阵，
于是，
（2-8）
对 进行特征值分解，得到M个特征值 ，对应的特征向量为 ，由式（2-8）可知 的M个特征值中仅有K个较大的特征值 信号有关，其余M-K各特征值 仅与噪声有关，根据以上事实，有以下重要定义：
由式（2-7）可知
由上述可知特征向量U由信号特征向量和噪声特征向量构成，即
则
由于U是酉矩阵, ，则
即
所以 ，又由于 是列满秩的矩阵，P满秩矩阵，所以矩阵A和P
存在左逆矩阵，则 ，即信号子空间和噪声子空间正交，
所以可以写出关于相位差的 的函数
（2-9）
通过谱峰搜索，当 与 正交时， 为零由于噪声的存在，实际为最小值，从而可以通过判断 谱的峰值确定信号的频率
2.5ESPRIT算法
（1）信号子空间 ： 是由 对应的特征向量 生成的子空间，记为
（2）信号子空间 ： 是由 对应的特征向量 生成的子空间，记为
S既与信号有关，又于噪声有关；G仅与噪声有关
2.3MUSIC算法
利用前面信号子空间和噪声子空间的概念，我们可以得到信号频率估计的多重信号分类（MUSIC，multiple signal classification）算法,该算法于1979年由R.O.Sxhmidt提成。MUSIC算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，估计信号概率。MUSIC算法可以有效地克服传统的FFT，DFT算法进行谱分析是的能量泄漏和栅栏效应，能够实现超分辨，因此在工程上有广大的应用空间
2.4Root-MUSIC算法
MUSIC算法，需通过搜索 谱的峰值得到信号的频率的估计，但是这会造成很大的运算量，本节介绍具有多形式求根形式的MUSIC，称为Root-MUSIC算法。
设向量 是相关矩阵R的噪声子空间的第 个归一化特征向量，可表示为
定义向量 为
（2-10）
构造如下函数：
（2-11）
当 时向量 是频率为 的信号频率向量 。
2.2信号子空间和噪声子空间的概念
假设信号 是复正弦信号加白噪声
（2-1）
其中 和 分别是复幅度和角频率。初始相位 是在 均匀的随机变量，并且当 时， 和 相互独立； 是零均值，方差为 的白噪声，且与信号相互独立。
定义信号向量
则
（2-2）
其中
向量 ， 和 分别定义为
， ，
向量 的自相关矩阵 为
因为 是零均值，方差为 的白噪声，所以有
Key Words:Frequency estimateMUSIC root-MUSIC ESPRIT MVDR
绪论
1.1选题背景与课题意义
频率概念源于周期性信号的经典物理学定义，其实质是表征信号在一定时间内的总体特征。正弦信号是典型的周期信号，其频率定义为信号周期的倒数，物理意义为单位时间内周期运动的次数。对于非正弦周期信号，可以分解成无限多个单频正弦周期信号的加权组合[1]，分析每个单频信号的频率特征就可以得到信号总体的特征。
频率是参量估计中的一个重要物理量,频率估计有着广泛的应用领域。而在通信技术领域,目前对空目标的多普勒无线电通信仅利用了多普勒幅度信息,从而造成炸点分散;而对水下目标的水中兵器通信,多普勒信号的利用在我国尚为空白。据悉,英美等国已研制立足于频率信息提取的多普勒无线电通信,以实现炸点的精确控制。其中,信号频率的精确快速估计是关键技术难题。
所以有
将上式带入式（2-17）中，可得到修正后的方程为
（2-18）
于是，信号频率估计问题转化成了一元高次方程的求根问题，因此，将这种方法称为Root-MUSIC算法。
在实际工程中，由于是由观测样本得到相关矩阵的估计 ，存在误差，使得求解方程所得到的根 并不是准确的位于单位圆 上，而是位于单位圆附件，因此，在实际求解时，需要在2（M-1）个根中，找出其中位置最接近单位圆的K个根，这些根的相位就是信号频率的估计 。
第2章频率估计的基础理论
2.1引言
淹没于高斯白噪声中的正弦信号的频率估计问题是频谱分析的重要内容，复正弦信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号的频率的过程。频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。频率估计目前国内外已经提出了不少方法，主要分为时域、频域及时频分析算法等。时域方法主要有基于自相关、线性预测两大类，在此基础上有计算量较为复杂的MUSIC算法[6-9]、AR模型算法[10-11]以及最大似然估计算法[12-16]等现代谱估计的方法。频域方法多是基于离散傅立叶变换(Discret Fourier Transfer, DFT)类的直接谱估计法，这类方法物理意义明确，计算量小(借助于FFT)，得到了广泛的应用。但DFT中存在能量泄漏和栅栏效应，使得这种方法具有较大的误差，并且算法精度在很大程度上依赖于信号长度[1-2]。时频分析算法主要是对非平稳信号进行瞬时频率估计。
关键字：频率估计MUSIC root-MUSIC ESPRIT MVDR
ABSTRACT
Frequency estimate is an important part of digital signal processing，Especially with the Gaussian white noise of signal frequency estimate has been a classic signal processing tasks. Not only in theory but in practice frequency estimate has very important research value. For with the Gaussian white noise of complex sinusoidal signalsfrequency estimation, the paper uses theMUSIC algorithmtheroot-MUSICalgorithm the ESPRIT algorithm andtheMVDRalgorithm, the typicalrepresentativeof spatial spectrum estimation, and simulates through the MATLAB software. Forcomplex sinusoidal signalswith Gaussian whitenoise, simulation results have shown that thosealgorithms have good frequency characteristics and achieves the desired results.
摘要
频率估计是数字信号处理的重要内容，特别是对含有高斯白噪声的信号进行频率估计一直是信号处理的经典课题，频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着重要的研究价值，本文采用空间谱估计的典型代表MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法，对含有高斯白噪声的复正弦信号进行频率估计，同时也通过MALTAB软件对其进行了仿真，仿真结果表明对含有噪声的复正弦信号而言，MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法具有良好的频率特性，并达到预期效果。
信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号的频率。其研究可追溯到19世纪研究者所关注的“信号中的隐周期性”问题——这一研究最终导致了信号处理中非周期信号傅立叶级数的展开理论[1]和傅立叶变换的提出[2]。信号频率估计是信号频谱分析中的重要内容，而频率又是信号的重要特征。在很多情况下，信号的频域形式比较易于解释和表征，频率、频率间隔等参数反映了信号大量的信息，同时更容易解释信号通过线性系统以后的变化特点。信号频率估计也是信号参数估计的一个重要物理量，参数估计是信号检测和信号表征的重点。因此对信号的频率估计以及各种适用于工程应用的算法研究受到普遍关注和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。由于任意的信号可以分解成无限多个正弦信号的加权组合，而且高斯白噪声是常见的噪声模型，因此高斯白噪声中正弦信号的频率估计问题是信号频率估计的基础。频率估计的研究最早可以追溯到上世纪30年代的第二次世界大战中人们对雷达和声纳技术的研究,淹没于噪声中的正弦信号频率估计问题是这两种技术的关键。最近几十年来，频率估计的研究取得了丰硕的成果[3-5]。频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。频率估计的研究最初是受其在军事领域应用的影响才逐渐发展成为一个独立的研究领域，且广泛渗透到各工程领域。在工程学的诸多领域，如通信、语音处理与识别、生物医学、电力系统、检测理论等研究中，都会遇到这样一个技术问题，即如何对噪声背景下的具有有限个样本的正弦信号进行频率估计[1]
1.2课题研究现状
信号频率估计研究已有多年历史,一般地分为经典法和现代法两大类。经典法主要为以傅利叶分解为基础的周期图法等,随着快速傅利叶变换(FFT)的发现,经典法一度得到广泛的应用,但是,经典法的局限性在于其分辨力低(其分辨力为1/N,N为数据长度),所以要提高分辨力则需增加数据长度N,从而增加了运算时间；反之,要想减少运算时间,只能采用短数据,这样则不能得到高的分辨率。因此经典法在快速高分辨频率估计中遇到了无法克服的困难。60年代末70年代初,学者们提出了许多旨在提高频率分辨率的谱估计方法,由于信号的频率可由谱峰的位置得到,因而现代谱估计方法也广泛地用于频率估计。现代谱估计方法主要有两大类,一类是参数模型法,主要有自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型和自回归滑动平均(ARMA)模型等,参数模型法有较好的频率分辨能力,也有一些快速算法,但该法的性能受参数的选取、初相位等因素的影响,限制了其更加广泛的实际应用。另一类现代谱估计方法是非参数模型法,其中的特征分解法是一类性能良好、很有工程应用前景的方法,主要有最小方差无失真(MVDR)法、多信号分类(MUSIC)法和子空间旋转不变(ESPRIT)法等。
由式（2-9）可知 则
（2-12）
于是
（2-13）
对式（2-12）共轭转置，有
（2-14）
将式（2-11）左乘自身的共轭转置，可得到
（2-15）
第一多项式
（2-16）
用噪声子空间向量构成矩阵G，式（2-16）可以表示为
（2-17）
比较式（2-13）和式（2-16）可发现， 都位于单位圆 上，单位圆上的复数 应满足
正弦信号有实正弦信号和复正弦信号(复指数信号)之分，复正弦信号可以看成是实部和虚部皆为实正弦信号的组合。复正弦信号因其频率特性简单，如单频复正弦信号在频谱上表现为一条唯一的谱线，在理论分析中比较受青睐。而实正弦信号在频谱上除有正频率之外，还有对应的“负频率”出现，使得在理论分析中由于比复正弦信号复杂而比较少使用。但是，在实际工程应用中，实正弦信号更为常见，而且很多复正弦信号的特性，不能简单地对应到实正弦信号上，所以这引起了很多研究者的兴趣。本文也主要针对复正弦信号进行研究。
1.3论文研究内容
本文重点介绍了在高斯白噪声背景下分别利用MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法对复正弦信号进行频率估计，并且利用MALTAB其进行了仿真。通过仿真结果验证MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法对含有噪声的复正弦信号进行频率估计的可行性，并且比较仿真结果讨论这些算法的优势与局限。
本章将具体介绍本论文频率估计问题采用的数学模型——复信号模型，同时给出几类常见的相关矩阵的特征分解的信号频率估计的方法。基于相关矩阵的特征分解的信号频率估计的方法，是现代信号频率估计的重要内容，其基本思想是，直接对估计的随机过程相关矩阵进行特征分解，利用复正弦信号与相关矩阵特征值和特征向量的关系，得到信号频率的
又由于并且当 时， 和 相互独立，则
于是，矩阵P是正定的对角矩阵，即
因此，向量 的自相关矩阵可以表示为
（2-6）
实际应用中，选取 ，则由式（2-4）可知， 是列满秩的；因此
也即 不是满秩矩阵的，Байду номын сангаас 进行奇异值分解得
（2-7）
其中 ，U是酉矩阵，
于是，
（2-8）
对 进行特征值分解，得到M个特征值 ，对应的特征向量为 ，由式（2-8）可知 的M个特征值中仅有K个较大的特征值 信号有关，其余M-K各特征值 仅与噪声有关，根据以上事实，有以下重要定义：
由式（2-7）可知
由上述可知特征向量U由信号特征向量和噪声特征向量构成，即
则
由于U是酉矩阵, ，则
即
所以 ，又由于 是列满秩的矩阵，P满秩矩阵，所以矩阵A和P
存在左逆矩阵，则 ，即信号子空间和噪声子空间正交，
所以可以写出关于相位差的 的函数
（2-9）
通过谱峰搜索，当 与 正交时， 为零由于噪声的存在，实际为最小值，从而可以通过判断 谱的峰值确定信号的频率
2.5ESPRIT算法
（1）信号子空间 ： 是由 对应的特征向量 生成的子空间，记为
（2）信号子空间 ： 是由 对应的特征向量 生成的子空间，记为
S既与信号有关，又于噪声有关；G仅与噪声有关
2.3MUSIC算法
利用前面信号子空间和噪声子空间的概念，我们可以得到信号频率估计的多重信号分类（MUSIC，multiple signal classification）算法,该算法于1979年由R.O.Sxhmidt提成。MUSIC算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，估计信号概率。MUSIC算法可以有效地克服传统的FFT，DFT算法进行谱分析是的能量泄漏和栅栏效应，能够实现超分辨，因此在工程上有广大的应用空间
2.4Root-MUSIC算法
MUSIC算法，需通过搜索 谱的峰值得到信号的频率的估计，但是这会造成很大的运算量，本节介绍具有多形式求根形式的MUSIC，称为Root-MUSIC算法。
设向量 是相关矩阵R的噪声子空间的第 个归一化特征向量，可表示为
定义向量 为
（2-10）
构造如下函数：
（2-11）
当 时向量 是频率为 的信号频率向量 。
2.2信号子空间和噪声子空间的概念
假设信号 是复正弦信号加白噪声
（2-1）
其中 和 分别是复幅度和角频率。初始相位 是在 均匀的随机变量，并且当 时， 和 相互独立； 是零均值，方差为 的白噪声，且与信号相互独立。
定义信号向量
则
（2-2）
其中
向量 ， 和 分别定义为
， ，
向量 的自相关矩阵 为
因为 是零均值，方差为 的白噪声，所以有
Key Words:Frequency estimateMUSIC root-MUSIC ESPRIT MVDR
绪论
1.1选题背景与课题意义
频率概念源于周期性信号的经典物理学定义，其实质是表征信号在一定时间内的总体特征。正弦信号是典型的周期信号，其频率定义为信号周期的倒数，物理意义为单位时间内周期运动的次数。对于非正弦周期信号，可以分解成无限多个单频正弦周期信号的加权组合[1]，分析每个单频信号的频率特征就可以得到信号总体的特征。
频率是参量估计中的一个重要物理量,频率估计有着广泛的应用领域。而在通信技术领域,目前对空目标的多普勒无线电通信仅利用了多普勒幅度信息,从而造成炸点分散;而对水下目标的水中兵器通信,多普勒信号的利用在我国尚为空白。据悉,英美等国已研制立足于频率信息提取的多普勒无线电通信,以实现炸点的精确控制。其中,信号频率的精确快速估计是关键技术难题。
所以有
将上式带入式（2-17）中，可得到修正后的方程为
（2-18）
于是，信号频率估计问题转化成了一元高次方程的求根问题，因此，将这种方法称为Root-MUSIC算法。
在实际工程中，由于是由观测样本得到相关矩阵的估计 ，存在误差，使得求解方程所得到的根 并不是准确的位于单位圆 上，而是位于单位圆附件，因此，在实际求解时，需要在2（M-1）个根中，找出其中位置最接近单位圆的K个根，这些根的相位就是信号频率的估计 。
第2章频率估计的基础理论
2.1引言
淹没于高斯白噪声中的正弦信号的频率估计问题是频谱分析的重要内容，复正弦信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号的频率的过程。频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。频率估计目前国内外已经提出了不少方法，主要分为时域、频域及时频分析算法等。时域方法主要有基于自相关、线性预测两大类，在此基础上有计算量较为复杂的MUSIC算法[6-9]、AR模型算法[10-11]以及最大似然估计算法[12-16]等现代谱估计的方法。频域方法多是基于离散傅立叶变换(Discret Fourier Transfer, DFT)类的直接谱估计法，这类方法物理意义明确，计算量小(借助于FFT)，得到了广泛的应用。但DFT中存在能量泄漏和栅栏效应，使得这种方法具有较大的误差，并且算法精度在很大程度上依赖于信号长度[1-2]。时频分析算法主要是对非平稳信号进行瞬时频率估计。
关键字：频率估计MUSIC root-MUSIC ESPRIT MVDR
ABSTRACT
Frequency estimate is an important part of digital signal processing，Especially with the Gaussian white noise of signal frequency estimate has been a classic signal processing tasks. Not only in theory but in practice frequency estimate has very important research value. For with the Gaussian white noise of complex sinusoidal signalsfrequency estimation, the paper uses theMUSIC algorithmtheroot-MUSICalgorithm the ESPRIT algorithm andtheMVDRalgorithm, the typicalrepresentativeof spatial spectrum estimation, and simulates through the MATLAB software. Forcomplex sinusoidal signalswith Gaussian whitenoise, simulation results have shown that thosealgorithms have good frequency characteristics and achieves the desired results.
摘要
频率估计是数字信号处理的重要内容，特别是对含有高斯白噪声的信号进行频率估计一直是信号处理的经典课题，频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着重要的研究价值，本文采用空间谱估计的典型代表MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法，对含有高斯白噪声的复正弦信号进行频率估计，同时也通过MALTAB软件对其进行了仿真，仿真结果表明对含有噪声的复正弦信号而言，MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法具有良好的频率特性，并达到预期效果。
信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号的频率。其研究可追溯到19世纪研究者所关注的“信号中的隐周期性”问题——这一研究最终导致了信号处理中非周期信号傅立叶级数的展开理论[1]和傅立叶变换的提出[2]。信号频率估计是信号频谱分析中的重要内容，而频率又是信号的重要特征。在很多情况下，信号的频域形式比较易于解释和表征，频率、频率间隔等参数反映了信号大量的信息，同时更容易解释信号通过线性系统以后的变化特点。信号频率估计也是信号参数估计的一个重要物理量，参数估计是信号检测和信号表征的重点。因此对信号的频率估计以及各种适用于工程应用的算法研究受到普遍关注和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。由于任意的信号可以分解成无限多个正弦信号的加权组合，而且高斯白噪声是常见的噪声模型，因此高斯白噪声中正弦信号的频率估计问题是信号频率估计的基础。频率估计的研究最早可以追溯到上世纪30年代的第二次世界大战中人们对雷达和声纳技术的研究,淹没于噪声中的正弦信号频率估计问题是这两种技术的关键。最近几十年来，频率估计的研究取得了丰硕的成果[3-5]。频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。频率估计的研究最初是受其在军事领域应用的影响才逐渐发展成为一个独立的研究领域，且广泛渗透到各工程领域。在工程学的诸多领域，如通信、语音处理与识别、生物医学、电力系统、检测理论等研究中，都会遇到这样一个技术问题，即如何对噪声背景下的具有有限个样本的正弦信号进行频率估计[1]
1.2课题研究现状
信号频率估计研究已有多年历史,一般地分为经典法和现代法两大类。经典法主要为以傅利叶分解为基础的周期图法等,随着快速傅利叶变换(FFT)的发现,经典法一度得到广泛的应用,但是,经典法的局限性在于其分辨力低(其分辨力为1/N,N为数据长度),所以要提高分辨力则需增加数据长度N,从而增加了运算时间；反之,要想减少运算时间,只能采用短数据,这样则不能得到高的分辨率。因此经典法在快速高分辨频率估计中遇到了无法克服的困难。60年代末70年代初,学者们提出了许多旨在提高频率分辨率的谱估计方法,由于信号的频率可由谱峰的位置得到,因而现代谱估计方法也广泛地用于频率估计。现代谱估计方法主要有两大类,一类是参数模型法,主要有自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型和自回归滑动平均(ARMA)模型等,参数模型法有较好的频率分辨能力,也有一些快速算法,但该法的性能受参数的选取、初相位等因素的影响,限制了其更加广泛的实际应用。另一类现代谱估计方法是非参数模型法,其中的特征分解法是一类性能良好、很有工程应用前景的方法,主要有最小方差无失真(MVDR)法、多信号分类(MUSIC)法和子空间旋转不变(ESPRIT)法等。
由式（2-9）可知 则
（2-12）
于是
（2-13）
对式（2-12）共轭转置，有
（2-14）
将式（2-11）左乘自身的共轭转置，可得到
（2-15）
第一多项式
（2-16）
用噪声子空间向量构成矩阵G，式（2-16）可以表示为
（2-17）
比较式（2-13）和式（2-16）可发现， 都位于单位圆 上，单位圆上的复数 应满足
正弦信号有实正弦信号和复正弦信号(复指数信号)之分，复正弦信号可以看成是实部和虚部皆为实正弦信号的组合。复正弦信号因其频率特性简单，如单频复正弦信号在频谱上表现为一条唯一的谱线，在理论分析中比较受青睐。而实正弦信号在频谱上除有正频率之外，还有对应的“负频率”出现，使得在理论分析中由于比复正弦信号复杂而比较少使用。但是，在实际工程应用中，实正弦信号更为常见，而且很多复正弦信号的特性，不能简单地对应到实正弦信号上，所以这引起了很多研究者的兴趣。本文也主要针对复正弦信号进行研究。
1.3论文研究内容
本文重点介绍了在高斯白噪声背景下分别利用MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法对复正弦信号进行频率估计，并且利用MALTAB其进行了仿真。通过仿真结果验证MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法对含有噪声的复正弦信号进行频率估计的可行性，并且比较仿真结果讨论这些算法的优势与局限。
本章将具体介绍本论文频率估计问题采用的数学模型——复信号模型，同时给出几类常见的相关矩阵的特征分解的信号频率估计的方法。基于相关矩阵的特征分解的信号频率估计的方法，是现代信号频率估计的重要内容，其基本思想是，直接对估计的随机过程相关矩阵进行特征分解，利用复正弦信号与相关矩阵特征值和特征向量的关系，得到信号频率的