柯西不等式的证明

柯西不等式的证明
二维形式的证明
(a^2+b^2)(c^2+d^2)（a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
≥(ac+bd)^2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明
√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2*√(a^2+b^2)*√(c^2+d^2) ≥a^2+b^2+c^2+d^2+2*|a*c+b*d| 注：| |表示绝对值。

*表示乘
≥a^2+b^2+c^2+d^2-2（a*c+b*d）
=a^2-2*a*c+c^2+b^2-2bd+d^2
=(a-c)^2+(b-d)^2
两边开根号即得√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]
一般形式的证明
求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2
证明：
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立
令A=∑ai^2B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1，a2，…，an中至少有一个不为零时，可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C，（请注意，一次项系数是2B，不是B）展开得：f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2－4AC≤0，
（请大家注意：一元二次方程ax^2+bx+c=0的判别式确实是△=b^2-4ac，但是这里的方程Ax^2+2Bx+C = 0已经发生如下替换a = A，b = 2B，c = C，这里面b已经换成了2B，因而导致很多网友的误解。

此步若错，柯西不等式就无法证明了！）移项得AC≥B^2，欲证不等式已得证。

向量形式的证明
令m=(a1, a2, …, an)，n=(b1, b2, …, bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2) ×cos<m, n>
∵cos<m, n>≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1^2+a2^2+…+an^2) ×√(b1^2+b2^2+…+bn^2)
注：“√”表示平方根。

注：以上仅是柯西不等式部分形式的证明。

【柯西不等式的应用】柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

巧拆常数证不等式
例：设a、b、c为正数且互不相等。

求证：2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c) ∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又9=(1+1+1)^2 ∴只需证：
2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1 +1)^2=9
又a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足
∴原不等式成立
求某些函数最值
例：求函数y=3√(x－5)+4√(9－x)的最大值。

(注：“√”表示平方根)
函数的定义域为[5, 9]，y>0
y=3√(x－5)+4√(9－x)≤√(3^2+4^2)×√{ [√(x－5)] ^2 + [√(9－x)] ^2 }=5×2=10
函数仅在4√(x－5)=3√(9－x)，即x=6.44时取到。

以上只是柯西不等式的部分示例。

更多示例请参考有关文献。

三角形式证明:两边同时平方,展开,消去同样的项,剩余部分再平方,消去同样的项,得一完全平方式,大于或等于0,得证
代数形式
设a1，a2，...an及b1，b2，...bn为任意实数，则（a1b1+a2b2+...+anbn）①，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn（规定ai=0时，bi=0）时等号成立.
推广形式的证明
推广形式为
(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
证明如下
记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….
由平均值不等式得(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n),……上述m个不等式叠加得1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…即A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，因此,不等式(*)成立.
（注：推广形式即为卡尔松不等式）。