多元统计分析第2章

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§2.1.2
多元均值检验
T 2的值有变大的趋势，所以 因而，在备择假设成立时， 拒绝域可取为 T 2值较大的右侧部分。因此，当给定显著性 水平α 后，由样本的数值可立即算出 T 2 值，当
T 2 > T p2,n−1 (α )
(2.7)
时，便拒绝零假设H 0。 为 Tp2,n −1 的上 α 分位点。
' i =1 i =1
n1
−
−
n2
−
−
样本离差阵.
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§2.1.3
两总体均值的比较
当假设H 0 : μ1 = μ 2 成立时, T 2 ~ Tp2,n1 + n2 −2 , 从而 n1 + n2 − p − 1 2 T ~ Fp ,n1 + n2 − p −1 (2.11) (n1 + n2 − 2) p n1 + n2 − p − 1 2 * = T F 有变大的趋势, 当备择假设H 1 : μ1 ≠ μ 2 成立时, (n + n − 2) p
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§2.1.3
两总体均值的比较
1.协方差阵相等的情形 设 X (α ) = ( X α 1 , X α 2 , " , X αp )' (α = 1," , n1 )为来自p元正 Y(α ) = (Yα 1 , Yα 2 , " , Yαp )' 态总体 N p ( μ1 , Σ) 的容量为 n1 的样本， (α = 1, " , n2 )是来自p元正态总体 N p ( μ 2 , Σ) 容量为 n2的样 本，且两样本之间相互独立，n1 > p , n2 > p假定两总体 协方差阵相等，但未知，现对假设
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第2章 均值向量和协方差阵的检验
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§2.1
均值向量的检验
§2.1.1 §2.1.2 §2.1.3 §2.1.4
一个指标检验的回顾 多元均值检验 两总体均值的比较 多总体均值的检验
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§2.1.3
2 /
两总体均值的比较
Ly Lx + ) −1 ( X − Y) T = ( X − Y) ( n1 (n1 − 1) n2 (n2 − 1)
−1 = (X − Y) / S∗ (X − Y)
− −
(2.13)
Lx n1 ( n1 −1)
X , Y , Lx 和Ly 的统计含义与前相同，再令 S* = 式中，
+ n2 ( n2 −1)
Ly
f
−1
⎛ ⎞ −4 Lx −1 / −1 = ( n − n ) ⎜ ( X − Y ) S∗ ( )S∗ ( X − Y) ⎟ T n1 − 1 ⎝ ⎠
3 1 2 −1 1 2 3 2 2 −1 2
(α = 1, " , n1 ) ，Y(α ) = (Yα 1 , Yα 2 , " , Yαp )' (α = 1, " , n2 )
n1 > p, n2 > p.假定两总体协方差阵不相等，我们考 虑对假设（2.9）作检验。这是著名Behrens— Fisher问题。长期以来，统计学家用许多方法试 T 2统计量 图解决这个问题。当 Σ 1与 Σ 2相差较大时， 的形式是：
1 n1 1 n2 其中 X = ∑ xi , Y = ∑ yi ; n1 , n2 是样本容量 ; n1 i =1 n2 i =1 ∧ ( Lx + L y ) Σ= , 是协方差阵Σ的估计量； (n1 + n2 − 2)
Lx = ∑ ( xi − x)( xi − x) , Ly = ∑ ( yi − y )( yi − y ) ' , 是两个总体的
n− p 2 { T > Fp ,n − p (α )} (n − 1) p
2
(2.8)
关于 T、 在实际工作中，一元检验与多元检验可以联合使用， 多元的检验具有概括和全面考察的特点，而一元的检验 容易发现各指标之间的关系和差异，能帮助我们找出存 在差异的侧重面，提供了更多的统计分析信息。
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§2.1.4
多总体均值的检验
在许多实际问题中，我们要研究的总体往往 不止两个。例如，要对全国的工业行业的生产经 营状况做一比较时，一个行业可以看成一个总 体，此时要研究的总体就达几十甚至几百个之 多。这类问题的研究就需要多元方差分析的知 识。多元方差分析是一元方差分析的直接推广， 为了易于理解多元方差分析的方法，我们先回顾 一元的方差分析。
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§2.1.1 一个指标检验的回顾
2 − x x ( ) 当σ 2 未知时, 用S 2 = ∑ i 作为σ 2的估计, 用统计量 i =1 ( n − 1) x − μ0 t= n (2.2) S n
| t |> t n −1 (α / 2),
2
Ly ⎛ ⎞ −4 −1 / −1 S∗ ( X − Y ) ⎟ T + (n − n ) ⎜ ( X − Y ) S∗ (n2 − 1) ⎝ ⎠
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§2.1.3
两总体均值的比较
当假设（2.9）的 H 0成立时，可以证明（见文献[3])
' − −1 −
∧ −1 −
可以证明，统计量遵从参数为p,n-1,，的− T 2分布， 即 T 2 > Tp2,n −1 。统计量 T 2实际上也是样本均值 X 与已知均值 向量 μ 0之间的马氏距离再乘以n(n-1)，这个值越大，μ与 μ 0 相等的可能性就越小。
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H 0 : μ = μ0 , μ ≠ μ0
(2.9)
进行检验。与前面类似的统计量的形式 是：
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§2.1.3
T2 =
两总体均值的比较
(2.10)
n1n2 ˆ −1 ( X − Y ) (X − Y)/ Σ n1 + n2
⎛ f − p +1⎞ ⎜ ⎟ T ⎜ ⎟ fp ⎝ ⎠
2
近似遵从第一自由度为 p、第二自由度为
f − p + 1的F分布，即
( ( f − p +1) 2 )T ~ Fp, f −p+1 fp (2.14)
当min(n1 , n2 ) → ∞时, T 2近似于χ 2 p
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Tp ,n −1 (α ) T 2分布的5%及1%的分位点已列成专表，由网上下载，
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§2.1.2
多元均值检验
由§1.5，将 T 2统计量乘上一个适当的常数后，便成为 F 统计量，也可用F分布表获得零假设的拒绝域。即
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§2.1.2
多元均值检验
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§2.1.2
多元均值检验
α
α α
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§2.1.2
多元均值检验
α
X (α ) = ( X α 1 , " , X αp )'
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§2.1.1 一个指标检验的回顾
u=
x − μ0
σ
n
(2.1)
1 n 其中x = ∑ xi为样本均值。 n i =1 当假设成立时 u ~ N (0,1), , 统计量u服从正态分布 从而拒绝域为| u |〉ua / 2 , ua / 2为N (0,1)的上a / 2分位点
T02 的合理性及推证见参考文献[3]
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§2.1.3
两总体均值的比较
在许多实际问题中，往往要比较两个总体之间的 平均水平有无差异。例如，两所大学新生录取成绩是 否有明显差异；研究职工工资总额的构成情况，若按 国民经济行业分组，就是例如要研究工业与建筑业这 两个行业之间，是否有明显的不同之处；同理，可按 工业领导关系（中央、省、市、县属工业）分组；也 可按工业行业分组。组与组之间的工资总额构成有无 显著差异，本质上就是两个总体的均值向量是否相 等，这类问题，通常也称为两样本问题。两总体均值 比较的问题，又可分为两总体协方差阵相等与两总体 协方差阵不等两种情形。
2 χ = n( x − μ 0 ) Σ ( x − μ 0 ) ≥ χ p (α ) 2 0 ' −1
−
−
自由度为P的 χ 分布的分为点。即
2
2 2 P{χ 0 > χp (α )} = α
时，便拒绝零假设 H 0，说明均值μ不等于 μ 0，其中 χ p (α )是
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时，拒绝 H 0 ，否则没有足够理由拒绝H 0。
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(2.12)
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§2.1.3
两总体均值的比较
2.协方差阵不相等情形 设从两个总体 N p (μ1 , Σ1 ) 和 N p (μ 2 , Σ 2 ) ，分别抽 取容量为 n1和 n2的两个样本，X (α ) = ( X α 1 , X α 2 ," , X αp )'
第2章 均值向量和协方差阵的检验
•§2.1 •§2.2 均值向量的检验 协方差阵的检验
•§2.3 有关检验的上机实现
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第2章 均值向量和协方差阵的检验
χ2
以 做检验。
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§2.1.2
（ⅱ）协方差阵Σ未知 的统计量是：
−
多元均值检验
∧
L 此时Σ的无偏估计是 Σ = (n − 1)
，类似于式（2.3）
T 2 = n( x − μ 0 ) ' Σ ( x − μ 0 ) = n(n − 1)( x − μ 0 ) L ( x − μ 0 )
1 2
ˆ − 1 ( X − Y ) 成正 因为T 2 的值与总体均值的马氏距离 ( X − Y )'Σ 比例，此值愈大，说明两总体的均值很接近的可能性就愈小， 因而拒绝域可以取为F ∗ 值较大的右侧区域，即当给定显著性水 平 α 的值时，若
F ∗ > Fp ,n1 + n2 − p −1 (α )
t n −1 (α / 2)为t n −1的上α / 2分为点。
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§2.1.1 一个指标检验的回顾
t 2 = n ( x − μ 0 )( S 2 ) −1 ( x − μ 0 )
(2.3)
α α
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− − 1 −1 − ' −1 ( X − μ 0 ) ( Σ) ( X − μ 0 ) = n ( X − μ 0 ) Σ ( X − μ 0 ) ~ χ 2 ( p) n ' −
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§2.1.2
多元均值检验
−
2 χ 统计量 0 实质上是样本均值 X 与已知平均水平 μ 0 之间的马 氏距离的 n 倍，这个值越大，μ与μ 0 相等的可能性就越小， 2 χ H 因而，在备择假设 1 成立时， 0 有变大的趋势，所以拒绝域应 − 2 χ 取为 0值较大的右侧部分。式中 X 是样本均值， n 是样本容 量。 2 χ α 0 当给定显著性水平 后，由样本值可以算出 的值，当
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§2.1.2
（ⅰ）协方差阵Σ已知
多元均值检验
类似于（2.3）的统计量（注意（2.3）的形式）是
χ = n( x − μ 0 ) Σ ( x − μ 0 )
2 0 ' −1
2
−
−
(2.5)
可以证明，在假设 H 0为真时，统计量 χ 0 遵从自由度为 2 p的χ 分布；事实上由§1.5 − 1 X− μ ~ N p (0, Σ), n 知当H 0： μ = μ 0 成立时，由多元统计分布的性质4，有