凸函数及其在不等式证明中的应用

凸函数及其在不等式证明中的应用

摘要:凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。

关键词:凸函数; 性质; 不等式; Jensen不等式

Convex Function and its Application in the proof Inequality

Abstract Convex Function is a kind of important Function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed the definition,property, and discriminant method of the convex Function .At the same time,the theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequality and popularized about the Convex Function.

Key Words Convex Function; property; Inequality; Jensen Inequality

目录

题目：凸函数及其在不等式证明中的应用 (1)

摘要 (1)

关键词 (1)

引言 (1)

1凸函数的定义、性质及判定定理 (1)

1.1凸函数的定义 (1)

1.2凸函数的几种等价定义 (2)

1.3凸函数的性质及定理 (3)

2关于凸函数的四个不等式 (4)

2.1 Jensen不等式1 (4)

2.2 Jensen不等式2 (4)

2.3 Holder不等式1 (5)

2.4 Holder不等式2 (6)

3凸函数在不等式证明中的应用 (7)

3.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式 (7)

3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 (9)

3.3凸函数在积分不等式中的应用. (10)

4凸函数的推广 (11)

4.1凸函数的定义推广 (11)

4.2凸函数的性质及定理推广 (12)

4.2.1凸函数的性质推广 (12)

4.2.2凸函数的定理推广 (13)

结束语 (14)

参考文献 (15)

致谢 (16)

凸函数及其在不等式证明中的应用

王红娟

（天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）

摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。本文

论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。

关键词: 凸函数;性质;不等式; Jensen 不等式1

引言

在很多数学问题的分析与证明中,我们都需要用到凸函数,例如在数学分 析、函数论泛函分析、最优化理论等当中.大家都熟悉函数()f x =2x 的图像,它的特点是:曲线y =2x 上任意两点间的弧线总在这两点连线之下,我们可以下这样一个定义:设()f x 在[],a b 上有定义,若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于直线的之下,则称函数()f x 是凸函数.

上面的定义只是几何描述性的,为了便于函数的应用,用严格的分式来定义是非常必要的.

1.凸函数的定义、性质及判定定理 1.1凸函数的定义

设函数()f x 在区间(,)a b 上有定义,若对(,)a b 上任意两点1x ,2x 和正数

()0,1λ∈,总有()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦ , (1) 则()f x 为区间

[],a b 上的凸函数. 若不等式(1)中的不等号改为严格不等号,则称()f x 为(,)a b 内

的严格不等式.

常见的凸函数有:

(ⅰ) ()()(01),ln k f x x k k f x x x =<>=或均为(0,)+∞内的严格凸函数

(ii) ()ln(1+e ),()0)x f x f x c ==≠均为(0,)+∞内的严格凸函数

1.2凸函数的几种等价定义

设函数()f x 在区间(),a b 上有定义,

()1对(,)i x a b ∀∈及0.1,2,

,.i p i n ∀>=1n i i i

p ==∑,恒有()()n n

i i i i i i

i i

f p x p f x ==≤∑∑

()2()()121212(),22f x f x x x x x a b ++⎛⎫∈≤

⎪⎝⎭

对任意, 恒有f ()3对任意()1212,,,,,x x x a b x x x ∈<<恒有

()()()()()()

12121212f x f x f x f x f x f x x x x x x x

---≤≤

--- 证明 记221

x x

x x λ-=

-,则12(1)x x x λλ=+- 1212()((1))()(1)()f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+- =

221x x x x --1()f x 1

21

x x x x -+

- 从而有 212112()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-

212111112()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -≤---+- 212111211()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x ---≤--- 211121()[()()]()[()()]x x f x f x x x f x f x --≤-- 所以有

()()()()

121121f x f x f x f x x x x x --≤

-- 同理可证

()()()()

212212f x f x f x f x x x x x

--≤

-- 综上所述 ()()()()()()

12121212f x f x f x f x f x f x x x x x x x

---≤≤

--- (4)()f x 在区间(),a b 上有定义,当且仅当曲线()y f x =的切线恒保持在曲线