运筹学第三章 运输问题分解
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1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
xm2
… xmm
1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
m行
n行
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
运输问题具有下述特点： (1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零 元素，这对应于每一个变量在前m个约束方 程中出现一次，在后n个约束方程中也出现 一次。
pij (0
1
1
0)T ei em j
(3) 矩阵的秩=m+n-1
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
对产销平衡运输问题，除上述两个特 点外，还有以下特点： (1) 所有结构约束条件都是等式约束； (2) 各产地产量之和等于各销地销量之 和。
产销平衡表
表 上 作 业 法
单位运价表
1
4 8 2
12 10
12
4 3 11
4 2
11 16 9 10
7 0 6 0
8 14 5
8 6 22 8 1
设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输 量，则此问题的数学模型为：
运 输 问 题
二、运输问题数学模型的特点：
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
1 1
x11 x12
确 定 初 始 调 运 方 案
2.西北角法（左上角法）： 这种方法的基本思想是给运输表左上角 变量分配运输量，以确定产销关系，依 此类推，一直到给出初始可行方案为止。 具体做法为： ① 先决定运输表左上角变量xLK，令这 个变量取尽可能大的值即 xLK=min{aL,bk}，在这个变量对应的数 字格上填上变量所取的值。
运筹学
Operations Research
本章内容重点
运 输 问 题
运输问题与有关概念 产销平衡运输问题的求解—表上 作业法
运 输 问 题
前面讨论了线性规划问题的一般解法，在 实际生活中，碰到的线性规划问题的系数 矩阵往往具有特殊的结构，这就可能找到 比单纯形法更为简单的方法，从而节省计 算时间和空间。本章讨论的运输问题就是 这样一类特殊的线性规划问题。 在经济生活中，常碰到大宗物资的调运问 题，如煤、钢铁、木材、粮食等物资，他 们在全国有若干生产基地，根据已有的交 通网络，制定调运方案，将这些物资运到 各个消费地点，而总运费最省。
确 定 初 始 调 运 方 案
西北角法： ② 若xLK=aL,则 b bk xLk 划去掉运输表 的第L行， 这些空格不再赋值；若 xLK=bk,则 aL aL xLK 划去第k列，这 些空格不再赋值。 ③ 对表上剩余元素重复①②wk.baidu.com直到所有 的格子都有标记。
k
用西北角法没有考虑单位运费的大小，显 然求解结果比较粗糙，收敛速度慢。
k
L
L
LK
确 定 初 始 调 运 方 案
例1 某糖果公司下设三个工厂， 每日产量分别为：A1－7吨， A2－ 4吨， A3－9吨。该公司将这些产 品运往四个门市部，各门市部每 日销量为B1－3吨， B2－6吨， B3 －5吨, B4－6吨。各工厂到各门 市部的单位运价见下表，用最小 元素法确定一初始调运方案。
3
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
设某物资有m个产地A1，A2，…，Am 其产量分别是a1,a2, …,am,有n个销地 B1，B2， …，Bn,其销量分别是b1,b2, …,bn。已知产地Ai到销地Bj的单位运 价是Cij（i=1,2, …,m； j=1,2, …,n ） 这些数据可以用运输表表示。若总产量 等于总销量（产销平衡）试确定总运费 最省调运方案
确 定 初 始 调 运 方 案
3.沃格尔法 罚数=次小费用-最小费用 找出最大的罚数行或列所对应 的最小费用优先安排。 重复计算步骤1和2
沃格尔法例题
确 定 初 始 调 运 方 案
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
行罚数 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 4 5
A1 A2 A3 销量
3
得到初始调运方案如下：
确 定 初 始 调 运 方 案
称上面这个产销平衡表中填有数字的 格为数字格，它对应的变量相当于基 变量；没填数字的格称为空格，它对 应的变量相当于非基变量。 上表中共有m+n-1个数字格，即初始 调运方案存在m+n-1个基变量。
确 定 初 始 调 运 方 案
特别情况： 当最小运价CLK对应的aL和bk相等时，即 对应的产量和销量相等时，为保证基 变量的个数为m+n-1个，除了在产销 平衡表填xLK=aL外，还应在产销平衡表 中的第L行或第K列某空格（相应运价 未被划掉）处填一个“零”，然后同 时划去运价表上的第L行和第K列，该 “零”看作是数字格。
运 输 问 题
运输问题的提出 一般的运输问题就是要解决把某种 产品从若干个产地调运到若干个销 地，在每个产地的产量（供应量） 与每个销地的销量(需求量)已知， 并知道各地之间的运输单价的前提 下，如何确定一个使得总运费用最 省的调运方案。
确 定 初 始 调 运 方 案
例1 某糖果公司下设三个工厂， 每日产量分别为：A1－7吨， A2－ 4吨， A3－9吨。该公司将这些产 品运往四个门市部，各门市部每 日销量为B1－3吨， B2－6吨， B3 －5吨, B4－6吨。各工厂到各门 市部的单位运价见下表，用最小 元素法确定一初始调运方案。
表上作业法求解思路：
初始调运方案
表 上 作 业 法
是否是 最优解
Y
N
方案调整
结束
确 定 初 始 调 运 方 案
1.最小元素法： 这种方法的基本思想是就近供应，从 运价表中最小运价开始确定运量，然 后次小，一直到给出初始调运方案为 止。具体做法为： ① 找出运价表中最小元素CLK，确定 xLK=min{aL,bk}，若xLK=aL,则令 b bk xLk 划掉运价表中的第L行；反之,若xLK=bL 则令 a a x ，划掉运价表中的第K列 ② 在运价表中剩余元素中重复①，直 至运价表中所有的元素全被划掉
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x1m x21 x22
1 1 1
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m行
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运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
运输问题具有下述特点： (1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1； (2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非零 元素，这对应于每一个变量在前m个约束方 程中出现一次，在后n个约束方程中也出现 一次。
pij (0
1
1
0)T ei em j
(3) 矩阵的秩=m+n-1
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
对产销平衡运输问题，除上述两个特 点外，还有以下特点： (1) 所有结构约束条件都是等式约束； (2) 各产地产量之和等于各销地销量之 和。
产销平衡表
表 上 作 业 法
单位运价表
1
4 8 2
12 10
12
4 3 11
4 2
11 16 9 10
7 0 6 0
8 14 5
8 6 22 8 1
设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输 量，则此问题的数学模型为：
运 输 问 题
二、运输问题数学模型的特点：
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
1 1
x11 x12
确 定 初 始 调 运 方 案
2.西北角法（左上角法）： 这种方法的基本思想是给运输表左上角 变量分配运输量，以确定产销关系，依 此类推，一直到给出初始可行方案为止。 具体做法为： ① 先决定运输表左上角变量xLK，令这 个变量取尽可能大的值即 xLK=min{aL,bk}，在这个变量对应的数 字格上填上变量所取的值。
运筹学
Operations Research
本章内容重点
运 输 问 题
运输问题与有关概念 产销平衡运输问题的求解—表上 作业法
运 输 问 题
前面讨论了线性规划问题的一般解法，在 实际生活中，碰到的线性规划问题的系数 矩阵往往具有特殊的结构，这就可能找到 比单纯形法更为简单的方法，从而节省计 算时间和空间。本章讨论的运输问题就是 这样一类特殊的线性规划问题。 在经济生活中，常碰到大宗物资的调运问 题，如煤、钢铁、木材、粮食等物资，他 们在全国有若干生产基地，根据已有的交 通网络，制定调运方案，将这些物资运到 各个消费地点，而总运费最省。
确 定 初 始 调 运 方 案
西北角法： ② 若xLK=aL,则 b bk xLk 划去掉运输表 的第L行， 这些空格不再赋值；若 xLK=bk,则 aL aL xLK 划去第k列，这 些空格不再赋值。 ③ 对表上剩余元素重复①②wk.baidu.com直到所有 的格子都有标记。
k
用西北角法没有考虑单位运费的大小，显 然求解结果比较粗糙，收敛速度慢。
k
L
L
LK
确 定 初 始 调 运 方 案
例1 某糖果公司下设三个工厂， 每日产量分别为：A1－7吨， A2－ 4吨， A3－9吨。该公司将这些产 品运往四个门市部，各门市部每 日销量为B1－3吨， B2－6吨， B3 －5吨, B4－6吨。各工厂到各门 市部的单位运价见下表，用最小 元素法确定一初始调运方案。
3
运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
设某物资有m个产地A1，A2，…，Am 其产量分别是a1,a2, …,am,有n个销地 B1，B2， …，Bn,其销量分别是b1,b2, …,bn。已知产地Ai到销地Bj的单位运 价是Cij（i=1,2, …,m； j=1,2, …,n ） 这些数据可以用运输表表示。若总产量 等于总销量（产销平衡）试确定总运费 最省调运方案
确 定 初 始 调 运 方 案
3.沃格尔法 罚数=次小费用-最小费用 找出最大的罚数行或列所对应 的最小费用优先安排。 重复计算步骤1和2
沃格尔法例题
确 定 初 始 调 运 方 案
销地 产地
B1
B2
B3
B4
产 量
行罚数 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 4 5
A1 A2 A3 销量
3
得到初始调运方案如下：
确 定 初 始 调 运 方 案
称上面这个产销平衡表中填有数字的 格为数字格，它对应的变量相当于基 变量；没填数字的格称为空格，它对 应的变量相当于非基变量。 上表中共有m+n-1个数字格，即初始 调运方案存在m+n-1个基变量。
确 定 初 始 调 运 方 案
特别情况： 当最小运价CLK对应的aL和bk相等时，即 对应的产量和销量相等时，为保证基 变量的个数为m+n-1个，除了在产销 平衡表填xLK=aL外，还应在产销平衡表 中的第L行或第K列某空格（相应运价 未被划掉）处填一个“零”，然后同 时划去运价表上的第L行和第K列，该 “零”看作是数字格。
运 输 问 题
运输问题的提出 一般的运输问题就是要解决把某种 产品从若干个产地调运到若干个销 地，在每个产地的产量（供应量） 与每个销地的销量(需求量)已知， 并知道各地之间的运输单价的前提 下，如何确定一个使得总运费用最 省的调运方案。
确 定 初 始 调 运 方 案
例1 某糖果公司下设三个工厂， 每日产量分别为：A1－7吨， A2－ 4吨， A3－9吨。该公司将这些产 品运往四个门市部，各门市部每 日销量为B1－3吨， B2－6吨， B3 －5吨, B4－6吨。各工厂到各门 市部的单位运价见下表，用最小 元素法确定一初始调运方案。
表上作业法求解思路：
初始调运方案
表 上 作 业 法
是否是 最优解
Y
N
方案调整
结束
确 定 初 始 调 运 方 案
1.最小元素法： 这种方法的基本思想是就近供应，从 运价表中最小运价开始确定运量，然 后次小，一直到给出初始调运方案为 止。具体做法为： ① 找出运价表中最小元素CLK，确定 xLK=min{aL,bk}，若xLK=aL,则令 b bk xLk 划掉运价表中的第L行；反之,若xLK=bL 则令 a a x ，划掉运价表中的第K列 ② 在运价表中剩余元素中重复①，直 至运价表中所有的元素全被划掉