泊松分布

分布？
2
38
3
17
4
7
Poisson分布拟合优度检验计算表
x
P（x）
T
A
0
0.1779
27.90
26
1
0.3071
42.50
40
2
0.2651
32.37
38
3
0.1526
16.44
17
4
0.0658
6.26
7
合计
自由度=组数-1-1=5-2=3
(A-T)2/T 0.1294 0.1474 0.9775 0.0191 0.0872 1.3606
泊松分布的均数与它的方差相等
计算平均数和
例：有人观察血细胞计数池中400小格，并数出小格和中方差红，看 细胞数，如下图，问此分布是否符合Poisson分布? 是否相等
每小格红细胞数(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
合计
小格数 11 36 76 80 74 58 38 17 6 3 0 1 400
例8-13
例8-13 两样本计数差别的统计检验
某车间在改革生产工艺前，测取三次粉尘浓度，每升空气 中分别有38，39，36颗粉尘；改进工艺后，测取两次， 分别有25，18颗粉尘。问工艺改革前后粉尘数有无差别？
H0：μ1 = μ2 H1：μ1≠μ2 α=0.05
x1 (38 29 36) / 3 34.33 x2 (25 18) / 2 21.50 u 34.33 21.50 2.732
Poisson的可加性
从总体均数为λ1的Poisson分布总体中随机抽出一份样 本，其中稀有事件的发生次数为X1次，
再独立地从总体均数λ2的Poisson分布总体中随机抽出 另一份样本，其中稀有事件的发生次数为X2，
则它们的合计发生数T=X1+X2也服从Poisson分布，总 体均数为λ1+λ2。
x 23
2 5.91
61 5

2 0.05(5)
11.07
2


2 0.05(5)
,
p

0.05
则接受这一分布属于泊 松分布的假设，说明菌 落分布是随机的，没有 聚集性。
小结
在总体比例很小时，样本含量n趋 向于无穷大时，二项分布也就趋 向于泊松分布
泊松分布可看作是单位时间、单 位面积或单位容积中颗粒数或某 罕见事件发生数的概率分布
第二节 泊松分布 （Poisson distribution）
一、泊松分布的概念 二、泊松分布的性质 三、泊松分布的应用
一、泊松分布的概念
泊松分布（Poisson distribution）：为二项分布的 特例，如果某些现象的发生率π很小，而样本例数较 大，则二项分布逼近Poisson分布。
1837年S.D.Poisson提出的
u
x1 x2
或u
x1 x2
x1 / n1 x2 / n2
x1 / n12 x2 / n22
当两样本的观察单位（时间、面积、容积） 不相同时：
X1＋x2≥20 5＜X1＋x2 ＜ 20
u X1 X2
X1 n12

X2 n22
u X1 X2 1
X1 n12

X2 n22
用途：
用来描述研究单位时间内（或单位空间、容积内）某 罕见事件发生次数的分布：如 单位体积的水或牛奶中的细菌数的分布 计数空气中细菌或灰尘的分布 放射性物质在单位时间内放射次数的分布
用来分析医学上人群中遗传缺陷、癌症等发病率很低 的非传染性疾病的发病或患病人数的分布
二、泊松分布的性质
泊松分布资料的差异显著性检验
（三）泊松分布资料的差异显著性检验
1. 样本均数与总体均数比较： 直接计算概率法 例 8-10 正态近似法（≥20） ： 例8－11
例
已知在培养液中，每毫升平均有3个细菌数，今采集放在5℃
冰箱中的1毫升培养液测得细菌数5个，能否说培养液中细菌
数有无变化？
解：H0：＝3/ml vs H1：3/ml 样本值X＝5，对应的概率
三、泊松分布的应用
（一）概率估计和累积概率计算 （二）置信区间的估计
例 8-6 例 8-7 概率估计 例 8-8
（二）泊松分布的配合适度检验
例 8-8
（三）泊松分布资料的差异显著性检验
例 8-9 例 8-10
（一）概率估计和累积概率
概率估计 例 实验显示某100cm2的培养皿中菌落数等于3个的
据泊松分布的可加性原理，可计算出5分钟计数为： 50+20+20+40+10=140
若测定的数据只限于此，则5分钟的放射性脉冲计数 的均值可估计为140，则标准差为
140 11.83
wk.baidu.com 例
一个放射性物体5分钟测得脉冲数为140，另 一个放射性物体5分钟测得脉冲数为200次， 这两种物体混合后估计5分钟脉冲数的总体 平均数及标准差是多少？
x!
Poisson分布的图形
当=20时Poisson分布接近正态分布，当>50时可 认为呈正态分布。
分别等于 1, 2, 3, 6 的泊松分布
0.40
1
0.35
2
0.30
3
0.25
6
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
泊松分布的图形是由平均数来确定的
泊松分布的特征 泊松分布的应用范围
泊松分布的概率
如果某事件的总体平均发生次数为λ，则在n个独 立试验中，则该事件发生x次的概率为：
e x
P(X ) x!
x=0，1，2，3…
e＝2.71828 λ为总体平均数
Poisson分布的条件
n值很大，而π（或1-π)很小的二项分布 π或1- π接近于0或1：如<0.001或>0.999 二项分布的条件
95%CI : 1.96 99%CI : 2.58
例 8-9泊松分布的配合适度
将培养皿中的细菌稀 表8-4 细菌在计数小方格中的分布
释液置于血球计上，
数出小方格中的细菌 数，共计128个方格，
每小格
观察的
细菌数（x） 方格数（f）
计数结果见右表。问
0
26
此分布是否符合泊松
1
40
用甲、乙两种培养基对水质进行细菌培养,在相同的条 件下, 用甲培养基的菌落数为100, 用乙培养基的菌落 数为150, 问两培养基的菌落数的差别有无显著性?
由于平均数λ大于50，因而可用正态近似法进行泊松 分布的检验
u | x1 x2 | / x1 x2
如果两样本观察单位数不相等， 则用下式检验
概率
P( X 3) e6 63 0.089 3!
例：如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万， 那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概 率有多大？
n 1000 0.0015 1.5
P( X 2) e1.5 1.52 0.251 2!
P( X 5 | 3) 35 e3 0.10081
5! P( X ) 3X e3
X!
X0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
P(X)0.04980.1494 0.22400.22400.1680 0.10080.05040.0216 0.00810.00270.0008
类似Fisher’s检验， P值＝小于等于样本点的概率的概率之和 或者P值= 1－（大于样本点概率的概率之和）
应死亡：4000×3×29/10万=3.48人， x=0时的95%可信区间：查表得（0，3.7） 包括了3.48，故该乡仍可认为是该高发区的一样随机
样本，没有理由说此乡肝癌死亡率低于该高发区的平 均水平。
例 8-7
对于大样本资料置信区间可近似地运用正态分布法进 行
同一样品分别用 10 个平皿进行培养，共数得菌落数 1460个，试估计该样品菌落数的 95% 置信区间。
从同一水源独立地取水样5次，进行细菌培养，
每次水样中的菌落数分别为Xi，i=1,…,5,均服 从Poisson分布，分别记为Π（λi）, i=1,…,5， 把5份水样混合，其合计菌落数∑Xi也服务 Poisson分布，记为Π（λi+λi +…+λ5）.
例
某一放射性物体，以一分钟为时间单位的放射性计数 为50，20，20，40，10，问如果以5分钟为时间单位， 其标准差是多少？
差=均数，用下式进行检验，统计量Z近似服从标准正
态分布
Z X 0 0
2. 两样本均数比较的u检验
当两样本的观察单位（时间、面积、容积） 相同时：
X1＋X2≥20 5＜X1＋X2 ＜ 20
例 8-12
u x1 x2 x1 x2
u x1 x2 1 x1 x2
例 8-12
34.33 / 3 21.50 / 2
u X1 X2 X1 X2 n1 n2
P<0.01，拒绝H0接受H1
用泊松分布对聚集性的研究
应用均数=方差的特点可以检验样本中各计数（x1 ， x2 ，… xn)是否来自同一总体有随机样本。用所观察到 的样本数据，作如下卡方检验，其自由度为n-1
140+200=340
340 18.44
二、泊松分布的图形
泊松分布的特征只决定于平均数 ，不同的参数对应 不同的Poisson分布，即的大小决定了Poisson分布
的图形特征 当平均数很小时是很偏态的，但当平均数增大时则逐
渐趋向正态，这种趋向正态的“速度”是很快的。见 图
P( X ) ex
n
2
( xi x )
i1
2
x
这一检验和上面介绍的泊松分布配合适度检验都可用 于检验某一样本是否来自泊松分布，或检验某事件 （或颗粒）之间是否独立或是否有聚集性。
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培 养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概率为 25.1%
累积概率
如果稀有事件发生次数的总体均数为λ，则发生次数至 多为k次的概率为
P( X k) k P( X ) k e X
x0
x0
X!
发生次数至少为k次的概率为：
P(x k) 1 P(X k 1)
因此不能认为放在5。C冰箱中培养液中细菌数有变化
正态近似法 样本计数与总体均数差别的统计检验
某省宫颈癌死亡率为27.58／十万，该省抽查 10万人，作回顾调查，得某年宫颈癌死亡人 数为30人。假设该地女性人口年龄构成与全 省基本相同。问该地宫颈癌死亡率与全省有无 差别？
当泊松分布均数较大时，可用正态分布来近似，且方
累积概率
试估计每一个培养皿中菌落数小于3个的概率，大于1 个的概率。
2
P(X 3) P(X 2) 0.062 X 0
P( X 1) 1 P( X ) 0.983
例 8-6计算置信区间
小样本资料的泊松分布置信区间估计查附表8
例：计算置信区间
某乡有4000人口，连续3年无肝癌死亡。该乡位于肝 癌死亡率连年达到每10万人口29人的高发地区。问这 个乡肝癌死亡率是否较该高发区平均水平为低？
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(X) 0.04980.14940.2240 0.22400.1680 0.10080.05040.0216 0.00810.0027 0.0008
P值 =1－（大于样本点概率的概率之和） =1－P(4)－P(3)－P(2)－P(1) =1－0.1494-0.2240-0.2240-0.1680 =0.2346 >0.05，
当n很大而π很小,且nπ=为常数时,二项分布近似
Poisson分布
Poisson分布的总体均数和方差相等：即=2 当增大时，Poisson分布渐近正态分布;当≥20时Poisson
分布资料可作为正态分布处理 Poisson分布具有可加性
Poisson分布的均数和方差
n 当 0时 ，1 1 n (1 ) n