流体力学第3章流体静力学

p f x , x
p p f y , f z y z
9
grad p f
矢量式可表示为：

或 p f 或 f


p

上式即为流体静力学基本方程。它说明在静 止流体内部，压强梯度等于流体的密度与质 量力的乘积。
10
p f x , x
p f y , y
27
(2)物体所受的浮力——阿基米德定律
完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液 体对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：
z p0 F

0
F n pdA
A

dA
ρ
A,V p
→ n
其中，“-”表示dA上的压力与n 相反。A为物体表面 面积， 为表面单位法线矢量，p为物体表面所受的压 n 力。 28
A1 A1 A2
ngzdA
A1
A1 A2
n p dA ngzdA
0 A1
31
假定沿自由液面切割物体，物体切割面的 面积为A0，显然有
ngzdA 0
A0

z
0
A0
F
A2,V2
dA
p0
于是A1，A0构成封闭面， 应用奥-高公式有：
F ngzdA ngzdA
在重力场中，液体所受到的质量力只有重力， 即：
fx 0
fy 0
f z g
z o h
由于压差公式为： ( f x dx f y dy f z dz) dp
则dp gdz
积分得：
p0 y p
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p gz c
若用距离自由液面的深度h表示，则p=ρgh+c
14
f y
例3-1. 设在一流场中有质量力：

f ( y 2yz z ) i
2 2 2

( z 2xz x ) j
2
( x 2vxy y ) k
2 2

问：当λ,µ,v取何值时，该流场是静止的。
15
解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：

f ( f ) 0
一个面上都只有法向应力的作用，并且是压应力，也 就是压强。其性质如下：
2
(1)压强作用方向沿作用面的内法线方向
流体几乎不能承受拉力。 在静止流体内部，切应力 为零. 只有沿作用面内法线方向 的应力，即压强。
3
若作用于微小面积Δ A上的力为Δ F，则 压强
p 为：
F p lim A0 A
a x
35
解：物体重量为：
a3 G 9810 (0.6 1.4) 2
a x
物体受到的浮力为： F=a2(a-x)×9810×0.9+a2x×9810×1.3 由于两者平衡：G=F
（a3/2）× (0.6+1.4)=a2[(a-x) ×0.9+x ×1.3]
由a=1m， 1=0.9+0.4x， 所以x=0.25m
2
17
要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即:
1 0, 1 v 0, 1 v 0
解三元一次方程组得：
v
1 2
只有满足上述条件时，该流场中的流体才 是静止的。
18
(2)质量力有势 对于不可压缩流体，其密度ρ=const，则 p p f ( ) 两边取旋度： f ( )


r F yc gV i xc gV j g ( x j y i )dV
V





解出浮力中心坐标为：
1 xc V
xdV ,
V
1 yc V
ydV ,
V
34
例题.边长a=1m的立方体，上半部分的比重 为0.6，下半部分的比重是1.4，平衡于两层不 相混合的液体中，上层液体比重为0.9，下层 液体比重为1.3，试求立方体底面在两种液体 交界面下面的深度x（水的重度为9810N/m3）。
4
(2)压强大小与作用面的方向无关
下面予以证明：在流场中取一微元四面体ABCD， 过D点的三个棱边在坐标轴上。设斜面ABC的面积为dA。 z
C
py dx A
γ D α
dz
px
β dy
pn
y B
x
pz
5
由几何关系得：
dA cos 1 dydz 2 1 dA cos 2 dxdz dA cos 1 dxdy 2

在直角坐标系中的表达式为：
f y f x f x f z f z f y fx ( ) f y ( ) fz ( )0 y z z x x y
对给定的质量力求偏导数：
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f x y f y x f z x
2 y 2z 2z 2 x 2 x 2vy


所以
由上式
f 0 —不可压缩流体静止的必要条件


f U
其中U为标量函数。
流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因 此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件，U被 称为质量力势函数。右边的负号表示质量力作正功等 于质量力势的减少。
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(3)有势质量力场中静止流体的分界面
设有密度不同的两种互不混合的流体，它们具有 明确的分界面。在分界面上，dp=0，即分界面为等压 面，也可以说分界面是等势面。
当h=0时，p=p0，于是确定积分常数c=p0，则：
p gh p0
上式即为重力场下均质静止液体中的压力
分布公式。该公式是流体静力学计算的基础之
一。
26
思考题
静止流场中的压强分布规律：
（a）仅适用于不可压缩流体
（b）仅适用于理想流体
（c）仅适用于粘性流体
√ （d）既适用于理想流体，也适用于粘性流体
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由于p p 0 ，所以有

f ( f ) 0

不可压缩流 体静止的必 要条件？
即流体静止的必要条件。 在直角坐标系中为： f y f x f z f z fx ( ) fy( ) y z z x
f x fz ( )0 x y
p f z z
将上式各式依次乘以dx，dy，dz后相加得：
p p p dx dy dz ( f x dx f y dy f z dz) x y z
即：dp ( f x dx
f y dy f z dz) 称为压差公式。
圆柱坐标系下的压差公式为：
dp ( f r dr rf d f z dz)
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将流体内部压强相等的点连接起来的曲 面称之为等压面。在等压面上 p(x，y，z)=常数 即：
dp 0,
f x dx f y dy f z dz 0

矢量式为：
f d l 0

上式即为等压面方程。式中 d l 为等压面上的 有向微元线段。说明质量力与等压面垂直。
36
3.3.2非惯性坐标系中的静止液体
流体静力学基本方程式是对惯性坐标系建立的，
在非惯性坐标系中，流体处于相对静止状态，则其
表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质，因
此，基本方程同样可以成立。不同的是在非惯性坐 标系中，流体处于静止状态，其所受的力还应包括 惯性力，即基本方程中的质量力应为重力和惯性力 两部分之和。
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则浮力为
F n pdA n ( p0 gz)dA
A A
z p0
0
由于p0为常数，

F

n p dA 0
0 A
dA
ρ
A,V
→ p n
故有 F ngzdA 根据奥-高公式有：
F ngzdA gzdV g k dV gV k
2
f x z f y z f z y
2y 2 z 2 z 2x 2vx 2 y
2 2
将其带入流体静止条件得：
( 1) y z (1 v) yz
2 2
(1 v) xy (v 1) z x (1 ) x z ( v 1) x y 0
3 流体静力学
*流体静力学基本方程及流场静止条件 流体静压及计算
浮力的计算
压力测量方法
*非惯性坐标系中的静止流体特性
*静止流体对壁面的压力
1
流体静力学是研究作用于静止流体上的力的平衡 问题。 3.1静止流体的压强特点 对于流体，只有在运动状态下才有可能存在切应
力，而处于绝对静止或相对静止状态的流体中，任何
0,则px=pn。同理
z C py dx A x pz pn
7
py=pn
所以有px=py=pz=pn。
pz=pn
px dz
D
因此，静止流体在 通过D点的任意方向上 的压强都相等。
dy B
y
3.2流体静力学基本方程及静止流场基本特性
3.2.1流体静力学基本方程
在流体内部取如图示微元六 面体，分析微元体在x轴上的受力 情况。 x轴正向上压力为pdydz z dy p dz dx y
以坐标原点为参数点，物体所受的合力矩为：
M ( r n ) pdA
A



z
0
p0 F
dA
ρ
①完全浸没物体的浮力
A,V p
→ n
对于一个完全浸没在液体中的物体，物体体积为V， 表面积为A液体密度为ρ，自由液体与大气接触，大气 压为p0，物体表面所受压力为：
p p0 gz
A1 A0
ρ
A1,V1
→ p n

A1 A0
ngzdA gzdV gV k
1 V1

32
上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其 所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将 液体中的物体受的浮力写成：
F gV浸 k
③浸没物体的浮力力矩

A V V
A


上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液 体的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。 30
②部分浸没物体的浮力 物体的浮力可写成：
F n pdA n p0 dA
A1 A2
z
F
0 A2,V2
dA A1,V1
p0
ρ
→ p n
ngzdA ( n p0 dA n p0 dA)
x负向压力[p+(әp/әx)dx]dydz
p+(әp/әx)dx x
质量力在x轴方向上的分量为ρfxdxdydz
8
则x轴方向上力的平衡方程为：
z dy
p dz dx y
f x dxdydz pdydz
p ( p dx)dydz 0 x
整理得： x
p+(әp/әx)dx
同理得：
√（c）质量力有势
（d）流体黏度小
23
3.3一些流体静力学基本问题
在工程和科学中，有各种各样与重力场静止液体
相关的问题，如过程工业中盛装液体的容器的受力，
水坝和水闸等水工结构的受力，船舶的浮力和浮力矩
的设计，液压机械受力等等。
3.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力
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(1)重力场中静止液体的压力公式
z C py dx A x pz
γ D α
dz
px
β dy
pn y
B
作用在微元体上的外力应平衡，在x方向有：
p wenku.baidu.com 1 dydz 1 dxdydz f x 2 3 pn dA cos 0
将几何关系代入上式得：
6
px dxfx pn 0
2 3
当微元体向D点缩小时，dx 可得：

12
3.2.2静止流场基本特性
(1)流体静止时质量力必须满足的条件 对静力学基本方程两边取旋度，有：
f ( 1

p

)
1

(p )
1

p
( ) p

则有：

( (p ) 0)
p 1 1 1 f ( f ) [( ) p] ( )(p p)


M ( r n ) pdA g ( x j y i )dV
A V
33


由于合力和合力矩是相互垂直的，即 M F 设浮力中心位于x=xc，y=yc，则浮力中心的矢径 为 r xc i yc j ，于是根据 r F M 有







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（4）正压流场
流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流 场，即：
( p)
p const
热力学等温过程的流场就是一种正压流场，因 为等温过程中

上式说明正压流场中等压面与等密度面重合， 这是正压流场的一个重要性质。
21
思考题
流体处于平衡状态的必要条件是：
（a）流体无粘性
（b）流体黏度大