考研数学-线性高阶微分方程

2x x
而xe 是非齐次方程的一个特解, y C1e C2e xe 是所求方程的通解.
2x x x
x
由y 2C1e 2 x C2e x e x xex
2x x x x y 4C1e C2e 2e xe
消去C1 , C2 , 得所求方程为 y y 2 y (1 2 x)e x
0 x
证：令s x t ,
u( x ) ( x s )u( s )( ds )
x 0
x u( s ) ds su( s ) ds
0 0
x
x
u( x) u(s) ds xu( x) xu( x) u ( s) ds
0 0
x
x
u( x) u ( x) u( x) u ( x) 0, u(0) 0, u(0) 0
其中 Pl ( x ), Pn ( x )分别是x的l 次和m 次实系数 多项式; ， 为实常数.
方程(1)必有如下形式的特解：
(1) ( 2) y x k [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ]e x 其中k的取法如下：
= +i 非特征根 k 0
y p( x ) y q( x ) y f ( x ) (6.2) y p( x ) y q( x ) y f1( x ) f 2 ( x ) 的解 y py ( x()x y) q (x )x y) 0 (6.1) 的解，则 y ( 是方程： 1 2
特征根 1
(1 ) ( 2) m max{ l , n}. Rm ( x ), Rm ( x )为x的待定多项式，
一. 线性微分方程解的结构
例1 已知 y1 3, y2 3 x , y3 3 x e 都是方程
2 2 x
( x 2 2 x) y ( x 2 2) y (2 x 2) y 6 x 6 的解 ， 写出此方程的通解 .
非齐次方程的一个特解 y * cos x sin x
原方程的通解 ye
2 x
(C1 cos x C2 sin x) cos x sin x
要使 y( x) 在 ( , 0 ) 内有界 , 必须有 C1 C2 0 , 故所求为 y cos x sin x
y C1e r1 x C2e r2 x ;
y (C1 C 2 x )e r1 x ;
y e x (C1 cos x C2 sin x ).
非齐次类型1.
f ( x ) Pm ( x )e x
其中 Pm ( x ) a0 x m a1 x m 1 am 1 x am ,
例11 练习五/十三
求微分方程 y ( x e2 y )( y)3 0 的通解 .
解：以 x 为未知函数 , y 为自变量变换方程 1 x y , y , 3 x ( x) 2y 代入方程化简后为 x x e 1 2y y y xh C1e C2e , x p e 3 1 2y y y 通解 x C1e C2e e 3
x 2x x x 已知 y xe e , y xe e , 例2 1 2
y3 xe e e 是某二阶常系数线性
x 2x
x
非齐次微分方程的三个解 , 写出此微分方程 .
解法一：由题设知, e 与e 是对应齐次方程两个线性无关的特解,
2x x
而 xex 是非齐次方程的一个特解 , y3 y1 y2
u( x) C1e C2e
x x
代入 u(0) 0 , u(0) 0 , 得C1 C2 0
u ( x) 0
例6 求方程 y ( 6) 2 5 y (5) 5 y ( 4) 0 的通解 .
解：特征方程 2 5 5 0
6 5 4
特征根 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 5
解：y u xu,
y 2u xu,
代入原方程 , 化简后有 u u sin x . 1 * U ( x) C1 cos x C2 sin x, u ( x) x cos x 2 1 u ( x) C1 cos x C2 sin x x cos x. 2 1 2 原方程通解 y C1 x cos x C2 x sin x x cos x 2
y py qy 0 求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程; r 2 pr q 0 （2）求出特征根; r1 , r2
（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.
特征根的情况 通解的表达式
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根 r1， 2 i ( 0)
解：对应齐次方程
2 ( x 2 x) y ( x 2) y (2 x 2) y 0 2
有特解 y2 y1 x , y3 y2 e ,
2 x
ex 且 2 常数, e x与x 2线性无关, x
齐次方程的通解 yh C1 x 2 C2e x
非齐次方程的通解是 y C1 x 2 C2e x 3
3 1 y xe cos x sin x 10 10
* x
所求为 y e
2 x
3 1 e xe cos x sin x 10 10
x x
例10 写出微分方程x y 2 xy ( x 2) y x sin x
2 2 3
Fra Baidu bibliotek
在换元y xu( x)下的新形式, 并求原方程的通解.
4 3 2
所求方程为 y ( 4) y 4 y 4 y 0
例4
写出以 y1 xe x , y2 sin 2 x 为特解的 最低阶的常系数线性齐次微分方程 .
解：特征根 1,1, 2i. 特征方程( 1) ( 2i)( 2i) 0
例9 求方程 y 3 y 2 y e x sin x 3 1 满足初始条件 y (0) , y(0) 的特解 . 10 10 2 解： 特征方程 3 2 0 ,
特征根 2 , 1，
Y C1e 2 x C2e x 令 y axe b cos x c sin x , 3 1 a 1, b , c , 10 10
2
即 2 3 4 2 0
4 3 2
微分方程y
( 4)
2 y 3 y 4 y 2 y 0
例5 设函数 u( x ) 在 ( , ) 上连续 , 且满足
u( x ) t u( x t ) dt , 证明 u( x ) 0 .
2 例8 写出方程 y y 6 sin x 的一个特解形式 .
解：
y y 0
2
特征方程 0 , 特征根 0 , 1 ,
Y C1 C2e x
f ( x) 6 sin 2 x 3 3 cos 2 x y* ax b cos 2 x c sin 2 x
性质3 若 y1 ( x ), y2 ( x )均是非齐次线性方程 ( 2)的
解，则 y1 ( x ) y2 ( x )必是齐次线性方程 (1)的解.
性质4 (非齐次线性方程解的叠加原理)
若 y1( x ), y2 ( x )分别是方程 :
y p( x ) y q( x ) y f1( x ) y p( x ) y q( x ) y f 2 ( x )
二. 常系数齐次微分方程 例3
写出以 y1 1 , y2 2e , y3 3 cos 2 x 为特解的四阶常系数线性齐次方程 .
x
解： 特征根 0 , 1 , 2i 特征方程 ( 0)( 1)( 2i)( 2i) 0 即 4 4 0
, ai ( i 1,2,, m )均为常数，a0 0.
设非齐次线性方程(1)的特解为
0, 不是特征根 k 1, 是特征单根, 2, 是特征重根
y x k Qm ( x )e x ,
类型2. f ( x ) e
x
[ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ]
1
1
2
d d , arcsin
1

C
由条件 (0) 2 , 得 C

6
) 1.
故所求曲线L的方程为
arcsin 1



6
或 sin(

6
若化为直角坐标 , 则为 x 3 y 2 .
例13 练习六/二
求定义在区间[1,)上的连续函数f ( x), 使x 1时有f ( x) 0, 且在区间[1, x]上以 y f ( x)为顶的曲边梯形的面积, 等于此 曲线段终点的横坐标x和纵坐标y乘积的平方.
第二节
高阶线性微分方程
线性微分方程解的结构
y p( x ) y q( x ) y 0 y p( x ) y q( x ) y f ( x ) (1) ( 2)
性质 1 (齐次线性方程解的叠加原理) 若函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个解,则
* x
3 1 通解y C1e C2e xe cos x sin x 10 10 3 3 y (0) C1 C2 10 10 1 1 y(0) 2C1 C2 1 10 10 得 C1 1 , C2 1 ,
2 x x x
y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.(C1 , C 2 是任意常数）
若 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是两个线性无关的解,则
y C1 y1 C 2 y2 是(1)的通解
性质2
若 y( x )是方程(1)的解，y ( x )是方程( 2) 的解，则 y( x ) y ( x )必是方程( 2)的解.
故此方程是 y y 2 y f ( x) .
将 y xex 代入上式 , 得
x x f ( x) ( xe ) ( xe ) 2( xe ) x
(1 2 x)e x
因此所求方程为
x y y 2 y (1 2 x)e
解法二：由题设知, e 与e 是对应齐次方程两个线性无关的特解,
四.微分方程的应用
几何应用
切线, 法线, 截距, 面积等
物理应用 微元法
F ma
例12 设曲线L的极坐标方程为 ( ),
M ( , )为L上任一点, M 0 (2,0)为L上一定点, 若极径OM 0 , OM与曲线L所围成的曲边扇形 面积值等于L上M 0 , M两点间弧长值的一半, 求曲线L的方程. 1 2 1 解： d 2 2 d 2 0 2 0 2 2 2 2 1, 对求导, 得 ,
方程的通解是
y C1 C2 x C3 x C4 x C5e
2 3 5x
C6 xe
5x
三. 二阶常系数非齐次微分方程 例7
求方程 y 4 y 5 y 8 cos x 在 ( , 0 ) 内有界的特解 .
解：对应齐次方程 y 4 y 5 y 0 的通解 Y e 2 x (C1 cos x C2 sin x)