数学建模微分方程模型

x ay
• 忽略非战斗减员
y bx
• 假设没有增援
x(0) x0 , y(0) y0
<>
正规战争模型 为判断战争的结局，不求x(t), y(t)
而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
x ay y bx x(0) x0, y(0) y0
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t)
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
dy bx dx ay
ay2 bx2 k ka0y2 b0x2
y(t)
k0 x0时 y0 乙方胜
k 0
k 0
2
ka
k 0

y 0
x0


b

r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0甲方胜
0
k b
x(t)
k0平局
<>
游击战争模型 双方都用游击部队作战
建模
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日 为, 且使接触的健康人致病 接触率
N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
s(t)i(t)1

di dt

i (1 i )
i ( 0 )

i 0
<>
模型2
<>
模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此， 对于“每天”体重的变化=输入-输出。由于考 虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。代入具 体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天） =5429（焦/天），
输出/天 = 69（焦/公斤•天）×（公斤） = 69（焦/天）。
<>
模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键 词，但要寻找的是体重（记为W）关于时间t的 函数。如果我们把体重W看作是时间t的连续可 微函数，我们就能找到一个含有 dw 的微分方程。
dt
<>
模型假设 1.以W(t)表示t时刻某人的体重，并设一天开始时 人的体重为W0。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 W(t)是关于连续t而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入 是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收； 输出就是进行健身训练时的消耗。
模型求解 用变量分离法求解，模型方程等价于
积分得
<>
从而求得模型解 就描述了此人的体重随时间变化的规律。
<>
现在我们再来考虑一下：此人的体重会达到平衡吗? 显然由W的表达式，当t→∞时，体重有稳定值W → 81 。 我们也可以直接由模型方程来回答这个问题。
在平衡状态下， W是不发生变化的。所以
这就非常直接地给出了W平衡=81。 所以，如果我们需要知道的仅仅是这个平
P1
0 s 1/ s 0
s
s0 - 1/ = 小, s0 1
x2
提高阈值1/降低被 传染人数比例 x
<>
§3 战争模型
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型
战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加
di
i (1 i )
dt
Logistic 模型
i
i ( 0 ) i0
1
i(t)
1
1/2
1


1 i0
1et
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
t
t m
1
ln
1 i0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1?
<>
模型4
预防传染病蔓延的手段 SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
提高 r0
的估计 s0i0r01
s 0
i 0
s1lnss 0
的图形，进行分析
D 0
s
1
<>
模型4 相轨线 i ( s ) 及其分析
SIR模型
di

dt

si
i
ds

dt
si
di

ds
1 1
s
i
1
i(s)(s0i0)s1lnss0
i

s s0
i0
D
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
i
/
di

ds
1 1
s

i
s s 0
i0
相轨线

i(0) i 0
相轨线
, s(0)
i(s)
s 0
i(s)(s0i0)s 1lnss0
的定义域
i
1
D { s ,i( )s 0 ,i 0 ,s i 1 }
在D内作相轨线 i ( s )
i0 di/dt < 0
i0
0
1-1/ 1 i
0
t0
t
i()

1
1

,

1
0,
1
接触数 =1 ~ 阈值
1i(t)
1 i0小
i(t)按S形曲线增长感康染者期人内数有不效超接过触病感人染数的健
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
<>
模型4
di i dt i(0 ) i0
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
i(t)i0et
t i ?
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
<>
模型2 区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t)
SI 模型
P4
P2
s(t)单调减相轨线的方向 im
s1/,iim t,i0
P1
P3
s 满s足 0i0s1lnss 0 00 s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0
传染病蔓延
1/~ 阈值
P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病不蔓延
y(t)
m0
乙方胜 线
m0
性
律
mc
m0
y 0
x0

d

rs s x rx x
c rysrysy

di dt

i(1 i)

i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
<>
模型3 dii(1i)i/ dii[i(11)]
dt
i
dt

di/dt
>1
i0
>1
i
1
1-1/
<>
体重的变化/天=△W/△t（公斤/天），
当△t→0时，它等于dW/dt。
考虑单位的匹配， 利用 “公斤/天=（焦/每天）/41868（焦/公斤）”, 可建立如下微分方程模型
dw542969w129616w dt 41868 10000 w|t0w0
<>
1t6
129 16W 6(129 16W 60)e 10000
<>
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
di

dt
si i
(日接触率) tm
病人可以治愈！
<>
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
微 分 方 程模型
§1 微分方程模型 §2 传染病模型 §3 战争模型 §4 最优捕鱼问题
§1 微分方程模型
一、微分方程模型的建模步骤
在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、 社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关 变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到 这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式， 这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微 分方程模型 。我们以一个例子来说明建立微分方程模 型的基本步骤。
忽略i
0
0
群体免疫
lns0 lns
s0 s
<>
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 xs s 0
s 0
i 0
s1lnss 0
0
i0
0,
s0
1
x 1

ln1(
x) s0
0
i
x<<s0
x(1s012sx02)0

x2s0(s0 1)
• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加
f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py ry~射击率 py ~命中率
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
g (x ,y ) d,x d r y x p x r x s r/x s y
战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
<>
一般模型 x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 模型 假设 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比
• 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x (t)f(x,y)xu(t),0 模型 y (t)g(x,y)yv(t),0
ds

dt
si
无法求出 i(t),s(t)
的解析解
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
在相平面 s~i 上
i0s01(通r常 (0)r0很小） 研究解的性质
<>
模型4
消去dt SIR模型
di

dt ds

dt
si si
• 忽略非战斗减员
x cxy y dxy
• 假设没有增援
x(0)

x, 0
y(0)

y 0源自文库
<>
游击战争模型
x cxy y dxy x(0) x0 , y(0) y0
dy d dx c
cy dx m m cy0 dx0
m0x0时y0
衡值，就不必去求解微分方程了！
<>
至此，问题已基本上得以解决。 一般地，建立微分方程模型，其方法可归纳为： (1) 根据规律列方程。利用数学、力学、物理、 化学等学科中的定理或许多经过实践或实验检 验的规律和定律，如牛顿运动定律、物质放射 性的规律、曲线的切线性质等建立问题的微分 方程模型。
<>
(3) 模拟近似法。在生物、经济等学科的实际问题中， 许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其 复杂的，常常用模拟近似的方法来建立微分方程模型、 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，这个过程 是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上 去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这 个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 本章将结合例子讨论几个不同领域中微分方程模型的 建模方法。
<>
例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038 （焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。 在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 （焦/公斤•天）乘以他的体重（公斤）。假设 以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂 肪含热量41868（焦）。 试研究此人的体重随时间变化的规律。
f, g 取决于战争类型
<>
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
xayxu(t) y bxyv(t) gb,x brxpx
<>
问题
§2 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
<>
模型1 已感染人数 (病人) i(t)
假设 建模
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
i(t t) i(t)i(t) t