分析力学-4--达朗贝尔原理及其应用

应用动力学普遍方程 n ( Fi FI i ) δ ri 0
来自百度文库i 1
M C I J C C
FC I maC maA mRC
M BI
FA I
A
mg
B
δ
MCI
FC I
mg
x A
δx
B
FAI maA M B I J B B
δ
系统的虚位移 δx δ R C
Fi mi ri
为有效力。 达朗贝尔方程（动力学普遍方程）
即：在理想约束下，质点系所受有效力的虚功之和为零。
当系统所受约束均为理想约束时，有效力的虚功之和为零。
( Fi mi ) ri 0 ri
i
达朗贝尔方程（动力学普遍方程）
说明：① 动力学普遍方程与虚功原理相比较有以下推广；
例4：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆
盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。试求滑块的加速度 和圆盘C的角加速度。
x A
B
aA
B
受力分析
MBI
C
解：运动分析 aA B R C

FAI
A
mg
B
FC I
mg
MC I
FA I maA
C
mg
aC aA C R
aC
M B I J B B
C
mg

M C I J C C FC I maC maA mRC
由动力学普遍方程得：
δ rC δ x R δ
δ rC
FAI δ x M B I δ (mg FC I ) δ rC M C I δ 0
5 3 [ a A R C g ]m δ x [a A R C g ]mR δ 0 2 2 aA 5 3 [ a A R C g ] 0 [a A R C g ] 0 C 2 2
aA
C
§1.4 拉格朗日方程及其应用
一、拉格朗日方程推导 1、拉格朗日关系二式
由坐标变换方程： ri ri (q1 , q2 , q3 , q4 .....qs , t )
对时间 t 求导：
例1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计, 绳 不可伸长。试求:重力为P1的物体的加速度a1。 自由度1
解:
( P FI1 )δ y1 (P FI2 )δ y2 0 1 2
P FI1 1 a1 g P2 FI 2 a2 g
o
FI 2
x
δ y2 2δ y1 a2 2a1 2 P2 P 1 a1 g 4 P2 P 1
动力学问题

静力学问题
动静法
质点的达朗贝尔原理
F R FI 0
maτ
man
主动力+约束力+惯性力=动平衡力系
FIn
FIτ
直 角 坐 d y2 FI y ma y m 标 dt2 系 2
FI z ma z m dz dt2
d x2 FI x m ax m 2 dt
{2m1 (e l sin b ) 2l cosb 2m1gl sin b [(m2 g k 2l (1 cosb )]2l sin b }δ b 0

[(m1 m2 ) g 2kl(1 cos b )] tan b m1 (e l sin b )
例2：三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑，A和B的质量各为 mA、mB。试求:三棱柱B的加速度。 解: 自由度2
A m1g
l F b
a k l
l
a l
FI
B
δ yC 2l sin b δ b
F
m2 g y
m1 g
2FI δ xA 2m1 g δ y A (m2 g F ) δ yC 0
C
F 2l (1 cos b )k
FI m1 (e l sin b ) 2
。

Fiy 0
G F1 F2） 0 （ cos
F2
I
B
A
G
FI
G G F1 l 2 得: 2g 2 cos P F1 [C]: 2 cos

G
G
FI
C
F1
A
P
F1
得:
GP cos g 2 Gl
F1
C
P
M BI
FA I
A
mg
B
δ
MCI
FC I
mg
x A
δx
B
FA I maA M B I J B B
δ
系统的虚位移 δx δ R C
C
mg

M C I J C C FC I maC maA mRC
或令
Qx
1 δ 0， x 0 ） δ
δ rC δ x R δ
解
FI1 P1
P2
a2
a1
1、运动分析，确定自由度；虚位移分析；
题 2、受力分析（包括惯性力）； 步 3、列写方程； 4、确定虚位移之间的关系，运动关系； 骤 5、求解。 ：
y r 2 y1 r y2 L
2 1 2 y y a2 2a1和 y2 2 y1
（ FB I FAIe FAIr cos )xB 0
a Ar mB a B m A a B mA cos
FB I mB aB FA Ir mAa A r
FN
mA g sin 2 aB , 2 2(mA sin mB )
FAIe mAaB
上题牛顿力学的方法求解
FI mr 达朗伯惯性力是在惯性系中
2、质点系达朗伯原理
对由n个质点所组成的力学体系 对第i个质点： Fi Ri Fij mi ri
( Fi Ri mi ) （i=1,2...n） ri 0 对系统进行累加：
FIi mi ri
质点系的达朗伯原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在各质点 上的惯性力在形式上构成平衡力系。
由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是
力系的主矢量和对任一点的主矩均等于零。
n n n M o ( Fi ) M o ( Ri ) M o ( FIi ) 0 i 1 i 1 i 1 n (F R F ) 0 i Ii i i 1
j
*
对 * 式左叉乘
i
ri ( Fi Ri mi ) 0 ri
ri
i
并对系统累加：
n n n M o ( Fi ) M o ( Ri ) M o ( FIi ) 0 i 1 i 1 i 1 n (F R F ) 0 i Ii i i 1
说明：①达朗伯原理仅对建立动力学方程提出了新的线索，
但并未对求解运动微分方程增加任何新的东西；
②对系统所得到的两个公式实际是质点系的质心运动 定理和对固定点角动量定理的另一种表示。
二、 达朗贝尔方程及其应用
1、达朗贝尔方程—动力学的普遍方程 由质点系达朗贝尔原理：

i 1
n
Fi Ri FIi 0
自 然 坐 标 系
dv FIτ ma τ m dt
v2 FI n m an m ρ
说明：
达朗伯原理是在惯性系中写出的；它并没 有改变动力学问题的性质。因为质点实际 上并不是受到力的作用而真正处于平衡状 态，而是假想地加在质点上的惯性力与作 用在质点上的主动力、约束力在形式上构 成平衡力系。 引入的，它取决于质点自身的加速度,不是 真正的惯性力 ；而作用在各质点上的惯性 力 则与所采用的非惯性系的加速度相关。
) 0 F R ( mr
F R mr
F R FI 0
质点的达朗贝尔原理
即主动力、约束力及达朗伯惯性力构成平衡力系。
F R FI 0
作用在质点上的主动力、约束力与惯性力构成一平衡力系。
通过在质点上虚 加惯性力
后边的三道例题不讲
例1: 飞球调速器以等角速度转动，已知:锤重力P，飞球A、
B均重G，各联杆长l。试求:A、B在转动时的张角
G 2 解: 惯性力: FI l sin g [A]: Fix 0 G l 2 sin ( F1 F2 ) sin 0 g F
δ rC
δ w FA I δ x M B I (mg FC I ) δ x 5 [ a A R C g ]m 0 2 δx δx
2） 0， x 0 δ δ
δ w (mg FC I )r δ M C I δ 3 Q [a A R C g ]mR 0 δ 2 δ
解析形式：
i
[(F
i 1
n
xi
mi i ) δ xi ( Fyi mi i ) δ yi ( Fzi mi i ) δ zi ] 0 x y z
任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯性力在 质点系任意虚位移中的元功之和为零。
在应用动力学普遍方程求解复杂质点系问题时，仍然是矢量微 分方程组，如何将复杂的惯性力系表示成简洁方式，普遍方程 中并没有给出，因此求解非常不便。


i 1
i
n
） 0 Fi Ri mi ri （
两边点乘 ri ：
) r 0 ( Fi Ri mi ri i
( Fi mi ) ri 0 ri
i
当系统所受约束均为理想约束时， 称
一、达朗贝尔原理（质点和质点系） 达朗贝尔原理是用静力学平衡的观点解决动力学问题， 又称为动静法。
1、质点达朗伯原理
对单个质点 法国科学家达朗伯（贝尔）于1743年 提出的
所受主动力为 F , 约束力为 R ，由牛顿第二定律：
令 FI mr，称为达朗伯惯性力，则上式可表示为：
a. 主动力推广到有效力；
b. 静力学推广到了动力学； ② 此式仍是对惯性系成立；
③ 动力学普遍方程主要应用于已知主动力求解系统运动
规律，要正确分析主动力和虚加的达朗伯惯性力以及它们 作用点的虚位移，正确计算相应的虚功。
④
ri 并不是独立的变分；不能由动力学普遍方程直接求解！

( Fi mi ) ri 0 ri
2、达朗贝尔方程—动力学的普遍方程应用举例
例1：调速器稳定在b 时，试求与b关系,弹簧原长为2l。 解: 自由度1
取广义坐标b
2e x
xA e l sin b δ xA l cos b δ b
y A l cos b
yC 2l cosb
δ y A l sin b δ b
FI
一、达朗贝尔原理（质点和质点系）
二. 达朗贝尔方程及其应用
达朗贝尔
法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了 大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中 最著名的有八卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、 23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。
达朗贝尔生平
达朗贝尔的科学成就
本章讲述内容
√§1.1 约束与广义坐标
理解 重点 理解
√ §1.2 虚功原理及其应用
§1.3 达朗贝尔方程及其应用
§1.4 拉格朗日方程及其应用
重点
理解
§1.5 拉格朗日方程的运动积分与守恒律
§1.3 达朗贝尔方程(动力学普遍方程）
这一节将通过达朗贝尔原理与虚功原理的结合，给出动 力学普遍方程即：达朗贝尔方程。它们是分析力学的基 础，是解决非自由质点系动力学问题的最一般原理。
FA Ir
1 δ xA 0, δ xB 0 ）
mAg
xB a
B
(FAIr mA g sin FAIe cos ) δ xA 0
m Bg
FB I
FA Ie aAr
xA
aAr g sin aB cos
2） xA 0, δ xB 0 δ