相交线经典例题

1．邻补角

（1）定义：两个角有一条__________，它们的另一条边互为反向__________，具有这种关系的两个角，互为邻补角．

（2）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成__________对邻补角．

2．对顶角

（1）定义：两个角有一个公共的__________，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．

（2）性质：对顶角__________．但相等的角不一定是对顶角．

3．垂线与垂线段

（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的__________，它们的交点叫做垂足．符号：如AB⊥CD．

（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°．垂线是一条直线，不可度量长度．

（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上．

（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有__________条直线与已知直线垂直（基本事实）．“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外．

（5）垂线的画法

一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；

二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；

三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．

（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__________最短．（7）点到直线的距离的定义

直线外一点到这条直线的垂线段的__________，叫做点到直线的距离．

4．同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角

定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的__________，具有这种位置关系的一对角叫做同位角．

位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F”．

（2）内错角

定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的__________，具有这种位置关系的一对角叫做内错角．

位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z”．

（3）同旁内角

定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的________，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角．

位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”．

K知识参考答案：

1．（1）公共边，延长线（2）四2．（1）顶点（2）相等3．（1）垂线（4）一（6）垂线段（7）长度

4．（1）同侧（2）两侧（3）同一旁

一、对顶角和邻补角的有关计算

1．补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．

2．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．

【例1】如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2=90°，则∠BOC的度数是

A．100°B．115°C．135°D．145°

【答案】C

【解析】∵∠1=∠2，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠2=45°，∴∠BOC=135°，故选C．

【例2】如图，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE，OF是∠BOC的平分线．（1）说明：∠AOC=∠BOE；

（2）若∠AOC=46°，求∠EOF的度数；

（3）若∠EOF=30°，求∠AOC的度数．

【解析】（1）∵OB平分∠DOE，∴∠BOE=∠BOD，

∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC=∠BOE；

（2）∵∠AOC=46°，∴∠BOC=180°–∠AOC=134°，∠BOE=46°，

∵OF是∠BOC的平分线，

∴∠BOF=∠BOC=67°，

∴∠EOF=∠BOF–∠BOE=21°；

（3）设∠AOC=α，则∠BOE=α，

∵∠EOF=30°，∴∠BOF=α+30°，

∵OF是∠BOC的平分线，∴∠BOC=2∠BOF=2α+60°，

∴α=180°–（2α+60°），∴α=40°，∴∠AOC=40°．

【例3】如图，将长方形纸片折叠，使点A落在点A′处，BC为折痕，BD是∠A′BE的平分线，试求

∠CBD的度数．

【答案】∠CBD=90°．

【解析】因为点A折叠后落到点A′处，所以∠ABC=∠A′BC．又因为BD是∠A′BE的平分线，

所以∠A′BD=∠EBD，

所以

11

()18090

22

CBD CBA DBA ABA EBA

''''

∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，

即∠CBD的度数是90°．

二、垂线的定义与垂线段的性质

1．垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角．

2．线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上．

3．垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量．

【例4】已知：点P是直线MN外一点，点A、B、C是直线MN上三点，分别连接PA、PB、PC．

（1）通过测量的方法，比较PA、PB、PC的大小，直接用“＞”连接；

（2）在直线MN上能否找到一点D，使PD的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．

【解析】（1）通过测量可知，PA＞PB＞PC；