纠错码——原理与方法

第1章 纠错码基本概念
什么是纠错码？为什么要引入纠错码？纠错码在 通信系统中起什么作用？ 如何实现纠错码？ 如何衡量纠错码的纠错能力及性能？ 纠错码的发展概况
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
1.1 纠错码的作用
数字通信系统模型
信道特性的描述
离散信道
➢可用转移概率律描述：P(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)X, b=(b1,b2,...bm)Y,均为矢量 （或n(m)重符号）
信道特性的描述
连续信道
➢可用转移概率密度函数描述：p(y=b|x=a), a=(a1,a2,...an)X, b=(b1,b2,...bm)Y, 均为矢量 （或n(m)重符号）
数字通信系统的简化模型
信源、信道与信道编码
信源：实时性与非实时性，可变速率，多媒体 信道：离散与连续，时变与非时变，有记忆与无 记忆
➢ 常见信道：模拟基带信道、射频信道、存储器等
不同的信源和信道类型所对应的最佳编码方案是 不同的。 信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射 复接、代数编码、调制、成形滤波、扩频、上下 变频等等都属于广义的信道编码范畴
子科技大学出版社，高等学校教材； “差错控制编码 （第二版）”, Shu Lin，Daniel J.Costello, 机械工业出 版社，电子与电气工程丛书）
其他有关事项
课外阅读，以turbo code，LDPC code，喷泉码， polar码为引子 论文与编程：五年内的国外期刊，以一两篇为主， 结合自己的理解，按电子学报论文形式，有创见 更好，可以与编程结合。编程内容在随后的课程 中出题目。占50% 考试：基本概念，50% 联系方式：email: rsun@mail.xidian.edu.cn
非时变信道
➢ 当各因子具有相同的转移概率形式时
有记忆信道
实际的连续信道通常会有符号间串扰（ISI）， 因此是有记忆的，但在一种较常见的特殊情况 下，即在加性平稳白高斯噪声下的线性信道 （y=Ax+n）时，可以等效于一个无记忆信道。
有记忆信道的无记忆化
对A作线性变换使正交化得：A=UTU，其中 为A的特征值矩阵。代入得 y= UTUx+n，令 x=UTx’，y’=UTy，n=UTn’，则有y’=x’+n’。于 是对x’和y’而言就形成了一个无记忆信道。由于 U为正交变换，不会产生信息量丢失，因此可 以认为X’-Y’信道与X-Y信道是等价的。于是我 们就可以直接利用有关无记忆信道的编码了。
0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 0111, 1101, 1110, 1011
能够纠正一个错误同时发现两个错误
译码正确 译码失败 译码错误
发现三个错误
译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明确判断
译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判断 完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是哪
n=2时 0
许用码组：00，11 禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 1
n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110 能够纠正一个错误，发现两个错误
0.9
0
0.1
0.1
0.9
1
BSC信道
n=4时
许用码组：0000，1111 禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000,
信道模型 离散无记忆信道DMC
p(0 | 0) p(1 | 0) p(q 1 | 0)
P
p(0 |1) p(1 |1) p(q 1 |1)
二进制信道
二进制信道
DMC信道
DMC信道
二进制删除信道
二进制删除信道
二进制纯删除信道
二进制纯删除信道
错误类型
随机错误——随机错误信道：深空信道，卫星信 道等
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纠错码——原理与方法
有关事项
目的：了解信道编码的作用与意义，对信道编码 的研究方法和成果有广泛的基本认识，学会应用， 为进一步研究打下基础 特点：以概念和物理意义为主，数学推导尽量放 到课外 考核形式：论文/计算机仿真+开卷考试 参考书： “纠错码——原理与方法”，王新梅，西安电
纠错码的基本原理
——纠错码如何纠正错误？
引入信道编码
检错和纠错：对付信道引入的差错
➢直观的译码准则：最小距离译码
Shannon第二定理
➢当信息速率R小于信道容量C时，总存在 一种编码方式使差错率低于任一给定值e
接近信道容量
重复码
00…00 11…11
许用码字Байду номын сангаас
若将每个比特重复n次，则构成一个码长为 n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效 率(码率)R=1/n
➢根据奈奎斯特采样定理，带限的时域连续波 形可以用采样序列描述。
无记忆信道
离散信道
➢ 当m=n，且P(y=b|x=a)=P(y1|x1)P(y2|x2)...P(yn|xn) 时， 各维的收符号只与相应的发符号有关，称为无记忆 离散信道，简写为DMC
连续信道
➢ 当m=n，且p(y=b|x=a)= p(y1|x1)p(y2|x2)...p(yn|xn) 时， 各维的收符号只与相应的发符号有关（无符号间串 扰），称为无记忆连续信道
突发错误——突发错误信道：无线信道，电缆传 输（开关脉冲噪声，串音），磁记录信道
混合错误——混合信道
差错控制系统分类
FEC ARQ HEC
发
收
可纠正错误的码
发 能够发现错误的码 收 应答信号
发 能够发现和纠正错误的码 收 应答信号
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信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的
一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信源 编码
信道 编码
信道
信道 译码
信源 译码
消息到波 形的映射
引入失真
判断是消 息集中的 哪个元素
信道
信道实际上也是从发空间X到收空间Y一 个映射函数 发空间的维数n与收空间的维数m可以不 等 根据收发空间中每一维所取的数域有限 或无限可分为离散信道和连续信道 这里借用了空间的名称，但只用到了它 的集合概念而没有用到空间中的运算