判断函数的奇偶性并给予证明

高等数学复习题

一、用数列极限的ε-N 定义证明： 3

2

4312l i m

=-+∞→n n n 。

二、证明符号函数⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0

,10,

00

1sgn x x x x ，

当0→x 时，没有极限。

三、求下列极限：

(1) )(lim 2

n n n n -+∞

→ (2) )1

41

35115131(lim 2-++++

∞

→n n

(3) n

n n n

n ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-∞→12lim 22 (4) 0lim →x x x

x 21)31(-+ (5) 0lim →x x e x x

e x x x 2)ln()ln(sin 222-+-+ (6) 1

cos arcsin lim 0-→x x x x

(7) )1ln()cos(sin 1lim 20x x x +-→ (8) 3

sin 022lim x x x x -→

(9) 0

lim

→x x

e e x

x 32

-+- (10) x

e x

x 3sin 1lim 1-∞→

(11) 1

2arctan lim ++∞→x x x x (12) x e x

e x x x 32lim +-+∞→

(13) sin 20

lim x

x x +

→ (14) x

x x 2tan 4

)

(tan lim π

→

(15) ⎰⎰--→u

x u

u dx

e dx x 0

)1()1(cos lim 2

(16)

2

2

)(lim 22)

0,0(),(y x

y x y x +→+

(17) 222

200lim lim y

x y x x y +-→→ (18)x y x xy 1

)2,0(),()1(lim +-→

四、找出函数)(x f 的间断点，并说明其类型。若是可去间断点，则补充定 义函数值后使它连续：

(1) ⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧<≠>+-=--0

3sin 1

,0212

1)(1

111

x x x x x x f x x (2) 2cos

2()(1)

x

f x x x π

=- 五、设⎪⎩⎪

⎨⎧≤>-=01

0sin 1)(222

x x x k e x f x 在点x = 0处连续，求k 。

六、（1）当0→x 时，求无穷小量x x sin tan -关于x 的阶

（2）当0→x 时，)1ln(k x +与3x x +为等价无穷小量，求k 的值。

七、求导数或微分： (1) x

x

y 1sin = (2) )cos 2ln(sin x x x y +=

(3) []

2

)21sin(x y -= (4) x x

y )211(-= (5) 求x x y arctan )1(2+=的二阶导数 (6) 设2

1)(x

x x f -=

，求)()

(x f n (7) ln y x x =，求dy (8) 函数xy

e z =的全微分dz (9) 求函数(

)

1+=x f

y 的导数

dx

dy (10) 求参变量函数⎩⎨

⎧-==t

t t y t

x cos sin cos ln 的dx dy

，2

2dx y d (11) 给定参数方程:),()

sin 1()

cos 1(∞+-∞∈⎪⎩⎪⎨⎧+=-=t t e y t e x t

t

,求

dx

dy

。 (12) 求由方程33

31x y xy +-=所确定的隐函数)(x y 在0=x 处的微分.

(13) 设)(x y y =是由函数方程 1)ln(2

2-+=+y x y x 在)1,0(处所确定的隐函数，

求dy 及)

1,0(dy

.

(14) 求函数)]()([2

2x x f y ψϕ+=（ψϕ,,f 均可导）的导数

dx

dy (15) 求由方程x y x y x sin )ln(23

2+=+所确定的隐函数)(x y 在0=x 处的微分.

(16) 求函数222z y x u +-=在点(1,2,3)处的偏导数、全微分、梯度和沿方向l ={3，1，-2}

的方向导数。

八、设⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+-<≤+<-=x x b x a x x e x f x 1,1)1sin(10,

0,1)(， 求a 、b 使得)(x f 在x = 0和x = 1 处可导。

九、导数应用

(1) 求函数]1,1[,4-∈+=-x e e y x x 的最大值和最小值。 (2) 求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值。

(3) 求函数32

2)2()3()(+-=x x x f 的单调区间和极值。

(4) 设函数x x x f cos 2)(+=，讨论函数在区间),0(π内的单调性与极值.

(5) 已知函数21

3

2+-=x

x y ，讨论其单调性，极值，凹凸区间，拐点和渐近线。 (6) 求曲线2ln(1)y x =+凸性区间与拐点:

(7) 求曲线1

x xe y = 的渐近线。

十、求积分 (1)

⎰+dx x x x )tan 21(sec

2

(2)

⎰

+dx x

x 2

31

(3) ⎰-+x

x e e dx 2 (4) ⎰xdx e x

3sin 2 (5)

⎰+x dx 2sin 1 (6)⎰+++22)1(2x x x dx

(7)

⎰

++dx x x )1ln(2

(8) ⎰+dx x x )21

sin(12

(9) 若)(x f 有连续的二阶导数，求⎰

dx x xf )("。

(10)

⎰

--22

2

28dx x (11)

⎰

--1

2

2

11sin dx x

x x