2 等差数列的概念及通项公式

2 等差数列的概念及通项公式

A 级——学考水平达标

1．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2n ，则它的公差为( )

A ．2

B ．3

C ．－2

D ．－3

解析：选C ∵a n ＝3－2n ＝1＋(n －1)×(－2)，∴d ＝－2，故选C.

2．若等差数列{a n }中，已知a 1＝13

，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，则n ＝( ) A ．50

B ．51

C ．52

D ．53

解析：选D 依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，代入a 1＝13，得d ＝23

.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13

，令a n ＝35，解得n ＝53. 3．设x 是a 与b 的等差中项，x 2是a 2与－b 2的等差中项，则a ，b 的关系是( )

A ．a ＝－b

B ．a ＝3b

C ．a ＝－b 或a ＝3b

D ．a ＝b ＝0

解析：选C 由等差中项的定义知：x ＝a ＋b 2

， x 2＝a 2－b 22

， ∴a 2－b 22＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22，即a 2－2ab －3b 2＝0. 故a ＝－b 或a ＝3b .

4．数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 2 015的值是( )

A ．1 006

B ．1 007

C ．1 008

D ．1 009

解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12

，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12

， 所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32

， 所以a 2 015＝2 015＋32

＝1 009.

5．等差数列{a n }的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为( )

A ．a 8

B ．a 9

C ．a 10

D ．a 11

解析：选B |a n |＝|70＋(n －1)×(－9)|＝|79－9n |＝9⎪⎪⎪

⎪879－n ，∴n ＝9时，|a n |最小． 6．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.

解析：设等差数列{a n }的公差为d ，

由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝3，d ＝2.

∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.

∴a 6＝2×6＋1＝13.

答案：13

7．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________.

解析：根据题意得：

a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d )＝－a 1＝－1，∴a 1＝1.

又a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，∴d ＝－12

. 答案：－12

8．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________.

解析：根据已知条件a 2n ＋1＝a 2n ＋4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4. ∴数列{a 2n }是公差为4的等差数列，

则a 2n ＝a 21＋(n －1)×4＝4n －3.

∵a n >0，∴a n ＝

4n －3. 答案：4n －3 9．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2

，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由． 解：数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下： 因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2

，

所以1

a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， 所以1a n ＋1

－1a n ＝12(常数)． 所以⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列． 10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b

是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c

. 进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，

所以a 2，b 2，c 2成等差数列．

B 级——高考能力达标

1．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( )

A ．p ＋q

B ．0

C ．－(p ＋q ) D.p ＋q 2

解析：选B ∵a p ＝a 1＋(p －1)d ，a q ＝a 1＋(q －1)d ，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋(p －1)d ＝q ， ①a 1＋(q －1)d ＝p . ② ①－②，得(p －q )d ＝q －p .

∵p ≠q ，∴d ＝－1.

代入①，有a 1＋(p －1)×(－1)＝q ，∴a 1＝p ＋q －1.

∴a p ＋q ＝a 1＋(p ＋q －1)d ＝p ＋q －1＋(p ＋q －1)×(－1)＝0.

2．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等

差数列，则a 2－a 1b 2－b 1

等于( ) A.m n B.m ＋1n ＋1

C.n m

D.n ＋1m ＋1