概率论与数理统计 切比雪夫不等式和大数定律

题的处理中是十分有用的 .
3、定理5.3(辛钦定理): 设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 服从 同一分布, 具有数学期望
E( Xk ) = (k = 1, 2,L ) ,
则对于任意正数 ε , 有

lim P n
1 n
n k =1
Xk



=1
.
伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况 . 在实际
问题的处理中辛钦定理十分有用也很重要 .
事实上, 由辛钦定理可知, 如果随机变量
X1 ,X2 , … , Xn … 相互独立, 服从同一分布且具有数
学期望 μ , 则前 n 个随机变量的算术平均值
依概率收敛于它们的数学期望 μ .
1 n
n

= lim P n
1n n k=1 X k





=
1

.
证 由于
E( 1 n
n k =1
Xk )
=
1 n
n k =1
E(Xk )
=
1 gn
n
=

D( 1 n
n k =1
Xk )
=
1 n2
n k =1
D( Xk )
=
1 gn 2
n2
=
12
n
由切比雪夫不等式, 得
= P X 7300 2100
1 7002 = 1 1 = 8
21002
99
注 切比雪夫不等式虽然不能准确地求出某事件 的概率, 只是给出一个估计值, 但这在实际 问题的处理中仍然十分有用 .
二、大数定律
一、基本概念: 1、定义5.1:
设 Y1 ,Y2 , … , Yn , … 是一个随机变量序列, a 是一个常数 , 若对于任意正数 ε , 有
lim P
n
Yn a
=1 ,
则称序列 Y1 ,Y2 , … , Yn , … 依概率收敛于 a ,
记作 Yn P a .
2、依概率收敛的性质: 设 Xn P a , Yn P b , 函数 g( x , y ) 在点 ( a , b ) 连续 , 则 g( Xn , Yn ) P g(a , b) .
解 设 X 表示成年男性血液中单位白细胞数, 由 题意知 E(X)= 7300, D(X)= 700 2 , 由切比雪夫 不等式得
P 5200 X 9400 = P 5200 7300 X 7300 9400 7300
= P 2100 X 7300 2100

P
1n n k=1 X k






1


2 /n
2
=
1

2 n 2
由概率性质知

P
1n n k=1 X k






1

.
两边关于 n 取极限,即令 n , 则

lim P n
1 n
n
Xk
k =1



=1
.
定理5.2表明, 当 n 很大时, 随机变量 X1 ,X2 , … , Xn 的算术平均 X 接近于数学期望
X E(X)



D( X )
2
成立 .
注 (1) 切比雪夫不等式也可写为
P
X E(X)



1

D( X )
2
.
(2) 可用切比雪夫不等式近似求某一事件的概率 .
证明：仅就X为连续型随机变量的情况进行讨论。 设X的密度为f(x)，X的期望为E(X)=μ
P{ X E ( X ) } f ( x)dx X
E(X1) = E(X2) =L = E(Xn) = .
当然这种接近是在概率意义下的接近 . 有定理5.2 作保证, 当变量数学期望未知的时候, 可以选择一 些与该变量独立且有相同数学期望的随机变量, 用 它们的算术平均数作为数学期望的估计值, 选取的 随机变量个数越多, 估计程度就越好, 这在实际问
n
n
先给定的精度 ε 的可能性愈来愈小, 小到可以
忽略不计, 这就是说频率是依概率收敛到该事
件发生的概率 .
伯努利大数定律提供了用频率确定概率的理论 依据. 在处理实际问题的时候, 如果事件的概 率难求 , 可以通过这个定律用事件的频率代替 概率 . 例如, 估计某产品的不合格率 p , 可从 该种产品中随机抽取 n 件 , 当 n 很大时, 这 n 件产品的不合格品的比例可作为不合格品率 p 的估计值 .
n k =1
Xk
若
E
(
X
l k
)
=
l
(k
=
1, 2,L
)存在, 则
1 n
n k =1
X
l k
依概率
收敛于 l
=
E
(
X
l k
)
(k
= 1, 2,L
)
.

X E( X )
f (x) (X
E( X ))2
2
dx
1
2

(X

)2
f ( x)dx

D( X )
2
例1、 已知正常男性成人血液中, 单位白细胞数 (单位:个/mL)平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计单位白细胞数在 5200～9400之间的概率 .
2、定理5.2(切比雪夫定理的特殊情况):
设随机变量 X1 ,X2 , … , Xn , … 相互独立 , 且Biblioteka 具有相同的数学期望和方差:
E( Xk ) = , D( Xk ) = 2 .
作前n个随机变量的算术平均
1n
X
=
n
Xk
k =1
则对于任意正数 ε , 有
lim P X
二、常见的三个大数定理:
1.定理1（伯努利大数定理）设n为n重伯努利实验
中事件A发生的次数，p为每次发生的概率，则
对任意的ε>0，有
lim P{ n p } 1
n
n
伯努利大数定律是将概率的统计定义用数学式
表示出来, 它表明随着 n 的增大, 事件 A发生
的频率 n 与其概率 p的偏差 n p 大于预
第五章、大数定律 和中心极限定理
5.1切比雪夫不等式和大数定律
5.2中心极限定理
5.1切比雪夫不等式 和大数定律
1、切比雪夫不等式 2、大数定律
一 、切比雪夫(Chebyshev)不等式 :
定理5.1 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) 和方差
D(X) , 则对于任意正数 ε , 不等式
P