函数的奇偶性的综合应用

函数的奇偶性和综合应用

知识点梳理

1．函数的三要素为 、 、_______

2．函数的表示法有 、 、_______

3.单调性

定义：如果函数y ＝f (x)对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、

4.奇偶性：

① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x 都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) . ② 简单性质：

1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.

2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.

1. 求函数y =

的定义域

2．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）

A ．[]052

， B. []-14， C. []-55， D. []-37，

3．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f =____________ 4．已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)

0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x = ___________

5．为了得到函数()y f x =的图象，可以把函数(1)y f x =+的图象适当平移，这个平移是（ ）

A ．沿x 轴向右平移1个单位

B ．沿x 轴向右平移

12个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移12

个单位 6．方程组⎩⎨⎧=-=+91

22y x y x 的解集是（ ）

A ．()5,4

B ．()4,5-

C ．(){}4,5-

D ．(){}4,5-

7．若函数2()(32)f x k k x b =-++在R 上是减函数，则k 的取值范围为________

8．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）

A .2a ≤-

B .2a ≥-

C .6-≥a

D .6-≤a

9．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是___________________

10．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =

11．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。

12．函数4()([3,6])2

f x x x =

∈-的值域

13．求函数y x =

14．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）

A ．{}|303x x x -<<>或

B ．{}|303x x x <-<<或

C ．{}|33x x x <->或

D ．{}|3003x x x -<<<<或

15．设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时,

22αβ+有最小值?求出这个最小值.

16．12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，

求()y f m =的解析式及此函数的定义域。

17．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,

如果对于0x y <<,都有()()f x f y >,

（1）求(1)f ； （2）解不等式

(3)2f x -≥-。

18．已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+， 且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；

（2）函数()y f x =是奇函数。

思考：已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1）求证：f(x)

（2）如果0x >，f （x ）＜0,并且f(1)= -,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值. 21