圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程）

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?

定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则

（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|

cos 1|||2

2αe H

AB -=

； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|

sin 1|||22αe H

AB -=.

推论：

（1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α

22cos 1||e H

AB -=；

当A 、B 不在双曲线的一支上时，1

cos ||22-=

αe H

AB ；当圆锥曲线是抛物线时，

α

2

sin ||H

AB =

. （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α

2

2sin 1||e H

AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1

sin ||22-=

αe H

AB ；当圆锥曲线是抛物线时，

α

2

cos ||H

AB =

.

典题妙解

下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.

例1（06文第21题）已知椭圆13

4221=+y x C ：，抛物线px m y 22

=-）（（p ＞0），

且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点.

（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3

4

=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.

例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆12

32

2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P.

（1）设P 点的坐标为），（00y x ，证明：

2

32

020y

x +＜1. （2）求四边形ABCD 的面积的最小值.

例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 上，两条渐近线

分别为1l 、2l ，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交1l 、2l 于A 、B 两点. 已知||OA 、

||AB 、||OB 成等差数列，且BF 与FA 同向.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

金指点睛

1. 已知斜率为1的直线l 过椭圆1422

=+x y 的上焦点F 交椭圆于A 、B 两点，则||AB =_________.

2. 过双曲线1322

=-y x 的左焦点F 作倾斜角为6

π

的直线l 交双曲线于A 、B 两点，则||AB =_________.

3. 已知椭圆0222

2

=-+y x ，过左焦点F 作直线l 交A 、B 两点，O 为坐标原点，求△AOB

的最大面积.

4. 已知抛物线px y 42

=（p ＞0），弦AB 过焦点F ，设m AB =||，△AOB 的面积为S ，

求证：m

S 2

为定值.

5.（05全国Ⅱ文第22题）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12

2

2

=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点. 已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0=⋅MF PF .求四边形PQMN 的面积的最大值和最小值.

6. (07文第22题)如图，倾斜角为α的直线经过抛物线x y 82

=的焦点F ，且与抛物线交于

A 、

B 两点.

（Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程；

（Ⅱ）若α为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点P ，证明α2cos ||||FP FP -为定值，并求此定值.

7. 点M 与点)2,0(F 的距离比它到直线03:=+y l 的距离小1.

（1）求点M 的轨迹方程；

（2）经过点F 且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD 的最小面积.

8. 已知双曲线的左右焦点1F 、2F 与椭圆15

22=+y x 的焦点相同，且以抛物线x y 22

-=的准线为其中一条准线. （1）求双曲线的方程；

（2）若经过焦点2F 且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A 、B ；C 、D. 求四边形ACBD

的面积的最小值.

1

参考答案：

证明：设双曲线方程为12222=-b

y a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a c

e =，

弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为

为参数）（，

t t y t c x ⎩⎨

⎧=+-=.

sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得：0cos 2cos sin 4222222=-⋅+⋅-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得：

|

cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24|

|||22

2222

2222

2

2222

222

22222

122121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-=

-=-----=-+=-=）（）（

.|

cos 1|22αe H

-=

例1.解：（Ⅰ）当x AB ⊥轴时，点A 、B 关于x 轴对称，0=∴m ，直线AB 的方程为1=x .

从而点A 的坐标为），（23

1或）

，（2

31-. 点A 在抛物线2C 上，

.24

9

p =∴

即.89=p

此时抛物线2C 的焦点坐标为

），（016

9

，该焦点不在直线AB 上. （Ⅱ）设直线AB 的倾斜角为α，由（Ⅰ）知2

π

α≠.

则直线AB 的方程为）

（1tan -⋅=x y α.