解析1-计算机辅助几何造型技术复习题2013.6

曲线曲面的基表示如何分类？怎样判别其中的系数矢量是绝对矢量还是相对矢量？

贝齐尔曲线具有哪些性质？哪些性质可以推广到张量积贝齐尔曲面？

一条B样条曲线由哪些量决定？

B样条曲线的局部几何性质？

几何不变性的概念？

显方程、隐方程、参数矢函数表示的曲线曲面各具有怎样的几何不变性？

的改变而改变标量函数不具有几何不变性，参数是函数某情况下有几何不变性。

k次B样条的定义域和支撑区间是什么？由一条k次B样条曲线的定义域又是？

如何构造一条C 2连续的组合参数三次曲线？

给定一组控制顶点，节点矢量与曲线次数，构造一条B 样条曲线？求的曲线定义域？曲线段数？曲线在某一节点区间上的曲线段由哪些控制顶点定义？移动某一控制顶点将影响到哪些曲线段的形状？

1给定圆[]()πθθθθ20,0sin cos )

(≤≤=R R p ，将其改写

为部分规范基与规范基表示？

规范基：ρ(θ)=Rcos θi +Rsin θj +(1−Rcos θ−Rsin θ)0 部分规范基：ρ(θ)=Rcos θi +Rsin θj +10

(其中i ，j 是x 轴和y 轴方向上的单位矢量，0是0矢量，具体思想见PDF57页) 2给定一组三次贝齐尔曲线的控制顶点，分别用递推计算与作图法求： （1）曲线上的点及其一阶切矢。

（2）曲线上由两点间界定的子曲线段的贝齐尔点。 （3）升阶一次后的贝齐尔曲线。 （1）

b 01= 1−1

3 b 0+1

3b 1= −5,2 b 1

1= 1−1 b 1+1b 2= −1,6 b 2

1= 1−13 b 2+1

3b 3= 4,4 b 0

2= 1−1 b 01+1b 11= −11,10

b 1

2= 1−1 b 11+1b 21= 2,16

p (1)=b 03= 1−1 b 02+1b 12= −20

,4

p′(t )=n (b 1n−1−b 0n−1) 因为是4个顶点，所以n=3：

p′(13

)=3(b 12−b 02)=[13,6] （2）（具体思想见166页168页）。

对应于t ∈(1

3,1)区间的子曲线段的贝齐尔点为b 03，b 12，b 21

，b 3，为了不混淆，取 d 0=b 03，d 1=b 12 ，d 2=b 21 ，d 3=b 3。

把(13,1)区间作为整体区间，引入参数u ，原曲线上t =2

3的点等同于子曲

线段上u =(2/3−1/3)/(1−1/3)=1/2的点。再用递推算法求：

d 0

1= 1−12 d 0+12d 1= −79,14

3 d 1

1= 1−1 d 1+1d 2= 7,14

d 2

1= 1−1 d 2+1

d 3

= 5,2

d02=1−2

d01+

1

d11=

7

,

14

d12=1−2

2

d11+

1

2

d21=

11

3

,

10

3

d03=1−3

2

d02+

1

2

d12=

20

9

,4

则所求贝齐尔点为d0= −20

9,4，d01= −7

9

,14

3

，d02=7

9

,14

3

，d03=20

9

,4

（3）(第三小题请完全参考154页例题。，注意参数t是不一样的)。

给定两个顶点，分别构造两点连线的线性差值曲线与一般形式的直线，并求他们各自上的一点与切矢。

(假如给定p0,p1)，线性插值曲线为p(u)=(1−u)p0+up1,u∈(0,1)

p′(u)=p1−p0

(一般形式的曲线，这个好像就是普通y=f(x)形式的曲线，如果我没理解错的话)