课例造桥选址

课例-造桥选址

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

ﻩ

课例： 造桥选址问题

贵州省遵义市道真县玉溪中学 张学川

1 背景介绍

本节内容是我校实施的省级科研课题:“初中数学“课题学习”校本化实施与评价的行动研究”研究实施方案的研讨内容之一。本节内容经过了几位教师的执教与研讨,本文展示的是笔者的实践设计与实录。

1．1 内容与学情分析

“造桥选址问题”是人教版《数学》八年级上册第十三章“轴对称”的最后一节“ 课题学习”的第二节内容。比“将军饮马”问题较难，本节内容的解决主要是平移知识的综合应用。是对学生动手操作能力的一个考查,本节的难点在于如何把问题转化为“两点之间,线段最短的问题”,在解决的过程中渗透了化归的思想。

1.2 目标与目标解析

１.能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题． ２.体会图形的变化在解决最值问题中的作用;

3．能通过逻辑推理证明所求距离最短,感悟转化思想,体会利用作图解决最短路径问题。

达成目标的标志是：能够将实际问题中的“河”的两岸抽象为数学中的“平行线”，把实际问题抽象为线段和最小问题。通过学生独立思考、合作讨论、教师点拨等方式；能利用平移将线段的最小问题转化为“两点之间,线段最短”问题;能通过逻辑推理证明所求路径最短；在探索最短路径的过程中,体会平移的“桥梁”作用，感悟化归的转化思想,

1.3 教学思路与理念

本节教学的重点是利用平移变换解决造桥选址问题并利用“两点之间，线段最短”公理进行证明,难点是体会利用平移作图将最短路径问题转化为线段和最小问题。

最短路径问题从本质上说是极值问题，作为初中学生，以前涉及这方面的极值问题很少，特别是遇到具有实际背景的极值问题，更会无从下手。

在河岸的什么位置造桥，使得路径最短，采用通过平移桥、或者河道的办法，如何平移,为什么要这样平移,多少学生存在理解上和操作上的困难。在教学时，教师要适时点拨学生。

2 教学过程

引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”、轴对称、平移等的问题,

(1)如图，点Ａ,B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在Ｌ 的什么位 置时，ＡC 与CB 的和最小？

L B A

(2）下图中的变换属于平移的有哪些?

师生活动：让学生独立思考回答后,教师作补充。

设计意图：通过问题（1）、（2)让学生对轴对称性质、平移的定义及其性质的应用进行再认识。

2.1 将实际问题抽象为数学问题

历史上著名的造桥选址问题：

A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AＭNＢ最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直

)

F

A B

D E

C

师生活动：1．如上图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到Ｂ的路径指的是哪些线段的和?

学生:AM＋MN＋BN，

教师：这三条线段哪些线段的长度是固定不变的，那么怎样确定什么情况下路径最短呢?

学生：桥的程度MＮ是固定的不变的。

教师：利用线段公理解决问题:我们遇到了什么困难呢?

思维点拨：在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢?

学生:

（1）把A平移到岸边.

(2）把B平移到岸边．

(3)把桥平移到和Ａ相连.

(4)把桥平移到和B相连.

(5）平移河道

师生活动:由于河道宽度是固定不变的，造的桥要与河垂直,因此路径AMNB 中的MＮ的长度是固定的。

我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A

１

，那么为了使ＡMNＢ

最短,只需A

１B最短。根据两点之间线段最短,连接A

1

B，交河岸于点Ｎ，在此处

造桥MN,所得路径AＭNB就是最短路径，如图2。

证明:如图３,如果在不同于MN的位置造桥M

１N

1

。由于M

1

N

1

=MＮ=AA

1

;又根据

“两点之间，线段最短”。可知,AN

1+Ｎ

1

B＞Ａ

1

N+ＮＢ。

所以,路径AMＮＢ要短于AM

１N

1 B。

设计意图:让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小的问题”。通过平移搭建台阶，即平移桥或河道的办法,将问题转化为易于解决的问题,渗透了化归的转化思想。

２.2 拓展应用

拓展1：如图4,如果A、B两地之间有两条平行的河,我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢?

师生活动:方法１：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽

分别到到A

1、A

2

，路径中两座桥的长度是固定不变的。为了使路径最短,只要A

2

B

的距离最短。连接A

2B,交河流2河岸于Ｎ,在此处造桥ＭＮ；连接Ａ

1

M，交河流

１河岸于P,在此处造桥PQ。所得路径AQPＭNＢ最短。

方法２：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。如图６,将点A 沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A １,将B 沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B 1,连接A 1B 1与两条河岸分别相交于Ｎ、P ，在Ｎ、P 两处，分别建桥MN 、ＰQ ，所得路径AQP ＭNB 最短。

拓展２：如图7，如果A 、B 之间有三条平行的河流呢，又该如何建造桥呢?

教师活动:方法1：仿照拓展１方法１图5，将点A 沿与河垂直的方向平移三个河宽分别到到A 1、Ａ２、A 3,路径中三座桥的长度是固定不变的。为了使路径最短,只要Ａ3B 最短。

连接Ａ３B ，交河流３于N ，在此处造桥MN;连接A 2N ，交河流2于P,在此处造桥PQ;连接A １Q,交河流1于Ｒ,在此处造桥ＲS 。所得路径ASRQPMN Ｂ最短。

方法2：此处还可以先将Ａ沿与河流１河岸垂直的方向分别平移两个河宽到A １、A ２，再将B 沿与河流3河岸垂直的方向平移一个河宽到B １;或先将A 沿与河岸垂直的方向平移一个河宽到A 1,再将Ｂ沿与河岸垂直的方向分别平移两个河宽到Ｂ１、B ２，来选择修桥位置。

学生活动：由小组间相互交流讨论,然后画出图形。

设计意图:有了单一河道建一座桥的经验，将问题迁移到两条、三条平行河道建两座桥、三座桥的问题，可以通过平移把它们化归为两条河道,再化归为一条河道的问题,问题就迎刃而解了，培养学生举一反三和化归的思想。

2.３ 巩固练习

拓展３：如图９，如果在上述条件不变的情况下,两条河不平行，又该如何建造桥？

教师活动:方法１：仿照拓展1的图5平移的桥始终与该河道是垂直的。 方法2:仿照拓展1的图6的方法来平移桥。