最短路径问题——造桥选址问题幻灯片课件
合集下载
人教版八年级数学上册教学课件- 课题学习 最短路径问题-PPT
x=2
B·
M
A·
·C
Hale Waihona Puke PB··M
· · ┐
A
C
2、（2017年乌鲁木齐）如图，点A（a,3),B（b,1）都在双曲线 C,D分别是X轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为
y
（
x
3
上,点 ）
y
·
A'
┐ AA（9，3）
DD
· BB（3,1）
┐
o CC
x
B'
y
· ·A' ┐ A
·C
o
· ·┐B · D
l
C点就是所求作的点。
B
（三）难点突破
问题1： No Image
若点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决
所走路径最短的问题？
B
A
l
No Image
（四）指导作法 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C,
则点C 即为所求．
A C
B
┐ l
B′
B'
x
15 、能做的只有站在自己的位置，扮演好各自的角色。 7 、自卑的人，总是在自卑里埋没的自己，记住，你是这个世界上唯一的。 9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人 也有自己的主见，也会决定你的质量。
15、伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到;一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定 出类拔萃。
B B 抽象成 A A
l
实际问题
B·
M
A·
·C
Hale Waihona Puke PB··M
· · ┐
A
C
2、（2017年乌鲁木齐）如图，点A（a,3),B（b,1）都在双曲线 C,D分别是X轴，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为
y
（
x
3
上,点 ）
y
·
A'
┐ AA（9，3）
DD
· BB（3,1）
┐
o CC
x
B'
y
· ·A' ┐ A
·C
o
· ·┐B · D
l
C点就是所求作的点。
B
（三）难点突破
问题1： No Image
若点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决
所走路径最短的问题？
B
A
l
No Image
（四）指导作法 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C,
则点C 即为所求．
A C
B
┐ l
B′
B'
x
15 、能做的只有站在自己的位置，扮演好各自的角色。 7 、自卑的人，总是在自卑里埋没的自己，记住，你是这个世界上唯一的。 9 、每个人在成功之初都会遇到各种困难。但失败是成功之母，只有经历失败的洗礼，才能有丰富的成功。要珍惜每个人的态度，再平凡的人 也有自己的主见，也会决定你的质量。
15、伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到;一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定 出类拔萃。
B B 抽象成 A A
l
实际问题
《最短路径问题》PPT课件教学
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
最短路径问题——造桥选址问题幻灯片课件
M N
P Q
G H
B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用 平移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至 Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分 别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于 Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接 M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1, 此时所走路径最短.
最短路径问题——造桥选址问 题
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两 岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
Ｍ１
M
A1
L1
Ｎ１
问题：
N
L2
B
1、直接连接AB可以吗？
2、路径是哪些线段之和？
3、当桥的位置变化后，路径中哪些是始终不变的？ 哪些在变？
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径可以转化为其它哪些线段之和？
问题解决
如图，平移A沿与河岸垂 A
直的方向到A1，使ＡA1 等于河宽，连接A1Ｂ交河
A1Leabharlann 岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
归纳小结
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
课题学习-最短路径问题课件
分别作点A关于OM，ON的对称 点A′，A″；连接A′，A″，分别交 OM，ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置， MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE,BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, N D ∴AC+CE+MN＞AE+MN, E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN B 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
问题解决
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１ . AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
A1
M N P Q G H B2 B1 B
问题解决
A A1 A2 M N P Q G H B1 B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用 平移转化桥长来解决问题．
作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置， MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE,BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： M C AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, N D ∴AC+CE+MN＞AE+MN, E 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN B 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
问题解决
A
A1
M N
Ｍ１ Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１ . AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
A1
M N P Q G H B2 B1 B
问题解决
A A1 A2 M N P Q G H B1 B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用 平移转化桥长来解决问题．
最短路径课件 (刘)
A
l
B
交流与探索（造桥选址问题）如图，A和B两地在
一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处 可使从A到B的路径A-M-N-B最短？（假定河的两岸是 平行的直线，桥要与河垂直。）
解决问题
作图
a b
B
思考：
本题运用了哪些知识解决了问题？
A
l N
B
交流与探索——将军饮马
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的 学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题： 他从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地． 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 B 最短？ A l
综合与实践
哪条路径最短
如图所示，从A地到B地有三条 路可供选择，你会选走哪条路 最近？你的理由是什么？
C A
①D
E B
②
③
两点之间,线段最短
F
两点在一条直线两侧
如图，l表示一条河流，A,B是两个村庄， 它们分别在河的两旁。现准备在河上建 一座小桥，使两村的人们来往便捷。 在哪里建桥可使A，B两村之间的路径最 短呢？你是怎样解决的？
O
B
课堂小结
1.结合学习目标说说你的收获； 2.结合生活和学习谈谈你对“最 短路径”的体会。
课堂检测：
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处 修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的，正方形ABCD的边长为8， 点M在DC上且 DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN 的最小值 为 。
• .如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从
马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天 的最短路线。
l
B
交流与探索（造桥选址问题）如图，A和B两地在
一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处 可使从A到B的路径A-M-N-B最短？（假定河的两岸是 平行的直线，桥要与河垂直。）
解决问题
作图
a b
B
思考：
本题运用了哪些知识解决了问题？
A
l N
B
交流与探索——将军饮马
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的 学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求 教一个百思不得其解的问题： 他从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地． 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 B 最短？ A l
综合与实践
哪条路径最短
如图所示，从A地到B地有三条 路可供选择，你会选走哪条路 最近？你的理由是什么？
C A
①D
E B
②
③
两点之间,线段最短
F
两点在一条直线两侧
如图，l表示一条河流，A,B是两个村庄， 它们分别在河的两旁。现准备在河上建 一座小桥，使两村的人们来往便捷。 在哪里建桥可使A，B两村之间的路径最 短呢？你是怎样解决的？
O
B
课堂小结
1.结合学习目标说说你的收获； 2.结合生活和学习谈谈你对“最 短路径”的体会。
课堂检测：
1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处 修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案， 图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的，正方形ABCD的边长为8， 点M在DC上且 DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN 的最小值 为 。
• .如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从
马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天 的最短路线。
人教版数学八年级上册1.2造桥选址问题课件(第四课时28张)
E
M
CF
G B
N
H
归纳新知
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
课后练习
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河 里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处 开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说 明理由.
解：图略．理由：垂线段最短．
2．【中考·黔南州】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作 一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E， 再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交 OM 于 C ， 交 ON 于 D ， 连 接 AC ， BD ， 则 四 边 形 ABDC即为所求．
6．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
(2)如图②，点A在直线m外侧，点B在直线 m，n内侧，作点B关于直线n的对称点B′， 连接AB′，分别交直线m，n于点P，Q； (3)如图③，点A，B在直线m，n内侧，分别作点A，B 关于直线m，n的对称点A′，B′， 连接A′B′，分别交直线m，n于点P，Q.
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b
的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什
《造桥选址问题》课件
环保性原则
总结词
在建桥过程中，应尽可能减少对环境的 破坏和污染，保护生态环境和自然资源 。
VS
详细描述
在选址阶段，应充分考虑桥梁建设对周围 环境的影响，包括土地利用、水资源、野 生动植物等。应尽量选择环境影响较小的 地点，避免在生态敏感区域建设桥梁。同 时，在施工过程中应采取有效的环保措施 ，减少粉尘、噪音、废水的排放，降低对 环境的负面影响。
造桥选址的案例分析
长江大桥选址案例
总结词
地理位置重要、工程难度大
详细描述
长江大桥是中国交通网络中的重要节点，连接了多个省份和 城市。由于长江的特殊地理环境和水文条件，选址需要考虑 诸多因素，如河床稳定性、水深、河流通航等，以确保桥梁 的稳定性和安全性。
黄河大桥选址案例
总结词
地质条件复杂、环境保护要求高
4. 形成调查报告，提出 建议。
优点：能够全面了解桥 址周边的实际情况，为 决策提供可靠依据。
缺点：需要大量时间和 人力投入，成本较高。
数学模型法
• 定义：数学模型法是通过建立数学模型，对桥址 进行定量分析和预测，从而确定最优选址方案的 方法。
数学模型法
步骤 1. 确定影响桥址选择的主要因素。
2. 建立数学模型，进行模拟分析。
对环境保护和可持续发展的影响
科学的选址可以减少对环境的破坏，实现可持续发展，保护生态平衡。
02
造桥选址的原则
稳定性原则
总结词
在选址过程中，首要考虑的是桥梁结构的稳定性，以确保桥梁在使用过程中的安全性和 耐久性。
详细描述
桥梁的稳定性取决于地质勘察、水文条件、气候条件等多种因素的综合评估。在选址阶 段，需要对桥墩所在地的地质构造、岩石力学性质、地下水位等进行深入勘察，以确保
最短路径问题经典课件ppt演示课件
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路线：A P Q B
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
N
A/PQ源自B/AMB
l
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有 黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
自学指导2
1、如图，张庄A、李庄B位于河沿的同侧，现要在
河沿g上修一提灌站C向张庄A、李庄B提水。当提
灌站修在河沿g的C处时，所用水管最短，为3千米。
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
自学指导1
认真阅读课本第85-86页问题2以 上部分内容，并认真思考：
如何在L上找到点C，使得这 个点到A的距离和到B点的距离之 和最短？
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路线：A P Q B
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
N
A/PQ源自B/AMB
l
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有 黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
自学指导2
1、如图，张庄A、李庄B位于河沿的同侧，现要在
河沿g上修一提灌站C向张庄A、李庄B提水。当提
灌站修在河沿g的C处时，所用水管最短，为3千米。
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
最短路径问题实用课件[1]（PPT优秀 课件）
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的 最短路线。
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
自学指导1
认真阅读课本第85-86页问题2以 上部分内容，并认真思考：
如何在L上找到点C，使得这 个点到A的距离和到B点的距离之 和最短？
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上 求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
最短路径问题(新)课件人教版八年级数学上册ppt优秀课件
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
A
连接A′B，交直线b于点N.
A′
M′
点 N 即为所求.
a
N′ b N
B
初中数学
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
A
连接A′B，交直线b于点N.
A′
M M′
点 N 即为所求.
a
N′ b N
B
初中数学
初中数学
A
作法：将A沿与河岸垂直的方向
l
A′′
初中数学
初中数学
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小．
a A A′
作A′关于直线l的对称点A′′
B
P′ P Q′ Q
连接A′′B，与直线l交于一点 即为所求点Q.
l
A′′
问题：在直线l上求作两点P，Q ， 使得四边形APQB的周长最小．
初中数学
练习 已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作 两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四 边形APQB的周长最小． 作法：
在直线b上任取一点N′ ，
过N′作N′M′⊥a 已连知接线 A′B段，a交，直点线A、b于B在点直N.线l的同侧，在A直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．
② 利用平移，实现线段的转移. 当点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小．
连接AM′，A′N′，N′B
即AM+NB< AM′+N′B
A′
如何证明这条路径AMNB最短？ 当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 连接A′B，交直线b于点N. ① 实际问题用数学语言表达.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M N
P Q
G H
B
延伸小结
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用 平移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至 Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分 别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于 Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接 M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1, 此时所走路径最短.
最短路径问题——造桥选址问 题
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两 岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直 线，桥要与河垂直）
A
Ｍ１
M
A1
L1
Ｎ１
问题：
N
L2
B
1、直接连接AB可以吗？
2、路径是哪些线段之和？
3、当桥的位置变化后，路径中哪些是始终不变的？ 哪些在变？
在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B 因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 A
Ａ点移到Ａ１、Ａ１点移
到Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，
A1 A2
Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ； M
连接Ａ２Ｂቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
B
问题解决
A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
归纳小结
本节课我们学习了什么知识？ 谈谈本节课你有什么收获？
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
4、路径最短就是哪些线段之和最小？
5、路径可以转化为其它哪些线段之和？
问题解决
如图，平移A沿与河岸垂 A
直的方向到A1，使ＡA1 等于河宽，连接A1Ｂ交河
A1
岸于Ｎ点，建桥ＭＮ，此
时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ
最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.
由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转 化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.