§1.1函数的概念及基本特性(精)

（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.

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§1.1 函数的概念及基本特性
一、概念
1.区间(interval):
定义1.1
是指介于某两个实数之间的
全体实数.这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
x b o a { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b]
3.分段函数
在实际应用中经常遇到这样的函数：在定义域的 各个不相交的子集（多为子区间）上，函数分别 用不同的解析表达式表示，这类函数成为分段函 数
(1) 绝对值函数
x0 x y x x x 0
(2) 符号函数
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
0

a
a 记作 U ( a , ).
0
x
U (a , ) { x 0 x a }.
把开区间 (a , a ) 称为a 的左δ邻域，
把开区间 (a , a ) 称为a 的右δ邻域，

a

a
a
x
2、函数的概念及其表示法
对于任意一个 x D ，都存在唯一的实数y与之 对应，则称对应规则f为定义在数集D上的一个函数，
阶梯曲线
4. 函数的定义域的求法
设 y f ( x) 的定义域为 D f ，按照函数的定义，
D f 中的点x应是使 y f ( x) 有意义的实数集合， 而对于实际问题中的函数，其定义域应结合问 题的实际意义确定。
四、函数的几种特性
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间 I D, 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x )在区间 I 上是单调增加的 ;
设D为一个非空数集，如果按照某种对应规则f， 定义1.3 ：
y f ( x)
因变量
自变量
D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域，记为：
Z Z f { y y f ( x), x D f } .
常用函数的表示法有三种：图示法，表格法和公 式法
(3) 狄利克雷（Direchlet）函数
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 显然: y 4 3 2 1 o
x 1 [ x] x
-4 -3 -2 -1
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
2．函数的有界性(bounded):
若X D, M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称为无界 .
y y
M
y=f(x) o -M 有界 x
M
Hale Waihona Puke Baidu
X
o -M
x0
X
x
无界
3．函数的奇偶性(parity):
o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半闭半开区间, 记作 [a , b) 称为半开半闭区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a ,) { x a x }
( , b) { x x b}
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
定义1.2 邻域 设a与是两个实数 , 且 (neighborhood):
0.数集{ x x a }称为点a的 邻域 ,
记作 U (a, ) { x a x a }.
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.

a
点 a 的去心 邻域
设D关于y轴对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) , 则 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
偶函数
设D关于原点对称, 对于x D, 有
f ( x ) f ( x ), 则 称 f ( x )为奇函数.
y
y f ( x)
1．函数的单调性(monotonicity):
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 .
y
y f ( x)
f ( x)
-x
f ( x )
o 奇函数
x
x
4．函数的周期性(periodicity):
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个不为零的 数l , 使得对于任一 x D, ( x l ) D.且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x )的周期.