沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.1 二次函数的图象和性质函数表达式的确定 教案

二次函数的图象和性质函数表达式的确定

教学目标

【知识与技能】

使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数

y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】

让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.

【情感、态度与价值观】

渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.

重点难点

【重点】

确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.

【难点】

正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.

教学过程

一、问题引入

1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?

(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)

2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?

(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)

3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+1)2-1有哪些性质?

(函数y=-(x+1)2-1的图象可以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)

二、新课教授

问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?

师生活动:

教师引导学生作图,巡视,指导.

学生在直角坐标系中画出图形.

教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.

解:(1)列表:

(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;

(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.

问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗?

师生活动:

教师引导学生认真观察上述图象.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.

函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.

函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.

故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.

除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗?

师生活动:

教师引导学生积极思考,并适当提示.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.

抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线

y=-x2-1向左平移1个单位得到的.

问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗?

师生活动:

教师组织学生讨论,互相交流.

学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.

教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.

当x<-1时,函数值y随x的增大而增大;当x>-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.

三、典型例题

【例】要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水

头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长?

师生活动:

教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.

学生积极思考、解答.

指名板演,教师讲评.

解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这段抛物线对应

的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).

由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,

解得a=-,

因此y=-(x-1)2+3(0≤x≤3),

当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.

四、巩固练习

1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.

【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.

2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开

口方向、对称轴和顶点坐标.

【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移

两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).

五、课堂小结

本节知识点如下: