极限与连续--复习优秀PPT

2020/4/28
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5、间断点的分类
(1) 跳跃间断点 如果f ( x)在点x0处左,右极限都
存在, 但f ( x0
0)
f (x0
0),
则称点x
为函数
0
f ( x)的跳跃间断点.
(2)可去间断点 如果f ( x)在点x0处的极限存在,
但 lim x x0
f (x)
A
f ( x0 ),或f ( x)在点x0处无定
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
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4、求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.利用无穷小运算性质求极限; d.利用左右极限求分段函数极限.
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5、判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U 0 ( x0 , r )(或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那末 lim f ( x)存在,且等于A . (夹逼准则) x x0 ( x)
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
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6、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
lim sin 1; 某过程
(2) lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
1
lim (1 ) e.
某过程
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7、无穷小的比较
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
义则称点x0为函数f ( x)的可去间断点.
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跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 函数在点x0处的左, 右极限都存在.
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数f ( x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
3、连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
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4、间断点的定义
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9、极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
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连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
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1.极限: 左极限
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
右极限
f ( x0 0) A.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
x 0
或
lim [
x 0
f (x0
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x) 的连
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
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2、单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
初等函数 的连续性
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间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的性质
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二.连续 1、连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
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(3)
如
果
lim
k
C(C
0, k
0),就说是是k阶的
无穷小.
8、等价无穷小的性质
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
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2、无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
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3、极限的性质
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
Baidu Nhomakorabea
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
极限与连续复习
主要内容 一.极限 二.连续
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数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f ( x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限