河南科技大学 2008年汽车理论考研试题
汽车理论题目
汽车理论题目整理任务分配：417 简答题1—10419 简答题11—20420 辨析题1—7其余归418明天晚上10点之前整理好汇总到世杰那里考试题型：填空题（20%）单项选择题（20%）名词解释（15%）计算题（16%）辨析题（12%）简答题（17%）名词解释动力因数P21汽车牵引性能的主要指标。
是剩余牵引力（总牵引力减空气阻力）和汽车总重之比。
此值越大，汽车的加速、爬坡和克服道路阻力的能力越大。
同步附着系数P111 前后轮同时抱死时的地面附着系数称为同步附着系数（β线与I 曲线交点处的附着系数）挂钩牵引力P263 车辆的土壤推力FX 与土壤阻力Fr 之差I 曲线P109前、后车轮同时抱死时前、后轮制动器制动力的关系曲线——理想的前、后轮制动器制动力分配曲线C 曲线P85 燃油经济性—加速时间曲线通常大体上呈C 形。
制动跑偏P102 制动时汽车自动向左或向右偏驶。
f 线组P111 后轮没有抱死，在各种φ值路面上前轮抱死时的前、后地面制动力关系曲线 r 线组P111 前轮没有抱死而后轮抱死时的前、后地面制动力关系曲线。
比功率P75 单位汽车总质量具有的发动机功率。
滑移率P92 车轮接地处的滑动速度与车轮中心运动速度的比值。
侧滑P102 制动时汽车的某一轴或两轴发生横向移动。
稳定性因数KP147 【公式】表征汽车稳态响应的一个重要参数，单位s2/m2不足转向P147K>0，【公式】分母大于1，横摆角速度增益s r δω比中性转向时要小，s r δω不再与车速成线形关系，a s r u -δω是一条低于中性转向的汽车稳态横摆增益线，后来又变为向下弯曲的曲线过多转向P147K<0，【公式】分母小于1，……大，a s r u -δω曲线向上弯曲。
中性转向P147 K=0，L/u s r =δω，横摆角速度增益与车速成线形关系，斜率为1/L 传动系的最小传动比P78普通汽车没有分动器或副变速器，若装有三轴变速器且以直接挡作为最高挡时，就是主传动比i0；如变速器的最高挡为超速挡，应为变速器最高挡传动比与主传动比的乘积传动系的最大传动比P79就普通汽车而言,imax 是变速器1挡传动比ig1与主减速器传动比i0的乘积。
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点. ()C 无穷间断点.()D 振荡间断点.【答案】()B【考点】可去间断点，积分上限函数及其导数【难易度】★★ 【详解】解析：()()0()lim ()limlim 0xx x x f t dt g x f x f x→→→===⎰，所以0x =是函数()g x 的可去间断点.（2）如图，曲线方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续导 数，则定积分'()axf x dx ⎰等于（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.【答案】()C【考点】定积分的分部积分法，定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★ 【详解】 解析：()()()()aa a xf x dx xdf x af a f x dx '==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形ACD 的面积.（3）已知24(,)x y f x y e+=则 ( )()A (0,0),(0,0)x y f f ''都存在 ()B (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在()C(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 ()D (0,0),(0,0)x y f f ''都不存在【答案】()C【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：2400011(0,0)limlim 00xx x x x ee f x x +→→--'==-- 00011lim lim 100xx x x e e x x →+→+--==--，001lim 10x x e x -→--=-- 000011lim lim 00xx x x e e x x -→+→---≠--，所以偏导数不存在. 24200011(0,0)limlim 000y y y y y ee f y y +→→--'===-- 所以偏导数存在。
[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷B.doc
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[考研类试卷]2008年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷B一、填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
1 为了使计算y=11+的乘除法运算次数尽量地少，应将该表达式改为_____．2 求方程x-f(x)=0根的牛顿迭代格式是_____3 设A=则‖A‖∞=_______4 解方程组的Jacobi迭代格式为______5 设f(x)=8x4+3x3-98x+1,则差商f[2，4，8，16，32]=______6 记h=(b-a)／n，x i=a+ih，0≤i≤n，则计算I(f)=的复化Simpson公式为______，代数精度为______7 用简单迭代法求非线性方程x-lnx=2在(2，+∞)内的根，要求精确至6位有效数字，并说明所用迭代格式为什么是收敛的．8 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式； 2)分析此迭代格式的收敛性．9 1)给定如下数据表：求f(x)的2次插值多项式L(x)；2)利用如下数据表：求f(x)的3次插值多项式H(x)．10 求a，b，使得达到最小，并求出此最小值．11 求系数A1，A2，A3，使得求积公式≈A1f(-1)+A2f(-1/3)+A3f(2/3)的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数．12 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b-a)／n，x i=a十ih，0≤i≤n．1)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[f(x i+1,y i+1)+f(x i,y i)](A)2)分析如下求解公式的局部截断误差y i+1=y i+[3f(x i，y i)-f(x i-1，y i-1)]；(B)3)指出以上两个求解公式各是儿阶公式，并从局部截断误差的大小、显隐格式及单多步公式几方面作一个简单的比较．。
2008硕士研究生数3考试真题
2008年全国硕士研究生入学统一考试数 学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（ ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.（C ）无穷间断点.（D ）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at xf x dx ⎰等于（ ）（A ）曲边梯形ABOD 面积.（B ） 梯形ABOD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积.（D ）三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在 （B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在 （C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在 （D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂（ ）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()vf u u（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若30A =，则（ ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.（D ）E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同的矩阵为（ ）（A ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.（7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（ ）（A ）()2Fx .（B ）()()F x F y .（C ）()211F x --⎡⎤⎣⎦.（D ）()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）（A ）{}211P Y X =--=.（B ）{}211P Y X =-=.（C ）{}211P Y X =-+=.（D ）{}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x c f x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dx y dxdy -=⎰⎰ . （12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=. （14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == . 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) （本题满分10分） 求极限201sin limln x xx x→.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（Ⅰ）求dz （Ⅱ）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.计 算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分） 设()f x 是周期为2的连续函数， （Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰；（Ⅱ）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计 算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，100b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求证行列式()1nA n a =+;（Ⅱ）a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； （Ⅲ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。
2008全国考研数学(二)真题及答案.doc
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy x y +=+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分 12arcsin 1x x dx x-⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式. (20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x d x ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+， （1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点. 又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点， D 正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】00()()()()()()aa a aaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()af x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx '⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为0.829.(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为 000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 200sin lim lim 0cos cos x x x xx x x++→→=-=-=同理 0lim ()0x f x -→= 又 1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以 0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为0.486.(5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为0.537. (6)【答案】A【详解】用极坐标得 ()()222()22211,()vu uf r r Df u v F u v dudv dv rdr v f r dr u v +===+⎰⎰⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 011lim ()(0)122x f x f →=== 所以 (0)2f = 本题的难度值为0.828. (10)【答案】()xx eC --+【详解】微分方程()20xy x edx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以 111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰本题的难度值为0.617. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x yy xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x dy dx==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+本题的难度值为0.759. (12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y xx =-⇒23131351010(2)333x y x x x -+'=-= ⇒134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为0.501. (13)【答案】2(ln 21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂ 2ln 11ln x yvvy u y y u uxy x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=⋅-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以(1,2)2(ln 21)2z x ∂=-∂本题的难度值为0.575.(14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯= 3|2|2||A A =32648λ∴ ⨯=- 1λ⇒=-本题的难度值为0.839.三、解答题 (15)【详解】 方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ 本题的难度值为0.823. (16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dxt dx dt t +⋅===+++222222[(1)ln(1)]2ln(1)221dt t d y d dy t t tdt dx t dx dx dx dt t ++++⎛⎫=== ⎪⎝⎭+ 22(1)[ln(1)1]t t =+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+ 所以 2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t tdt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以 22(1)x d y e x dx=+ 本题的难度值为0.742. (17)【详解】 方法一：由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈22122222000arcsin sin cos 2cos sin ()cos 221x x t t t t t dx tdt t tdt dt t x πππ===--⎰⎰⎰⎰2222220001sin 21sin 2sin 2441644tt t td t tdt πππππ=-=-+⎰⎰ 222011cos 2168164t πππ=-=+ 方法二：212arcsin 1x x dx x -⎰12201(arcsin )2x d x =⎰121122220001(arcsin )(arcsin )(arcsin )28x x x x dx x x dx π=-=-⎰⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈1222200011(arcsin )sin 2cos 224x x dx tdt t d t ππ==-⎰⎰⎰222200111(cos 2)cos 242164t t t tdt πππ=-+=-⎰故，原式21164π=+ 本题的难度值为0.631.(18)【详解】 曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰123D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰112222211102211x xdx dy dx dy dx xydy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1512ln 2ln 24=++-19ln 24=+ 本题的难度值为0.524.(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰，由题设条件知220()()1()ttf x dx f x f x dx '=+⎰⎰上式两端对t 求导得 22()()1()f t f t f t '=+， 即 21y y '=-O 0.5 2 xD 1D 3 D 2由分离变量法解得 21l n (1)y y t C+-=+， 即 21t y y C e+-= 将(0)1y =代入知1C =，故21t y y e +-=，1()2t t y e e -=+于是所求函数为 1()()2x xy f x e e -==+ 本题的难度值为0.497.(20)【详解】(I) 设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即()m f x M ≤≤ [,]x a b ∈由定积分性质，有 ()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即 ()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得 ()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()baf x dx f b a η=-⎰(II) 由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由 32(2)()()x d x ϕϕϕη>=⎰，知 23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>- 112ξ<<2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<- 123ξη<<≤在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<- 12(,)(1,3)ξξξ∈⊂本题的难度值为0.719. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令 2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值 设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令 323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为0.486. (22)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122a a a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132aD a a a ==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a a D aD a a -=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-， 所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为 2221122(1)(1)112102121221122n n n n n n a aa a a aa a D na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D n x D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,T Tk k +为任意常数． 本题的难度值为0.270.(23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)11,A αα=-22A αα=∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾. 所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++= (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++= (2)(1)—(2)得 113220k k αα-= (3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II) 记123(,,)P ααα=，则P 可逆，123123(,,)(,,)AP A A A A αααααα==1223(,,)αααα=-+123100(,,)011001ααα-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100011001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以 1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 本题的难度值为0.272.赠送以下资料考研英语作文模板（英语一）大作文考研英语大作文一般是看图写作，从一幅图分析含义及意义，所以只需要几个好的模板，根据题目套上去就行了。
(完整word版)河南科技大学817汽车理论答案及评分标准14
河南科技大学2014年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码：817考试科目名称：汽车理论一、填空(每空1分，共20分)1．对于粘性路面土壤而言，路面给驱动轮产生的切向反作用力，即土壤推力仅与（土壤的粘聚性）及（轮胎的接地面积）有关，而与（轮胎给地面的垂直载荷）无关。
2．制动过程中，当汽车车轮作纯滚动时，滑动率为（S＝0）。
当汽车车轮抱死时，滑动率为（S＝100%）。
当车轮处于边滚边滑状态时，滑动率为（0＜S＞100%）。
3．制动时，若能使前、后车轮同时抱死，或接近于抱死的状态，则对（附着条件的利用）和（制动时汽车的方向稳定性）均较有利。
4．一般情况下，汽车行驶的每一瞬间，发动机发出的功率始终等于（机械传动损失功率）与（全部运动阻力所消耗功率）之和。
5．汽车燃油经济性常用（一定运行工况下汽车行驶百公里的燃油消耗量）或（一定燃油量能使汽车行驶的里程）来衡量。
6．汽车的稳态响应可以根据稳定性因素K的数值分为(不足转向)、(中性转向)、(过多转向)三类。
7．机械振动对人体的影响，取决于振动的（频率）、（强度）、（作用方向）和（持续时间），以及人体对振动的（敏感程度）。
二、简答(每小题15分，共90分)1．简述轮胎滚动阻力的定义，并解释其产生机理和作用形式。
汽车在水平道路上等速行驶时受到的道路在行驶方向上的分力称为滚动阻力。
由于轮胎内部摩擦产生弹性轮胎在硬支撑路面上行驶时加载变形曲线和卸载变形曲线不重合会有能量损失，即弹性物质的迟滞损失。
这种迟滞损失表现为一种阻力偶。
当车轮不滚动时，地面对车轮的法向反作用力的分布是前后对称的；当车轮滚动时，由于弹性迟滞现象，处于压缩过程的前部点的地面法向反作用力就会大于处于压缩过程的后部点的地面法向反作用力，这样，地面法向反作用力的分布前后不对称，而使他们的合力Fa相对于法线前移一个距离a, 它随弹性迟滞损失的增大而变大。
即滚动时有滚动阻力偶矩T f =F z a阻碍车轮滚动。
考研汽车理论试题第6套解析
一、概念解释（选其中8题，计20分）1 （转向轮）回正力矩2 稳态响应的转向特性3 汽车制动跑偏与侧滑4 汽车平顺性及评价指标5 汽车附着条件6 汽车驱动力7 人体对振动反应的暴露极限8 迟滞损失9 列出汽车的主要使用性能10 汽车特征车速11 滚动阻力偶12 侧向力与侧偏力13 制动力系数14 最小燃油消耗特性二、写出表达式、画图、计算并简单说明（选择其中4道题，计20分）1 写出ｎ档变速器ｍ档传动比表达式（注意符号定义的说明）2 画图并说明地面制动力、制动器制动力、附着力三者关系3 用表格或流程图的形式列出计算等速燃料消耗量的过程4 用表格或流程图的形式列出计算汽车多工况燃料消耗量的过程5 画出全轮驱动汽车加速上坡时的整车受力分析图（注意符号说明）。
6 写出汽车的后备功率表达式，分析其对汽车的动力性和燃料经济性的影响。
7 列出绘制I曲线的各种方法以及对应的方程或方程组三、叙述题（选择其中4道题，计20分）1 平均燃料运行消耗特性的用途2 简述影响通过性因素3 用表格或流程图的形式给出计算汽车加速性能的步骤。
4 详细列举影响汽车燃料经济性的因素5 试用驱动力－行驶阻力平衡图分析汽车的最大爬坡度i max。
6 分析汽车重力G变化（例如改装汽车与标准型相比）对汽车动力性的影响7 选择（确定）汽车发动机功率的基本思路。
8 车轮滑动率对纵向及横向附着系数影响。
9 一般来说，汽车应该具有哪一种转向特性？为什么？10 描述轿车车轮(弹性轮胎)在侧向力作用下运动方向的变化特点。
四、分析题（选择其中5道题，计20分）1 分析汽车总质量对其固有振动频率和振幅的影响，并列出表达式。
2 已知某汽车φ0＝0.3，请利用Ｉ、β、ｆ、γ线，分析φ＝0.5,φ＝0.26以及φ＝0.65时汽车的制动过程。
3 试确定汽车在设计车速为30km/h 、弯道半径为5000m 的公路上不发生侧滑的横坡极限坡角（要求作图表示）？4 在划有中心线的双向双车道的本行车道上，汽车以65km/h 的初速度实施紧急制动，仅汽车左侧轮胎在路面上留下制动拖痕，但是汽车的行驶方向轻微地向右侧偏离，请分析出现该现象的原因。
2008考研数学一真题及答案解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数 学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为 （B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）函数(,)arctanxf x y y=在点（0，1）处的梯度等于 （A ） （A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j -（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是 （D ） （A ）044=-'-''+'''y y y y . （B ）044=+'+''+'''y y y y （C ）044=+'-''-'''y y y y . （D ）044=-'+''-'''y y y y（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是 （B ）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛. (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛. (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. （5） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03=A ，则 （C ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆. （B ）E A -不可逆，E A +可逆.（C ）E A -可逆，E A +可逆. （D ）E A -可逆，E A +不可逆 （6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为 （B ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7） 随机变量X ，Y 独立同分布，且X 的分布函数为F(x)，则Z=max{X, Y}分布函数为 （A ）（A ）)(2x F ；（B ）)()(y F x F ；（C ）2)](1[1x F --；（D ）)](1)][(1[y F x F -- （8）随机变量~(0,1),~(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则 （D ）（A ）{21}1P Y X =--= （B ）{21}1P Y X =-= （C ）{21}1P Y X =-+= （D ）{21}1P Y X =+=二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 微分方程'0xy y +=满足条件(1)1y =的解是=y x/1(10) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点（0，1）处的切线方程是1+=x y .(11) 已知幂级数(2)nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(]5,1(12) 设曲面∑是z =⎰⎰∑++dxdy x xdzdx xydydz 2=π4(13) 设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+则A 的非零特征值为__1___(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2EX X P ==e21三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-解： ()[]()3040sin sin sin lim sin sin sin sin limx x x x x x x x x -=-→→ ……2分＝()()20203sin cos 1lim 3cos sin cos cos lim xx x x x x x x -=-→→ ……6分 613sin lim 22210==→x x x ……9分 (16)（本题满分9分） 计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点（0，0）到点(,0)π的一段.解法1：()()[]⎰⎰⋅-+=-+π22cos sin 122sin 122sin dx x x x x ydy x xdx Ldx x x⎰=π22sin ……4分⎰+-=ππ0022c o s 2c o s 2x d x x x x ……6分 22s i n 212s i n 222002ππππ-=-+-=⎰x d x x x ……9分解法2：取1L 为x 轴上从点()0,π到点()0,0的一段，D 是由L 与1L 围成的区域()⎰⎰⎰-+--+=-++11)1(22sin )1(22sin 122sin 222L L L Lydy x xdx ydy x xdx ydy xxdx ……2分⎰⎰⎰--=02sin 4πxdx xydxdy D……5分⎰⎰⎰⎰--=-=--=ππππ0020sin 00)2cos 1(sin 22cos 214dx x x xdx x x xydy dx x22sin 212sin 2220002ππππ-=-+-=⎰xdx x x x ……9分 (17)（本题满分11分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点.解：点),,(z y x 到xOy 面的距离为z ，故求C 上距离xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2z H =在条件02222=-+z y x 与53=++z y x 下的最大值点和最小值点. ……3分 令)53()2(),,,,(2222-+++-++=z y x z y x z z y x L μλμλ ……5分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-==+==+=530203*********'''z y x z y x z z L y L x L z y x μλμλμλ ……7分 得y x =，从而⎩⎨⎧=+=-53202222z x z x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=555z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x ……10分根据几何意义，曲线C 上存在距离xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为)5,5,5(--和)1,1,1( ……11分(18)（本题满分10分） 设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数⎰=x dt t f x F 0)()(可导，且()()F x f x '=；(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数⎰⎰-=2)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也是以2为周期的周期函数.(I) 证：对任意的x ，由于()f x 是连续函数，所以xdt t f x dtt f dt t f x x F x x F xx xx x xx x x ∆=∆-=∆-∆+⎰⎰⎰∆+→∆∆+→∆→∆)(lim )()(lim )()(lim 00000 ……2分 )(lim )(lim 00ξξf xx f x x →∆→∆=∆∆= （其中ξ介于x 与x x ∆+之间） 由)()(lim 0x f f x =→∆ξ，可知函数)(x F 在x 处可导，且)()('x f x F = ……5分(II) 证法1：要证明)(x G 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有)()2(x G x G =+，记)()2()(x G x G x H -+=，则()()222()2()(2)()2()()x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dt +'''=-+--⎰⎰⎰⎰0)()(2)()2(222=+--+=⎰⎰dt t f x f dt t f x f ……8分又因为00)(2)(2)0()2()0(2020=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰dt t f dt t f G G H 所以0)(=x H ，即)()2(x G x G =+ ……10分证法2：由于()f x 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有⎰⎰⎰⎰++-+-=-+220)()(2)()2()(2)()2(x xx dt t f x dt t f dt t f x dt t f x G x G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+x xx x dt t f du u f dt t f dt t f dt t f dt t f 002002022)()2(2)()()()(2……8分[]0)()2(20=-+=⎰x dt t f t f即)(x G 是以2为周期的周期函数. ……10分(19)（本题满分11分）将函数21)(x x f -=，)0(π≤≤x 展开成余弦级数，并求级数121(1)n n n +∞=-∑的和.解：由于⎰-=-=πππ220322)1(2dx x a ……2分,2,1,)1(4cos )1(21202=-=-=+⎰n nnxdx x a n n ππ……5分 所以nx n nx a a x f n n n n cos )1(431cos 2)(121210∑∑∞=+∞=-+-=+=π，π≤≤x 0， ……7分 令0=x ，有∑∞=+-+-=1212)1(431)0(n n n f π， 又1)0(=f ，所以12)1(2121π=-∑∞=-n n n ……11分(20)（本题满分10分）设βα,为3维列向量，矩阵,T T A ααββ=+其中Tα，Tβ为α，β的转置. 证明： (I) 秩()2r A ≤；(II) 若,αβ线性相关，则秩() 2.r A < 证：(I) ()()T T r A r ααββ=+()()T T r r ααββ≤+ ……3分2)()(≤+≤βαr r ……6分(II) 由于βα,线性相关，不妨设βαk =，于是21)())1(()()(2<≤≤+=+=βββββααr k r r A r T T T ……10分(21)（本题满分12分）设n 元线性方程b Ax =，其中A =2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (I) 证明行列式na n A )1(+=；(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (Ⅲ) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(I) 证法1：记n D A ==2222212121212na a a a aa a a a当1=n 时，a D 21=，结论成立， 当2=n 时，2223212a aa a D ==，结论成立 ……2分假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得2122n n n D aD a D --=-n n n a n a n a ana )1()1(2221+=--=--，即na n A )1(+= ……6分证法2：2222122222121321012211212212122nna a a a a a aa aA r ar a a a a aa a a =-……2分3222221301240123321212na a a r ar a a a a a a -=……4分nnn n a n a n n a n n a a a ar nn r )1(111013412301211+=+----……6分(Ⅱ) 解：当0≠a 时，方程组系数行列式0≠n D ，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212121212122n n n na a a aaaD na a a aa a a aa ---===所以，an nD D x n n )1(11+==- ……9分(Ⅲ) 解：当0=a 时，方程组为 12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1-n ，所以方程组有无穷多解，其通解为()()01001000TTx k =+ ,其中k 为任意常数 ……12分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为1{}(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为101()0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩，其它记 Y X Z += (I) 求1{0}2P Z X ≤=； (II) 求Z 的概率密度)(z f z . 解：(I) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤021021X Y X P X Z P 2121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=Y P ……4分(II) {}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=)({}{}{}1,0,1,=≤++=≤++-=≤+=X z Y X P X z Y X P X z Y X P {}{}{}1,10,1,1=-≤+=≤+-=+≤=X z Y P X z Y P X z Y P {}{}{}{}{}{}11011=-≤+=≤+-=+≤=X P z Y P X P z Y P X P z Y P{}{}{}[]1131-≤+≤++≤=z Y P z Y P z Y P [])1()()1(31-+++=z F z F z FY Y Y ……7分 []13()()(1)()(1)Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z '==+++- ……9分 ⎩⎨⎧<≤-=其他,021,31z ……11分 (23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，221S nX T -= (I) 证明T 是2μ的无偏估计量； (II) 当0,1μσ==时，求DT.(I) 证：因2222221)(1)1(ES nX D X E ES n X E S n X E ET -+=-=-= ……4分2222μσσμ=-+=nn所以T 是2μ的无偏估计量 ……7分(II) 解：当0=μ，1=σ时，由于X 与2S 独立 ，有)1(22S n X D DT -=2221DS nX D += ……9分 []22222)1()1(11)(1S n D n n X n D n --⋅+= )1(21112)1(2)1(11212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅-⋅+⋅=n n n n n n n n ……11分数 学（二）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为 （D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）如图，曲线段的方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数， 则定积分()axf x dx '⎰等于 （C ）（A ）曲边梯形ABCD 面积. （B ）梯形ABCD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积. （D ）三角形ACD 面积. （3）【 同数学一（3）题 】 （4）判断函数x x x x f sin 1ln )(-=，则)(x f 有 （A ）（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点； （B ）1个跳跃间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点； （D ）2个无穷间断点（5）【 同数学一（4）题 】 （6）设函数f 连续，若dxdy yx y x f v u F vu D ⎰⎰++=2222)(),(，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ （A ） （A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ） )(u vf （D ）)(u f uv（7）【 同数学一（5）题 】（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为 （D ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 已知函数()f x 连续，且1)()1()](cos[1lim2=--→x f ex xf x x ，则=)0(f 2. (10) 微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x 的通解是=y )(x e C x --.(11) 【 同数学一（10）题 】 (12) 曲线32)5(x x y -=的拐点坐标为)6,1(--.(13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则=∂∂)2,1(xz)12(ln 22-.(14) 设3阶矩阵A 的特征值是λ,3,2，若行列式482-=A ，则=λ1-.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学一（15）题 】 (16)（本题满分10分）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰20)1ln()(t du u y t x x 确定，其中)(t x 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=-020t xx te dt dx 的解，求22dx y d . 解：由02=--x te dtdx得tdt dx e x 2=，积分并由条件00==t x ，得21t e x +=， 即)1ln(2t x += ……4分)1ln()1(122)1ln(2222t t t t t t dt dxdt dydx dy ++=+⋅+== ……7分[][]1)1ln()1(122)1ln(2)1ln()1()(22222222+++=+++=++==t t t t t t t dt dx t t dt ddx dy dx d dxy d ……10分(17)（本题满分9分） 计算21⎰.解：由于+∞=--→2211arcsin lim x xx x ，故dx xx x ⎰-10221arcsin 是反常积分 令t x =arcsin ，有t x sin =，[0,)2t π∈⎰⎰⎰==-120202222sin cos cos sin 1arcsin ππtdt t tdt ttt dx xx x ……3分⎰+-=202022sin 4142sin 16πππtdt t t ……7分 41162cos 81162202+=-=πππt ……9分 (18)（本题满分11分） 计算{}⎰⎰Ddxdy xy 1,max ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D .解：曲线1=xy 将区域D 分成如图所示的两个区域1D 和2D ……3分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=211,m ax D D Ddxdy xydxdy dxdy xy ……5分⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=x xdy dx dy dx xydy dx 102212021021221 ……8分2ln 4192ln 212ln 415+=++-=……11分 (19)（本题满分11分）设)(x f 是区间[)+∞,0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(=f ，对任意的[)+∞∈,0t ，直线t x x ==,0，曲线)(x f y =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数)(x f 的表达式.解：旋转体的体积⎰=t dx x f V 02)(π，侧面积⎰+=tdx x f x f S 02')(1)(2π，由题设条件知⎰⎰+=t t dx x f x f dx x f 02;02)(1)()( ……4分上式两端对t 求导得：)(1)()(2'2t f t f t f +=， 即y '=……6分由分离变量法解得12)1ln(C t y y +=-+，即 t Ce y y =-+12 ……9分将1)0(=y 代入知1=C ，故t e y y =-+12，)(21t t e e y -+=于是所求函数为)(21)(x x e e x f y -+== ……11分(20)（本题满分11分）(I) 证明积分中值定理：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得)()()(a b f dx x f ba-=⎰η；(II) 若函数)(x ϕ具有二阶导数，且满足)1()2(ϕϕ>，⎰>32)()2(dx x ϕϕ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得()0ϕξ''<证：(I) 设M 与m 是连续函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值，即M x f m ≤≤)(，[]b a x ,∈由积分性质，有⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(，即M dx x f a b m ba ≤-≤⎰)(1……2分 由连续函数介值定理，至少存在一点[]b a ,∈η，使得⎰-=badx x f a b f )(1)(η，即))(()(a b f dx x f ba-=⎰η ……4分(II) 由 (I) 知至少存在一点[]3,2∈η，使)()23)(()(32ηϕηϕϕ=-=⎰dx x ……6分又由)()()2(32ηϕϕϕ=>⎰dx x 知，32≤<η，对)(x ϕ在]2,1[和],2[η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到)1()2(ϕϕ>，)()2(ηϕϕ>，得21,012)1()2()('11<<>--=ξϕϕξϕ，32,02)2()()('22≤<<<--=ηξηϕηϕξϕ ……9分在],[21ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有211221()()()0,(,)(1,3)ϕξϕξϕξξξξξξ''-''=<∈⊂- ……11分(21)（本题满分11分）求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 下的最大值与最小值.解：作拉格朗日函数)4()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F μλμλ……3分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=04002022022'22''''z y x F z y x F z F y y F x x F z y x μλμλμλμλ ……6分解方程组得)2,1,1(),,(111=z y x ，)8,2,2(),,(222--=z y x ……9分 故所求的最大值为72，最小值为6. ……11分(22)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (23)（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关； （Ⅱ）令123{,,}P ααα=，求1P AP -.证明: (I) 设存在数321,,k k k ，使得0332211=++αααk k k ○1 用A 左乘○1的两边，并由11αα-=A ，22αα=A ，得：0)(3323211=+++-αααk k k k ○2 ……3分 ○1－○2得：022311=-ααk k ○3 因为21,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以21,αα线性无关，从而031==k k 代入○1得，022=αk ，又由于02≠α，所以02=k ，故123,,ααα线性无关. ……7分 （Ⅱ）由题设，可得),,(),,(321321ααααααA A A A AP ==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100110001100110001),,(321P ααα由(I)知，P 为可逆矩阵，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1001100011AP P ……10分数 学（三）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数()f x 在区间]1,1[-上连续，则x=0是函数0()()xf t dtg x x=⎰的 （B ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点. （C ）无穷间断点. （D ）振荡间断点.（2）【 同数学二（2）题 】 （3）已知(,)f x y =则 （B ）（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在（C ）)0,0(x f '存在，)0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f ' )0,0(y f '都不存在 （4）【 同数学二（6）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 设函数21,()2,x x c f x x cx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则=c 1.(10) 函数3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求积分⎰=222)(dx x f 3ln 21. (11) 设{}1),(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=-Ddxdy y x )(24/π.(12) 【 同数学一（9）题 】(13) 设3阶矩阵A 的特征值是1, 2, 2，E 为3阶单位矩阵，则E A --14= _3___ . (14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 计算201sin limlnx xx x→. 解：原式＝20lnsin ln lim x x x x →-=xx xx x x sin 2sin cos lim 20-→ ……4分 302sin cos lim x x x x x -=→206sin limx xx x -=→ ……7分 61-= ……9分 (16)（本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求 dz ； (II) 记 1(,)()z z u x y x y x y ∂∂=--∂∂，求ux∂∂. 解法1：(I) 设)(),,(22z y x z y x z y x F ++--+=ϕ则2x F x ϕ'=-，2y F y ϕ''=-，1z F ϕ''=-- ……3分由公式x z F z x F '∂=-∂'，y zF z y F '∂=-∂'，得 21z x x ϕϕ'∂-='∂+，21z y y ϕϕ'∂-='∂+ 所以[]1(2)(2)1z z dz dx dy x dx y dy x y ϕϕϕ∂∂''=+=-+-'∂∂+ ……7分 (II) 由于2(,)1u x y ϕ='+， 所以 2322(21)(1)(1)(1)u z x x x ϕϕϕϕ'∂-∂+''=+=-''∂+∂+ ……10分 解法2：(I) 对等式)(22z y x z y x ++=-+ϕ两端求微分,得22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++ ……5分解出dz 得 2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ''--=+''++ ……7分(II) 同解法1 ……10分 (17)（本题满分11分） 【 同数学二（18）题 】 (18)（本题满分10分） ()f x 是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意实数t ，有⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t；(II) 证明⎰⎰+-=xt tdt ds s f t f x G 02])()(2[)(是周期为2的周期函数.证法1：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，⎰⎰⎰⎰++++=022202)()()()(tt t tdx x f dx x f dx x f dx x f ……2分令2-=x s ，则有⎰⎰⎰⎰-==+=+0022)()()2()(tttt dx x f ds s f ds s f dx x f所以⎰⎰⎰⎰⎰=-+=+222)()()()()(dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ttt t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰20)(，则ax dt t f x G x-=⎰0)(2)(因为对任意的x ，ax dt t f x a dt t f x G x G xx +-+-=-+⎰⎰+020)(2)2()(2)()2(a dt t f x x 2)(22-=⎰+ ……8分02)(22=-=⎰a dt t f所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分证法2：(I) 设 ⎰+=2)()(t tdx x f t F ，由于0)()2()('=-+=t f t f t F ， ……2分所以)(t F 为常数，从而有)0()(F t F = 而⎰=20)()0(dx x f F ，所以⎰=20)()(dx x f t F ，即⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰2)(，则ax dt t f x G x -=⎰0)(2)(，⎰++-=+20)2()(2)2(x x a dt t f x G ……7分由于对任意x ，((2))2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，(())2()G x f x a '=- 所以((2)())0G x G x '+-=，从而)()2(x G x G -+是常数，即有0)0()2()()2(=-=-+G G x G x G ，所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为05.0=r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元实 现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取)910(n +万元，并能按此规 律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？解：设n A 为用于第n 年提取)910(n +万元的贴现值，则)910()1(n r A n n ++=-故∑∑∞=∞=++==11)1(910n nn n r nA A ……3分 ∑∑∑∞=∞=∞=++=+++=111)1(9200)1(9)1(110n nn n n n r nr n r ……6分 设∑∞==1)(n nnxx S ，)1,1(-∈x因为21()()()1(1)n n x x S x x x x x x ∞=''===--∑，)1,1(-∈x ……9分 所以42005.1111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S r S （万元）故39804209200=⨯+=A （万元），即至少应存入3980万元. ……10分(20) ( 本题满分12分 ) 【 同数学一（21）题 】 (21) ( 本题满分10分 ) 【 同数学二（23）题 】 (22) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（22）题 】 (23) ( 本题满分11分 ) 【 同数学一（23）题 】数 学（四）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设0a b <<，则=+--∞→nnn n b a1)(lim （B ）（A ）a . （B ）1-a . （C ）b . （D ）1-b . （2）【 同数学三（1）题 】（3）设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域},10),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=则以下结论正确的是 （A ） （A ）()()0.Df yg x dxdy =⎰⎰ （B ）()()0.Df xg y dxdy =⎰⎰（C ）[()()]0.Df xg y dxdy +=⎰⎰ （D ）[()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰（4）【 同数学二（2）题 】 （5）【 同数学一（5）题 】 （6）【 同数学二（8）题 】 （7）【 同数学一（7）题 】 （8）【 同数学一（8）题 】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 【 同数学三（9）题 】 (10) 已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程是xy 2= .(11)=⎰⎰121ln xdy x dx y2/1.(12) 【 同数学二（10）题 】(13) 设3阶矩阵A 的特征值互不相同，且行列式0A =，则A 的秩为___2___. (14) 【 同数学一（14）题 】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分） 【 同数学三（15）题 】 (16)（本题满分10分）设函数dt x t t x f ⎰-=10)()()10(<<x ，求()f x 的极值、单调区间及曲线)(x f y =的凹凸区间.解：31231)()()(310+-=-+-=⎰⎰x x dt x t t dt t x t x f xx……4分 令21()02f x x '=-=，得22,22-==x x （舍去） 因()20f x x ''=>（10<<x ） ……5分故22=x 为()f x 的极小值点，极小值)221(31)22(-=f ，且曲线)(x f y =在)1,0(内是凹的. ……8分 由21()2f x x '=-知，()f x 在)22,0(内单调递减，在)1,22(内单调递增. ……10分(17)（本题满分11分） 【 同数学二（21）题 】 (18)（本题满分10分） 【 同数学三（16）题 】 (19)（本题满分10分） 【 同数学三（18）题 】 (20)（本题满分12分） 【 同数学一（21）题 】 (21)（本题满分10分） 【 同数学二（23）题 】 (22)（本题满分11分） 【 同数学一（22）题 】 (23)（本题满分11分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该 企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？解：进行再加工后，产品的合格率984.08.075.004.096.0=⨯⨯+=p ……4分 记X 为n 件产品中的合格产品数，)(n T 为n 件产品的利润，则n np EX p n B X 984.0),,(~== ……8分 )(2080)(X n X n T --=，()1002078.4ET n EX n n =-= ……10分要20000)(≥n ET ，则256≥n ，即该企业每天至少应生产256件产品. ……11分。
2008考研数三真题及解析(1)
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x(1) 设函数 f (x ) 在区间[1,1]上连续，则x 0 是函数g x ( ) 0f t dt ( ) 的( )xA 跳跃间断点.B 可去间断点.C 无穷间断点.D 振荡间断点.(2) 如图，曲线段方程为 yf x ( ) ，函数在区间[0,a ]上有连续导数，则定积分0axf (x dx ) 等于( )A 曲边梯形ABOD 面积.B 梯形ABOD 面积.C 曲边三角形ACD 面积.D 三角形ACD 面积.(3) 设 f x y ( , ) x 2y 4, 则函数在原点偏导数存在的情况是( ) Af x (0,0)存在, f y(0,0)存在 Bf x (0,0)存在, f y (0,0)不存在Cf x(0,0)不存在, f y (0,0)存在Df x (0,0)不存在, f y(0,0)不存在yC (0 , f ( a ))A ( a , f ( a ))y = f ( x )O B ( a ,0) xD22(4) 设函数 f 连续. 若f x2y 2F u v,dxdy ，D uvxy 其中区域D uv 为图中阴影部分，F则 ( )u2v 2vA vfuBfuC vfuDfuuu(5) 设 A 为n 阶非 0 矩阵E 为n 阶单位矩阵若 A 3 O ，则( )A E A 不可逆， E A 不可逆.B E A 不可逆， EA 可逆.C EA 可逆，EA 可逆.D E A 可逆，E A 不可逆.1 2(6) 设 A则在实数域上与 A 合同的矩阵为()2 1A 2 11 .2B 2 11.2C 2 1 1.2D 1 2 2.1(7) 随机变量 X ,Y 独立同分布，且 X 分布函数为 Fx ，则Z max X Y ,分布函数为 ()Oxvx 2 + y 2 = u 2 x 2 + y 2 =1D u vyAF 2x . BFx F y . C 11 Fx2.D1Fx1 F y. (8) 随机变量 X N0,1，Y N 1,4且相关系数X Y1，则( )A P Y2X11.B P Y2X 11 .C P Y2X11 .D P Y2X 11.二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.x ( ) 在(,) 内连续，则c .(9) 设函数 fx c1 x x(10) 函数 fxx1x 4 ，求积分2fx dx .(11) 设D (x y , ) | x 2 y 2 1，则(x2y dxdy ).D(12) 微分方程xy y 0, y (1)1, 求方程的特解 y.(13) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则4A 1E. (14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则PXEX 2.三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 9 分)1 sin x 求极限lim 0x 2 ln x .2 221 ,2 , x x cx3x(16) (本题满分 10 分) 设 zz (x y , ) 是由方程x 2y 2 z x y z所确定的函数，其中具有 2 阶导数且1，(I) 求dz(II) 记u x y ,x 1 y xz yz ，求 ux .(17) (本题满分 11 分)计算maxxy ,1dxdy , 其中 D {(x y ,) 0 x2,0y 2}D(18) (本题满分 10 分)设 fx 是周期为 2 的连续函数，t 22(I) 证明对任意实数 t 都有tfx dx 0f x dxxt 2(II) 证明Gx2 f ttf s ds dt是周期为 2 的周期函数．(19) (本题满分 10 分)设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第n 年取出(10+9 n )万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) (本题满分 12 分)设n 元线性方程组Axb ，其中2a 1 2 A a2a2a1x 1 1 x 2 0 ， x ， b ，x n 02a nn(I)证明行列式A n1a n ；(II)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1 ；(III)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10 分)设A 为 3 阶矩阵，1, 2 为A 的分别属于特征值1,1 特征向量，向量 3 满足A 3 2 3 . (1)证明1,2, 3 线性无关；(2)令P 1,2, 3 ，求P1AP .(22)(本题满分11 分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为P X i i 1,0,1，Y 的概率密10 y 1度为f Y y ，记Z X Y .0 其它1求：(I) P Z X 0；2(II) Z 的概率密度f Z (z) ．(23) (本题满分11 分) 设X1, X2, , X n 是总体N (,2)的简单随机样本.记1nX X i ，S 2 1 n (X i X )2 ，T X 2 1 S 2n i1n 1 i1n(I) 证明T 是 2 的无偏估计量；(II)当0,1时，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题(1)【答案】Bxf t dt( )【详解】lim g x( ) lim0lim f x f 0 ，x0x0x x0所以x0 是函数g(x) 的可去间断点．(2)【答案】Ca aa a解】xf (x dx)xdf x( ) xf x( )a0 f x dx af a( )( ) 【详f x dx( )0000面积，f (x dx) 为曲边梯形ABOD的面积，所以xf a a 其中af (a) 是矩形ABOC(x dx) 为00曲边三角形的面积．(3)【答案】Cx204x【详解】fx(0,0) lim f x( ,0) f (0,0) lim e 1 lim e1x0x 0x0x x0x22e x1 e x 1 e x 1 e x1lim lim 1 ， lim lim 1 xxxxx 0x x 0x故 f x (0,0) 不存在．02y 4y 22f y (0,0) limf (0, y ) f (0,0)lim e1 lime1limy 0y 0y 0 y 0yy 0yy 0y所以 f y(0,0) 存在．故选C(4)【答案】 Af u2v 2v u2u【详解】用极坐标得 F u v,dudvdvf r (r )rdr v1f rdr ( 2)0 1 DuvF 2所以vf uu(5)【答案】C 【详解】( EA E )( A A 2) E A 3 E ，( E A E )( A A 2) EA 3 E 故 E A , E A 均可逆．(6)【答案】D1 2【详解】记 D，2 1122122则 E D 1 4 ，又 E A 142 1 2 1所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值. 又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A【详解】F z P Z z P Z max X Y, z P X z P Y z F z F z F z2(8)【答案】D【详解】用排除法. 设Y aX b，由X Y 1，知道X ,Y 正相关，得a0，排除A 、 C 由X ~ N(0,1),Y ~ N(1,4) ，得EX 0, EY 1, 所以 E Y( ) E aX( b) aEX b a0 b 1, 所以b1. 排除B . 故选择D二、填空题(9)【答案】12 x,x c【详解】由题设知c | x |0 ，所以f x( ) x21,c x c2 x,x c22 2 ，lim f x lim 2因为lim f x lim(x 1) c 1x c x c x c x c x c又因为f (x) 在(,) 内连续，f (x) 必在x c 处连续2 2 所以limf x lim f x f c( ) ，即c 1 c1x c x c c(10)【答案】 ln 322xx ，令t 1 x ，得 f【详解】 ft2t1 xt 22x 2xx121 x2 2dx 2 ln x所以2f x dx22ln 6ln 22 ln 3(11)【答案】4 【详解】(x2y dxdy ) 利用函数奇偶性x dxdy21 x 2y dxdy 22DDD12d1r rdr 22 041(12)【答案】 yxdy y【详解】由，两端积分得ln y ln x C 1 ，所以 C，又y (1) 1 ，所以dxx1 y .x(13)【答案】32 222 111 1 xx x xx x2 221 21 xy【详解】A的特征值为1,2,2 ，所以A 1 的特征值为1,1 2,1 2 ，所以4A 1 E 的特征值为4 1 1 3，412 1 1 ，4 12 1 1 所以4A 1 E3 1 1 3(14)【答案】e1【详解】由DX EX 2 (EX )2 ，得EX 2 DX (EX )2 ，又因为X 服从参数为1 的泊松2分布，所以DX EX 1，所以EX 2 11 2 ，所以P X2 1 e 1 1 e12！2三、解答题(15)【详解】方法一：lim x0 x12 ln sin x x lim x0 x12 ln 1sin x x 1sin x x cos x 1sin x1lim x0x3lim x03x2lim x06x 61sin x x cos x sin x x cos x sin x方法二：lim x0 x2 ln x 洛必达法则lim x02x2 sin x lim x02x3x sin x1 洛必达法则lim06x26x(16)【详解】(I) 2xdx 2ydy dz x y z dx dy dz1dz 2x dx2y dy2x dx 2y dydz1 111 / 21z2xz 2y(II)由上一问可知,，x 1 y11z z 1 2x 2y 1 2y 2x2所以u x y,( )( )x y x y x y11 x y11z2xu 2(12x)2(112)2(123x )2(12 )3x .所以x11 11(17) 【详解】曲线 xy 1将区域分成两个区域D 1 和D 2 D 3 ，为了便于计算继续对区域分割，最后为maxxy ,1dxdyDxydxdydxdydxdyD 1D 2D 312 222dx1dy dxx1dy1dx1xydy0 00 2x1 2ln2 ln 2ln 2(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，O0.5 2 xD 1D 3 D 2t202t2t f x dx t f x dx0 f x dx2f x dxt2t t0 令x2u ，则2f x dx0 f 2 u du0 f u du t f x dxt20202所以t f x dx t f x dx0 f x dx t f xdx0 f x dxt222(II) 由(1)知，对任意的t有t f x dx 0 f x dx，记a 0f x dx ，则xG x( ) 20 f u du ax . 所以，对任意的x ，x2xG x( 2) G x( ) 20f u du a x( 2) 20 f u duaxx222x f u du2a 20 f u du2a 0 所以G x 是周期为2 的周期函数.t 2 方法二：(I) 设F t( ) t f x dx( ) ，由于F t( ) f t( 2) f t( ) 0 ，所以F(t) 为常数，2 2 从而有F t( ) F(0) . 而F (0)0 f x dx( ) ，所以F t( ) 0 f x dx( ) ，即t22t f x dx( )0 f x dx( ).t222(II) 由(I)知，对任意的t有t f x dx 0 f x dx，记a 0 f x dx ，则x x2G x( ) 20 f u du ax ，G x( 2) 20 f u du ax( 2) 由于对任意x，G x( 2) 2 f x( 2) a 2 f x( ) a ，G x( ) 2 f x( ) a 所以G x( 2) G x( )0 ，从而Gx( 2) G x( ) 是常数即有G x( 2) G x( ) G(2) G(0) 0 所以G x 是周期为2 的周期函数.(19)【详解】方法一：设A n 为用于第n年提取(10 9 )n 万元的贴现值，则A n (1r)n (10 9 )n10 9n19n n故A n 1 A n n 1 (1r)n 10n 1 (1r)n n 1 (1r)n 200 9n 1 (1r)n 设S x( )nx n x ( 1,1)n1n x x因为S x( ) x(n 1 x )x(1x)(1x)2x( 1,1)11所以S() S() 420 (万元) 1r1.05 故A2009420 3980 (万元)，即至少应存入3980 万元. 方法二：设第t年取款后的余款是y t ，由题意知y t 满足方程y t (1 0.05)y t1(10 9 )t，即y t 1.05y t1(10 9 )t (1)(1)对应的齐次方程y t1.05y t10 的通解为y t C (1.05)t 设(1)的通解为y t * at b ，代入(1)解得 a 180，b 3980 所以(1)的通解为 y tC (1.05)t180t3980 由 y 0A ， y t 0得 A C3980 C 0 故 A至少为 3980 万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2a1证法二：记D n | A | ，下面用数学归纳法证明D n(n 1)a n ．当n 1时， D 12a ，结论成立．2a 122 22 2 1221 2 13 1 2 10 2 2 12 2 1 1 2 2 12 3 01 24 013 4 ( 1) 2 ( 1) 33 2 1 1) ( 0n nn a a a a a a a a arr a a aa a a an a a a n r ar an annn a nA当n 2时，D 223a ，结论成立． a 2a 假设结论对小于n 的情况成立．将D n 按第 1 行展开得a 2 12aD n1a D 2 n22ana n1a n 2( 1)a n2(n 1)a n故 | A | (n1)a n 证法三：记D n| A | ，将其按第一列展开得 D n2aD n1a D 2 n2 ，所以 D n aD n1aD n1a D 2n2a D (n 1aD n 2) a 2(D n 2aD n 3)a n 2(D 2aD 1)a n 即D n a naD n1a n a a ( n1aD n 2) 2a na D 2n 2(n 2)a n a n 2D 2 (n 1)a n a n 1D 1(n 1)a n a n12 a (n 1)a n (II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B 知 A0 ，又 A(n1)a n ，故a0．由克莱姆法则，将D n 的第 1 列换成b ，得行列式为D n 2aD n 12a a 21 2a 1a 21 2a112a1a2 2a n10 2a 1a2 2a 1 a2 2aD n 1 na1 1a22aa22a(n 1) (n 1)D n1n所以x 1D n(n1)a(III) 方程组有无穷多解，由A 0，有a 0，则方程组为0101x11x201x n100x n0此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为k 100 0T 010 0T ,k 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设1,2, 3 线性相关．因为1, 2 分别属于不同特征值的特征向量，故1, 2 线性无关，则3可由1, 2 线性表出，不妨设 3 l1 1 l2 2 ，nn其中l1,l2 不全为零(若l1,l2 同时为0，则3为0，由A 3 2 3 可知 20 ，而特征向量都是非0 向量，矛盾)A 1 1, A 2 2A 3 2 3 2 l 1 1 l2 2 ，又A 3 A l( 1 1 l 22) l 1 1 l22l 1 1 l 2 2 2 l1 1 l2 2 ，整理得：2l 1 12 0 则1, 2 线性相关，矛盾. 所以，1,2,3 线性无关.证法二：设存在数k k k1, 2, 3 ，使得k 1 1 k 2 2 k 3 30 用A左乘(1)的两边并由A 1 1,A 2 2 得(1)k 1 1 (k 2 k3) 2 k 3 3 0(2)(1)—(2)得2k 1 1 k 3 2 0(3)因为1, 2 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以1, 2 线性无关，从而k 1 k 3 0 ，代入(1)得k 2 2 0，又由于 2 0 ，所以k 2 0 ，故1,2, 3 线性无关.(II) 记P (1,2,3) ，则P 可逆，AP A (1,2,3) (A 1, A 2, A 3) (1,2, 2 3)1 (1,2,3)000111P111 01P X(0,Y)11111(I)P Z(X 0)P X Y(X0) 2 PY ( ) 021dy222P X (0)2(II)F Z (z ) P Z{z } P X{Y z}P X {Y z X ,1}P X {Y z X ,0}P X{Yz X,1}P Y {z 1, X 1}P Y{z X,0}P Y{z1, X 1}P Y {z 1} {P X 1}P Y{z P X} {0}P Y { z 1} {P X 1}P Y {z 1}P Y{z }P Y{z 1}F z Y ( 1) F z Y ( ) F z Y ( 1)1所以f Z (z ) f Y (z 1) f Y ( )z f Y (z 1) 3 ,1z 2 130,其它22(23) 【详解】(I) 因为X N (,) ，所以X N (,) ，从而EX n21221 2 因为E T() E X(S ) EX E S()n n D X ( E X ) 21 E S (2 )10所以P AP10100 (22)【详解】01.111 2 2122n nn所以，T 是2的无偏估计(II) 方法一：D T ()ET 2 (ET )2 ，E T () 0 ，E S (2)212 ,DX． n122 D nXDX ( )n21222n n nES 4ES 2DS 2(ES 22)DS 21(n 1)2 S 2 (n 1)S 22(n 1) ，所以DW因为W 2(n 1) ，S 4n 1 nnn2422所以E X ( ) D X ( ) E 2(X )D 所以 2 ( ) D ETT 42 22 2 ( )E X S Xn42 2 42 2 ( ) ( ) ) ( ( ) EXES ES EX n因为 ( 0 ,1) X N ，所以 1( ) , 0 N X n，有 1 0 , E X DX ， 2 2 1E X DX EX2 2 1 ) ( ) ( nX E DX X n2213DS 2 2 ,所以ES 42 2 ，所以2 1 n 1 又因为DW (n1) DS(n1)(n1)n123211n12所以ET 2 1 2 . n n n n n 1n n( 1)方法二：当0,1时D T() D X(21 S2)(注意X 和S2 独立) n21212112DX n2 DS n2 D nX n2 (n1)2 D(n1)S11122 2 2 2 2(n 1)n n(n1)n n ( 1)21 / 21。
2008年考研数学一真题及答案详解
a x 2
n 0 n
n
在 x 0 处 收 敛 , 在 x 4 处 发 散 , 则 幂 级 数
a x 3
n 0 n
n
的收敛域为 .
(12) 设 曲 面 是 z
4 x2 y 2 的 上 侧 , 则
xydydz xdzdx x dxdy
(1) r ( A) 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r ( A) 2 . (21)(本题满分 11 分)
2a 1 2 a 2a 设 矩 阵 A a2
, 现 矩 阵 A 满 足 方 程 AX B , 其 中 1 2 a n n
X x1 ,
sin 2 xdx 2 x
L
2
1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0, 0 到点
, 0 的一段.
(17)(本题满分 10 分)
x2 y 2 2z 2 0 已知曲线 C : ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. x y 3 z 5
2
.
(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 0, Aα 2 2α1 α2 ,则 A 的非零特征值为 . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
A 的正特征值个数为 1．故应选(B).
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】 ．
(B) 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收
【答案】 应选(B). 【详解】若 {xn } 单调，则由函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界知，若 { f ( xn )} 单调 有界，因此若 { f ( xn )} 收敛．故应选(B). （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A3 0 ，则【 则下列结论正确的是： (A) E A 不可逆， 则 E A 不可逆. 逆. (C) E A 可逆， 则 E A 可逆. 逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 】
2008年考研真题及答案
一、单项选择题：1~16小题，每小题1分，共16分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
请在答题卡上将所选项的字母涂黑。
1．马克思主义哲学与唯心主义哲学、旧唯物主义哲学的根本区别在于A．坚持人的主体地位B．坚持用辩证发展的观点去认识世界C．坚持物质第一性、意识第二性D．坚持从客观的物质实践活动去理解现实世界2．最近，由多国科学家组成的团队利用一台粒子加速器，让两束原子在一个圆环轨道上做高速运动，发现这些原子自身的时间确实比外界时间慢了。
这项实验进一步证明了作为物质运动存在形式的时间具有A．客观性 B．有限性C．相对性D．一维性3．在听完一位成功的企业家讲课后，一些来自企业的学员感到有些失望，便问他："你讲的那些内容我们也差不多知道，可为什么我们之间的差距会那么大呢？"这位企业家回答说："那是因为你们仅是知道，而我却做到了，这就是我们的差别。
"这句话表明了实践高于理论认识，因为实践具有A．普遍有效性B．客观规律性C．主体能动性D．直接现实性4．"文化蕴藏着巨大的力，这种‘力’不同于物理学上的‘力’，物理的‘力’是人类用来‘化’自然界的，文化的‘力’是用来‘化’自身的。
"这一说法表明A．文化具有培育和塑造人的功能B．文化构造了人的本质C．文化是社会发展的主导力量D．文化是历史进步的源泉5．马克思通过对资本主义生产中价值增值过程的分析，把雇佣工人的劳动时间分为A．生产使用价值的时间和生产价值的时间B．转移旧价值的时间和创造新价值的时间C．生产生产资料价值的时间和生产剩余价值的时间D．在生产劳动力价值的时间和生产剩余价值的时间6．某块土地，地租为200万元，土地价格为4000万元。
若银行存款利息率不变，该土地的地租增加到300万元时，银行存款利息率和土地价格分别是A．5%、9000万元B．5%、6000万元C．6%、9000万元D．6%、6000万元7．在完善社会主义市场经济体制过程中，要加快建立覆盖城乡居民的社会保障体系，其基本目标是A．保障人民基本生活B．促进社会经济增长C．实现充分就业 D．使更多的劳动者拥有财产性收入8．在孙中山的思想中，"平均地权"、"节制资本"属于A．民族主义B．民权主义 C．民生主义D．民主主义9．1927年9月下旬，毛泽东率领秋收起义的部队来到江西省永新县三湾村，进行了著名的三湾改编，确立了人民军队建设的根本原则，这一原则是A．党指挥枪 B．官兵平等C．拥政爱民 D．一切行动听指挥10．我国对个体手工业进行社会主义改造的主要方式是A．赎买B．统购统销C．公私合营 D．合作化11．我国社会主义改革是一场新的革命，其性质是A．解放生产力，发展生产力B．社会主义基本制度的根本变革C．社会主义制度的自我完善和发展D．建立和完善社会主义市场经济体制12．党的领导、人民当家作主和依法治国的统一性是由A．社会主义初级阶段的基本国情决定的B．社会主义国家的本质决定的C．社会主义根本任务决定的D．社会主义国家的发展战略决定的13．为研究和完善国家法定节假日制度，国家有关部门按照国务院的部署，通过有关网站进行问卷调查，并在部分城市进行了电话调查。
2008年考研数学试题答案与解析(数学一)
2008年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln (2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln (2)02xf x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞）所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A 【详解】因为2211x y f xy'=+，2221y x y f xy-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=g ra d i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、co s 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z abc'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f abc'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2m ax ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】 用排除法. 设Y aX b =+，由1X Y ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,E X E Y ==所以 ()()E Y E a X b a E X b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dxx-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x=.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin ()ln ()F x y xy y x x =+--，则1c o s ()11c o s ()x y y x y F d y y xd xF x x y y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x d y d x==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即0nn n a t ∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xyd yd z xd zd x x d xd y ∑++⎰⎰1122x y d y d z x d z d x x d x d y x y d y d z x d z d x x d x d y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y y d x d y d z x d x d y x y d x d y Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223142d r d r πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则A P P B = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P A P -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()D X E X E X =-，得22()E XD XE X =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1D X E X ==，所以2112E X =+=，所以 {}21111222P X e e--===！三、解答题 (15) 【详解】 方法一：43[sin sin (sin )]sin sin sin (sin )limlimx x x x xx x xx→→--=22221s in c o s c o s (s in )c o s 1c o s (s in )12limlimlim 3336x x x x x x xx x xx→→→--====方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin (sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+444440[s in s in (s in )]s in s in (s in )1limlim 66x x x x xx o x xx x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】 方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）222222s in 22(1)[s in 22(1)s in c o s ]s in 21c o s 2c o s 2s in 2s in 222222Lx d x x y d yx x x x d x x x d xxx xx x d x xx d x ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域11222sin 222s in 22(1)s in 22(1)s in 22(1)14s in 24c o s 22s in21(1c o s 2)s in 2s in 22222LL L L xDx d x x y d yx d x x y d y x d x x y d yx y d x d y x d xd x x y d y xx x d xxx x x d x xx d x πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLx d x y d y x y d y -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LL Lxd x x yd y xd x yd y x yd y I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Q yx∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10s in 20I x d x π==⎰2222202222122s in c o s s in 2c o s 221111c o s 22c o s 2s in 222221111s in 2c o s 22222LI x y d y x x x d x x x d x x d xx xx x d x x d xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到x O y 面的距离为||z ，故求C 上距离x O y 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y zz x y z x yzλμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 22235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或 111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以00()()()()limlimx xxx x f t d t f t d tF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰()()limlimlim ()x xxx x x f t d tf x f xxξξ+→→→===⎰，其中ξ介于x 与x x + 之间由于0lim ()()x f f x ξ→= ，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x xH x ft d t x ft d tft d t x ft d tf x ft d t f x ft d t+'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t d t f t d t =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x xG x G x ft d tx ft d t ft d tx ft d t ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()222202x xft d t ft d t ft d t ft d t +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0xxxft d t fu d u f t ft d t ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】 由于 220022(1)23a x d x πππ=-=-⎰21224(1)c o s (1)1,2,n n a x n x d x n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()c o s 14c o s 023n n n n a f x a n x n x x nππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f nπ+∞=-=-+ ∑又(0)1f =，所以1221(1)12n n nπ+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12TTTr A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a aa aa A r a r aaaa=-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n ar a r a n a nnn an--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n aa aa D a D aa-=-21221222(1)(1)n n nn n a D a D a n aa n an a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D a D a D --=-，所以 211212()n n n n n n D a D a D a D a D a D ------=-=-222321()()n nn n a D a D aD a D a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a a D a a a a D a a D ----=+=++=++2121(2)(1)nn nn n aaD n aaD --==-+=-+1(1)2(1)nn nn a aa n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由A x B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n aa a a aa aa D n aaaaa--⨯-⨯-===所以 11(1)n nD n x D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n nx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()100100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y d y P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它 (23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X D X nσμ= =．因为 221()()E T E XS n=-221()E X E S n=-221()()D X E X E S n=+-222211nnσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T E T E T =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T E T=442222()S E X XSnn=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S nn=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n==，()221E XD XE Xn=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D D X E X⎛⎡⎤=+=++ ⎣⎦⎝(2221()DD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1E SE S D S E S D S ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n SW n Sn χσ-==-- ，所以2(1)D W n =-，又因为22(1)D W n D S =-，所以22(1)D S n =-,所以4211(1)1n E S n n +=+=--所以 2223211111n E Tnnnnn +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-.方法二：当0,1μσ==时221()()D T D XS n=-(注意X 和2S 独立)(222222221111(1)(1)D XD S DD n S nnnn ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n nnn n n =⋅+⋅⋅-=--。
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一、 填空(每空1.5分，共30分)
1． 汽车动力性的评价指标主要有（ ）、（ ）和（ ）。
2． 汽车行驶条件的表达式为( )。
3． 车轮的滚动半径是( )到( )的距离。
4． 弹性车轮在松软路面上滚动时的阻力主要由( )、( )和( )三部分组成。
5． 轮胎的侧偏特性主要是指轮胎运动过程中的（ ）、（ ）和（ ）三者之
间的关系。
6． 汽车的稳态响应可以根据稳定性因素K的数值分为( )、( )、( )三类。
7． 机械振动对人体的影响，取决于振动的（ ）、（ ）、（ ）和（ ），以及
人体对振动的（ ）。
二、 简答(每题15分，共90分)
1． 如何考虑汽车变速器I挡传动比？
2． 从动力性的角度分析，4×2型汽车发动机前置时采用前轮驱动好还是后
轮驱动好，为什么？
3． 汽车等速百公里燃油消耗量是指什么？它与循环工况百公里燃油消耗
量的概念有何区别？
河南科技大学
2008年硕士研究生入学考试试题
考试科目代码： 817 考试科目名称：
汽车理论
（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）
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4． 画出车轮滑动率S与制动力系数b和侧向力系数l之间变化关系曲线，
说明制动时防抱死的理论依据。
5． 画图说明为什么后轴侧滑比前轴侧滑危险。
6． 画出自行车匀速直线上坡时的整车受力图。
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三、 计算与分析(30分)
已知汽车轴距L，质心至前轴距离a，至后轴距离b，质心高度hg，制动
器制动力分配系数，根据汽车同步附着系数的定义，推导出同步附着系数
0
用上述参数表示的表达式。当某汽车总质量为4250kg，前轴荷为36%，质心
高度为0.85m，轴距为2.45m，同步附着系数0为0.6，试确定其前、后制动
器制动力的分配比例应为多少？