(完整版)高中数学不等式习题及详细答案.doc

t－1
＋7 t－1＋10
＝t＋5t
＋5＝9，
t
t
t
t
当且仅当t＝4
，即t＝2，x＝1时取等号，故
x＝1时，y取最小值9．
t
第9页 共11页
18．解：因为直线l经过点P( 3，2)且与x轴y轴都相交，
y
故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k，
B
则l的方程可写成y－2＝k( x－3)，其中k＜0．
令x＝0，则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－2＋3．
△ABC．
由x＋3y＝4得A( 1，1)，又B( 0，4)，C( 0，4)．
3x
＋ ＝
3
y 4
由于直线y＝kx＋4过点C( 0，4)，设它与直线
3
3
3x＋y＝4的交点为D，
则由S△BCD＝1
△
1
，∴y
D＝
5，
2
SABC，知D为AB的中点，即xD＝
2
2
∴5＝k×1＋4，k＝7．
2
2
3
3
8．A
x0＋2 y0＋3＝0，
＋9＝1，求x＋y的最小值；
x
y
( 3)已知a＞0，b＞0，且a2＋b2＝1，求a 1＋b2的最大值．
2
第4页 共11页
参考答案
1．D
解析：由已知
2
(
)
2
＋1＝
1
1
，
f( x)＝x－4 x＋5＝
x－2
( x
－2
＋
2 x－4
(
)
2
)wk.baidu.com
x－2
2 x－2
∵x≥5，x－2＞0，2
∴1
－2＋
1
≥1
·2 ( x－2)
14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，a＋b＝1，则x＋y的最小值为．
xy
15．函数y＝loga( x＋3)－1( a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny
＋1＝0上，其中mn＞0，则1＋2的最小值为．
mn
16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分
mn＞0知n，4m均为正，
m
n
∴
1＋2＝( 2m＋n)(1
＋2
)＝4＋n
＋4m
≥4＋2
n
4m
＝8，当且仅当
m
n
m
n
m
n
m
n
n＝4m
m＝
1
4时取等号．
m
n
即
1
2m＋n＝1
n＝
2
16．p1p2．
2
解析：设该厂第一年的产值为a，由题意，a( 1＋p)2＝a( 1＋p1)( 1＋p2)，且1＋p1＞0，
1＋p2＞0，
4．
2
3．D
解析：
方法一： 特值法， 如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，
易判断只有2ab≥ab
a b
不成立．
第5页 共11页
方法二：可逐项使用均值不等式判断
A：a＋b＋
1
≥2
ab＋
1
≥2
2
ab
1
＝2
2，不等式成立．
ab
ab
ab
B：∵a＋b≥2
ab>0，
1＋1≥2
1
>0，相乘得
( a＋b)(
1＋1)≥4成立．
≥2
y2
1
＝1，当且仅当
y
2＝
1
，y＝
2时取等号；
4 y2
4 y2
4y2
2
x＋y≥2
x
y
＝2( x＞0，y＞0)，当且仅当
x＝y，y2＝x2时取等号．
y
x
y
x
y
x
∴
x
2＋1
＋
y2＋1
＋
x＋y
≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立
4x2
4y2
y
x
时，原式取最小值，故当且仅当
x＝y＝
2
时原式取最小值
5．C
解析：由0＜x＜π，有sinx＞0，cosx＞0．
2
f( x)＝1＋cos2x
＋8sin2
x＝2 cos2x＋8 sin2
x＝cos x＋4sin x
sin
2x
2 sin x cos x
sin x
cosx
≥2cos x·4sin x＝4，当且仅当cosx＝4sin x，即tan x＝1
时，取“＝”．
2
＝a 1＋p1＋p2
2
所以a( 1＋p)2＝a( 1＋p1)( 1＋p2)≤a
1＋p1＋1＋p2
，解得
2
2
p≤
p1＋p2
，当且仅当
1＋p
，即p1＝p2时取等号．所以
p的最大值是
p1＋p2
．
2
1＝1＋p2
2
三、解答题
17．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，
(
)2
(
)
2
＋4＝t＋
4＋5≥2 t
4
y＝
4x－
5
)＋4．
5－4x
∵5－4x＋
1
≥2 ( 5－4x)
1
＝2，
5－4x
5－4x
∴y≤－2＋4＝2，
当且仅当5－4x＝
1
，即x＝1
或x＝3(舍)时，等号成立，
5－4x
2
故当x＝1时，ymax＝2．
第10页 共11页
19
( 2)∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(1＋9)( x＋y)＝y＋9x＋10≥2
xyxy
y·9x＋10＝6＋10＝16．
xy
当且仅当
y
＝
9x
，且
1
＋
9
＝1，即
x＝4，
x
y
x
y
时等号成立，
y＝12
∴当x＝4，y＝12时，( x＋y)min＝16．
( 3) a 1＋b2＝a
21＋b2
＝2·a
1＋b2
≤
2a2＋1＋b2
＝3 2，
2
2
2
2
2
2
2
4
当且仅当a＝
1＋b2
，即a＝
3，b＝
2时，a 1＋b2
ab＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，
∴(
ab)2－2 ab－3≥0，
∴(
ab－3)(ab＋1)≥0，∴
ab≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b＝3
时等号成立)．
14．(a＋b )2．
解析：由已知ay，bx均为正数，
xy
第8页 共11页
∴x＋y＝
( x＋y)(
a＋b)＝a＋b＋ay＋bx
ay
bx
≥a＋b＋2
第三章 不等式
一、选择题
1．已知x≥5，则f( x)＝x2－4x＋5
有(
)．
2
2x－4
A．最大值5
B．最小值5
C．最大值1
D．最小值1
4
4
2．若x＞0，y＞0，则( x＋1)2＋( y＋1)2的最小值是(
)．
2 y
2 x
A．3
B．7
C．4
D．9
2
2
3．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是
(
)．
A．a＋b＋
二、填空题
11．不等式组
( x－y＋5)( x＋y)≥0
所表示的平面区域的面积是
．
0≤x≤3
x＋2y－3≤0
12．设变量x，y满足约束条件x＋3y－3≥0，若目标函数z＝ax＋y( a＞0)仅在点( 3，y－1≤0
0)处取得最大值，则a的取值范围是．
13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．
x＋3y≥4，所表示的平面区域被直线
3x＋y≤4
3
部分，则k的值是(
)．
7
3
C．
4
3
A．
B．
3
D．
3
7
4
8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方，且P到直线
2x＋y－6＝0的距离为
第1页 共11页
3 5，则点P的坐标是(
)．
A．(－5，1)
B．(－1，5)
C．(－7，2)
D．( 2，－7)
有最大值3 2．
2
2
2
2
4
第11页 共11页
1
＝1，
( x
)
x－2
2
x－2
2
当且仅当x－
2＝
1
，即x＝3时取等号．
x－2
2．C
解析：(
＋1)2
＋
(
＋1)2
x
2 y
y
2 x
＝x2＋x＋1
＋y2＋y＋1
y
4 y2
x
4x2
＝x2＋1
＋y2＋1
＋
x＋y．
4x2
4y2
y
x
∵x2＋1
≥2
x2
1
2＝1，当且仅当x2＝
1
2，x＝
2
时取等号；
2
4x
4x
4x
2
y2＋1
D．(－1，0)∪( 0，1)
5．当0＜x＜π时，函数f( x)＝1＋cos 2x＋8sin2
x的最小值为(
)．
2
sin 2 x
A．2
B．2 3
C．4
D．4 3
6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是(
)．
A．18
B．6
C．2
3
D．243
x≥0
y＝kx＋4分为面积相等的两
7．若不等式组
x－y＋5≤0
x＋y≥0
或x＋y≤0
0≤x≤3
0≤x≤3
(第11题)
这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．
第一个不等式组所对应的区域如图，
而
第二个不等式组所对应的区域不存在．
图中A( 3，8)，B( 3，－3)，C( 0，5)，阴影部分的面积为
3 ( 11＋5)＝24．
2
12．a a＞1．
2
解析：若z＝ax＋y( a＞0)仅在点( 3，0)处取得最大
k
P(3,2)
O
Ax
(第18题)
△AOB＝1
( 2－3k)(－2
＋3)＝1
12＋(－9
k
)＋(－4)
≥1
12＋2
(
－9
k) (
－
4
S
k
2
k
2
)
2
k
＝12，当且仅当(－9k)＝(－4)，即k＝－2
时，S△AOB有最小值
12，所求直线方程为
k
3
y－2＝－2( x－3)，即2x＋3y－12＝0．
3
19．解：设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：
x0＝－5，
解析：设P点的坐标为( x0
，y0)，则
x0－y0－1＜0，
解得
y0＝1.
2x0＋y06
5 .
＝3
5
∴点P坐标是(－5，1)．
9．B
解析：当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．
3－22
∵kAC＝5
5－1
＝－7，
20
∴ －m＝－
7，即m＝7
．
20
20
10．D
解析：由x＋
sin xcos x
sin x
cosx
2
∵0＜x＜π，∴存在x使tan x＝1，这时f( x)min＝4．
22
6．B
解析：∵
a＋b＝2，故3a＋3b≥2
a
b
a b
3
3＝2
3＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．
第6页 共11页
故3a＋3b的最小值是6．
7．A
解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分
值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线
x＋2y－3＝
0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y
－3＝0的斜率，可得：－a＜－1，即a＞1．
2
2
13．ab≥9．
解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征，可以设想使用
a＋b≥ab
2
构造一个不等式．
∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3，即ab≥2
·
＝a＋b＋2ab，
x
y
x
y
x
y
ay＝bx
x＝a＋ab时取等号．
即x＋y≥(
a＋
b )2，当且仅当
x
y
即
a
b
＝
＋
ab
＋
＝1
y b
x
y
15．8．
解析：因为y＝logax的图象恒过定点( 1，0)，故函数y＝loga( x＋3)－1的图象恒过定
点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得
m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由
a
b
ab
a b
a
b
2
a
b
2
C：∵a2＋b2＝( a＋b)2－2ab≥( a＋b)2－2
＝2
，
2
2
又ab≤a
b
1
≥
2
，∴a2
b2
≥a＋b
成立．
2
ab
a
b
ab
D：∵a＋b≥2
ab
a
1
≤
1
，∴2ab≤2ab
＝
ab，即2ab≥ab
b 2 ab
a
b
2
ab
a b
不成立．
4．D
解析:因为f( x)是奇函数，则f(－x)＝－f( x)，
率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为．
第2页 共11页
三、解答题
2
17．求函数y＝x＋7x＋10( x＞－1)的最小值．
x＋1
18．已知直线l经过点P( 3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB
面积最小时，求直线l的方程．
(第18题)
第3页 共11页
19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；
9．已知平面区域如图所示，z＝mx＋y( m＞0)在平面区
域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为(
)．
A．－7
B．7
20
20
C．1
D．不存在
2
10．当x＞1时，不等式
1
≥a
恒成立，则实数
a
(第9题)
x＋
x
1
的取值范围是(
)．
A．(－∞，2]
B．[ 2，＋∞)
C．[ 3，＋∞)
D．(－∞，3]
f( x)－f(－x)＜0
2 f( x)＜0
xf( x)＜0，满足x与f( x)异
x
x
号的x的集合为所求．
因为f( x)在( 0，＋∞)上是增函数，且f( 1)＝0，画出f( x)在( 0，＋∞)的简图如图，再根据f( x)是奇函数的性质得到f( x)在
y
－1O1x
(－ ∞，0)的图象．(第4题)
由f( x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪( 0，1)时，x与f( x)异号．
1
≥22
B．( a＋b)(
1＋1
)≥4
ab
a
b
C．a2
b2
≥a＋b
D．2ab≥
ab
ab
a
b
4．已知奇函数f( x)在( 0，＋∞)上是增函数，且
f( 1)＝0，则不等式
f( x)－f (－x)＜0
x
的解集为(
)．
A．(－1，0)∪( 1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪( 0，1)
C．(－∞，－1)∪( 1，＋∞)
A原料用量
B原料用量
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
x0
y0
则有，目标函数z＝5x＋3y
3xy≤13
2x3y≤18
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知
(第18题)
当x＝3，y＝4时可获得最大利润为
27万元.
20．解：( 1)∵x＜
5，∴4x－5＜0，故5－4x＞0．
1
4
1
y＝4x－1＋
＝－( 5－4x＋
1
＝( x－1)
＋
1
＋1，
x－1
x－1
∵x＞1，∴x－1＞0，则有( x－1)＋
1
＋1≥2
( x－1)·1
＋1＝3，
x－1
x－1
则a≤3．
第7页 共11页
二、填空题
11．24．
解析：不等式( x－y＋5)( x＋y)≥0可转化为两个
二元一次不等式组．
( x－y＋5)( x＋y)≥0
0≤x≤3
x－y＋5≥0
生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售
每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料
不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？
20．( 1)已知x＜5
，求函数y＝4x－1＋
1
的最大值；
4
4x－5
( 2)已知x，y∈R＊(正实数集)，且1