C11_2数项级数及审敛法

第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十一章
三、绝对收敛与条件收敛
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
收敛
部分和序列
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.

1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
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例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)

2
1 发散 k 2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
进行拆项相消 1 1 1 2 1 2 (n 1)(n 2) 1 11 (2) , lim S n , 这说明原级数收敛 .2 其和为 3 4 4n 2n n n 1 n 3
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n
(3)
1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 2 3 n 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2n 1 1 1 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0, 因此这个级数发散.
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注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2 n 2
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ),
则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数
也收敛 ;
也发散 .
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
这说明级数(1) 发散.
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(2) 因
1 1 n 3 3n 2 2n n(n 1)(n 2)
( n 1, 2 , )
1 1 n 1 1 Sn 3 2 2 k ( k 1 ) ( k 1 )( k 2 ) k 3 k 2 k k 1 k 1
矛盾! 所以假设不真 .
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例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(2)
解: (1) 令
3 2 n 3 n 2n n 1


1
;
则
e n1 ( n 1) ! ( n 1) n1
u n 1 un
故 从而
e n! nn
n
1 (n 1, 2 , )
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 1 1 1 考虑强级数 的部分和 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 (n 13 ) 2 n 22 n (n 1) n
由定理 2 可知
例4.判断级数的敛散性:
解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: un S n S n 1 则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .

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2) 若 p 1, 因为当 n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p p 1 n 1 x p 1 (n 1) n
Sn 1 S 2 n
1 2n 1 1 1 2 n 1 1 n 1 1 2 2 1 2 2 2 2
1 1 n 1 1
故 lim S n 3, (3) n
这说明原级数收敛, 其和为 3 .
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n 2 n 1
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2n 1