交错级数及其审敛法

n
三、小结 正 项 级 数
1. 若 Sn → S,则级数收敛;

任意项级数
审
2. 若 lim un 0, 则级数 un发散.
n
敛
法
3.按基本性质;
4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法
n 1
4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
n 1 n n 1


n
un ), un收敛.
n 1
n 1
若 un 收敛，则绝对收敛. n 1 结论：级数 un收敛, n 1 若 u 发散，则条件收敛. n n 1
例3
sin n 2 的收敛性. 判别级数 n n 1

为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级 数.
u n 收敛，则称级数 定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称 绝对收敛；如果 n 1
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
例2
n 1 判定级数 (1) n 1

n 2n
的敛散性.
解 这也是一个交错级数,且 如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2

x
由达朗贝尔比值判别法知，
(1)0 x 1时， un 收敛，即绝对收敛，从而收敛.
n 1
源自文库
1 ,易见级数是条件收敛； n n 1 n n x (3) x 1时，级数为 (1) ,级数是发散的； n n 1 (2) x 1时，级数为 (1)n
为什么？
NOTE：当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值
§9.3
任意项级数

一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理

如果交错级数满足条件:
n 1 n 1




级数条件收敛． 绝对收敛、条件收敛与收敛 之间有着什么样的关系呢？
定理2
若 un 收敛, 则 un收敛.
n 1 n 1


证明 令 vn 1 (un un ) (n 1, 2, ),
2
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
又

u (2v
判别法，判断出正项级数 u n 发散，
n 1

可以断言， un 也一定发散.
n 1

un1 事实上， lim 1, (lim n un 1), n u n n
lim un 0,从而 lim un 0 ,
un必发散.
n 1
n
解
sin n 1 2, 2 n n
1 而 2 收敛, n 1 n


n 1

sin n 收敛, 2 n
故由定理知原级数绝对收敛.
例4 解
xn (1) 判定 n n 1
n

( x 0)
级数的敛散性.
xn 记un (1) , 则 n un 1 xn lim lim n u n n n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1

的敛散性.
解 这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n n 1 1 (2) lim un lim 0, n n n