第一章数学思想方法概述2

比如，“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时， 人们就说极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过 程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就 讲“极限思想”了。为了将这两重意思合在一起说，于 是也称“极限思想方法”。
其实，数学思想和数学方法往往不加区别。 克莱因的巨著《古今数学思想》，其实说的都 是“古今数学方法”．只不过从数学史角度看， 人们更多注意那些数学大家们的思想贡献，文 化价值，较少从“方法”的有用去考虑，因而 才称之为数学思想。进入21世纪，人们更加关 注数学的思想内涵，数学的文化价值，因此也 就更多的称为数学思想方法。
二、数学方法
顾名思义，数学方法是人们从事数学活动时所使用的 方法．数学方法论则是对古往今来的数学方法进行概 括、分类、评价以及如何运用的论述．
徐利治院士认为：“数学方法论主要是研究和讨 论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发 现、发明与创新等法则的一门学问。”
数学方法论从内容上可分为宏观与微观两大类 ：
美籍匈牙利数学家波利亚（George Polya,18871985）先后出版了《怎样解题》、《数学的发现》和 《数学与猜想》，这些书被译成多国文字，成了世界范 围内的数学教育名著，开起数学思想方法研究的先河。
1972年，美国著名数学家、数学史家克莱因(Morris Kline,1908-1992)出版了一部长达1200页的巨著--《古今数学思想》，系统地叙述和总结了古今数学思 想发展史，至今仍是世界经典的数学思想方法教科书。
第二节 数学思想方法的教学
第四，中学数学中的解题技巧。由于它的内容是初等 数学，规律较为明确，又易于深入解剖，较为中学数学 教师所关注。例如因式分解中的十字相乘法，解二次方 程中的配方法，几何中的尺规作图法，解析几何中确定 直线的点斜式、两点式等等。
三、数学思想
数学思想，Fra Baidu bibliotek们常用它来泛指某些有重大意义的、 内容比较丰富、体系相当完整的数学成果．
比如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变 量思想等等．
另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。
比如函数思想、极限思想、积分思想、方程思想等等．
但从这些例子来说，“思想”都可换成“方法”而 一样适用．同一个数学成就，当用它去解决别的问题时， 就称之为方法。当评价它在数学体系中的自身价值和意 义时，称之为思想。将这两重意义合在一起，就称为 “数学思想方法”。
第二节 方法 ·数学方法 ·数学思想
一、方法 “方法”是一种元概念，没法精确定义，《辞海》
中也未收录“方法”辞条，它和“物质”、“集合” 等概念一样，不能逻辑的定义，只能概略地描述．
例如，把“方法”解释为人们在认识世界和改造世 界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称．这 里的“方式”、“手段”、“途径”等等，都和“方 法”大体上是“同义词”，并非“属”和“种差”式 的严但格是定，义人．们却熟知“方法”的含义，也从未有什么 大的争论．一个通俗的比喻是：要过河，必须采用造 桥和驾船等方法，“不解决桥和船的问题，过河就是 一句空话”．
20世纪90年代，北京大学、南京大学等一大批高等 院校数学系，相继开设《数学方法论》选修课，徐利 治《数学方法论选讲》作主要教学参考书。进入21世 纪，我国高等院校特别是师范院校几乎都开设了《数 学思想方法》必修课或选修课，包括中央电视大学数 学专业“专升本”，都把《数学思想方法》作必修课 (54学时)。我校是开设该门课程较早的院校，从1996 年起开设《数学思想方法》选修课，2000年起改为必 修课，至今已有9届学生学习该门课程，学生普遍对该 门课程持肯定和欢迎态度。
因此，方法是相对于某一目的而言．其次，方法是人 的一种活动，人在活动中，为达到某一目的，可以主观 能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行．这 便是方法的真实含义
人们对方法进行研究，这便产生了“方法论”， 或称“方法学”。
如果放在哲学层面来分析，方法论和世界观是统 一的．马克思主义哲学认为用世界观去指导认识世界 和改造世界，就是方法论．
在我国，徐利治院士倡导“数学方法论”研究，出版 了《数学方法论选讲》(1983年)专著，居功厥伟。同时， 姜伯驹院士、李大潜院士、张景中院士、刘应明院士等 的大力倡导，加之“中学数学解题”的社会需求，数学 思想方法的研究在数学教育界得到迅速普及，著作和论 文迭出。
自1993年《中学数学教学大纲》明确提出数学思想 方法是数学基础知识的重要组成部分以来，数学教学中 如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效地进 行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想， 已成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一个重要 课题。
第一章 数学思想方法概述
第一节 发展的主要历史沿革
19世纪末期，许多西方国家的科学技术迅猛发展， 对人才的需求发生了巨大变化，当时号称“世界银 行”、“世界工厂”的英国率先开始了对19世纪数 学教育的批判，其他一些资本主义国家也都积极地 响应，由此导致了20世纪初世界范围的数学教育改 革运动。改革的热点问题是如何培养学生思考问题 与分析问题的能力，提出中学数学教育的根本宗旨 是“教会年轻人思考”。
宏观数学方法论是研究“数学发展规律”，如数学 发展史，数学中的辩证法、数学中的美学方法、数学中 的思维方法等，因此可以看作哲学的一个分支;
微观数学方法论研究数学中的思想、方法以及法 则，属于学科方法论范畴。
微观的数学方法有以下四个层次：
第一，基本的和重大的数学思想方法。如模型化方 法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方 法等等，它们决定一个大的数学学科方向，构成数学 的重要基础。
第二，与一般科学方法相应的数学方法。如类比联 想、分析综合、归纳演绎等等。一般科学方法，在用于 数学时应该有它自己的特点。
第三，数学中的特有的方法。如数学等价、数学表 示、公理化、关系映射反演、数形转换等等方法。其中 “关系、映射、反演”方法是徐利治先生的一项创造性 的概括．这些方法主要在数学中产生和适用，当然也可 部分地迁移到其他科学。