第3章静定梁、平面刚架受力分析

外伸梁
二、计算梁指定截面内力的方法：
1。截面上内力符号的规定
轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的
N N
合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图 要注明正负号； 剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
Q
Q
合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的 为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩—截面上应力对截面形心的力矩
M
M
之和, 不规定正负号。弯矩图画在杆件受 拉一侧，不注符号。
X Y M
0 0 0
□ 通常利用截面法计算截面内力时，隔离体上的外力包括支座反 力，需先利用平衡条件求出支座反力
P 2Pa
1
a
P
先计算左截面的内力，可取截面1以左 隔离体进行分析。
1.5a P
1.5a
x 0
P
N1Z P Q1Z P 0 Q1Z P M1Z 1.5Pa
2
静
定
梁
2.1 单跨静定梁
单跨梁的内力是计算静定拱和刚架 力的基础，本节复习材料力学中梁内 力的计算方法，对梁内力图的作法要 进一步熟练和加深。
一、 梁的组成和受力性能
在横向外力作用下产生平面弯曲的直杆，叫直梁，简称梁
梁的主要内力是弯矩，主要变形是弯曲变形。梁是受弯杆件
常用的单跨梁：
悬臂梁
简支梁
[例题] 试绘制图示斜梁内力图。
（1）求支座反力：
q D VB B
解：
C A HA l/3 VA l/3 α
X 0 M 0 M 0
B A
HA 0 ql VA () 6 ql VB () 6
l/3
校核： Y
qj qj ql 0 6 6 3
第3 章
（2）AC段受力图： MC C HAcosα HA VAsinα VAcosα VA HAcosα HA VAsinα VA HAsinα α QC NC （3）AD段受力图：
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸；
力作用段M、Q图为直线
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
4。叠加法做弯矩图
MA q MB
假定：在外荷载作用下，结构 构件材料均处于线弹性阶段。
YA
YB
M M

MA
MB
MA
MB
当梁上有多个荷载作用时，任 意截面的弯矩是各荷载单独作 用时的弯矩的代数和，以图形 表示即将各荷载单独作用时的 弯矩图竖标相叠加。
F 0 F 0 M 0
n t c
NC 105sin 74.24KN QC 105con 74.24KN MC 1051.5 157.5KN.m
若求其它截面内力值，可按同样方法进行。
2.2 多跨静定梁
一、多跨静定梁的基本形式
型式1：以两刚片 规则组成
型式2：以二元体 规则组成
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m
P=8kN q=4 kN/m
R A 17 kN
r
RB 7kN
取AC部分为隔离体，可计算得： M C 17 1 17kN
取GB部分为隔离体，可计算得： M G 7 1 7 kN
A
17
C
MC
l
QC 17 M C 17
分的支座传给地基，因此可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变
形。 因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载
其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个 如图所示梁， 几何不变部分，称它为基本部分； 而 CE 部分就需要依靠基本部分AC 才能保 证它的几何不变性，相对于 AC 部分来说就称它为附属部分。
A C E A C C E
E
A
（a）
（b）
（c）
从受力和变形方面看：基本部分上的荷载通过支座直接传于地基，不 向它支持的的附属部分传递力，因此仅能在其自身上产生内力和弹性 变形；而附属部分上的荷载要先传给支持它的基本部分，通过基本部
解：
X 0 M 0 M 0
B A
HA 0 V A 105KN () VB 115KN ()
（2）求C截面内力： 校核： Y 105115100 20 6 0 将x=1.5m 代入曲梁轴线方程

4f 4 4 y 2 (l x) x 2 (12 1.5) 1.5 1.75m l 12
P(x)
Q+dQ N+dN M+dM
dx
dN p(x) dx dQ q(x) dx dM Q dx d 2M q(x) 2 dx
（1）在无荷区段q(x)＝０，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。 （2）在q(x)＝常量段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。其凹下去的曲 线象锅底一样兜住q(x)的箭头。 （3）集中力作用点两侧，剪力值有突变、弯矩图形成尖点；集中力偶作用点两 侧，弯矩值突变、剪力值无变化。
G
m=16kN.m B
8
7
Q图（kN）
第3 章 补充题: 试绘制图示外伸梁的内力图。 解：
（一）求支座反力：
HA=0
HA 0 X 0 VA 130KN() M 0 VB 310KN() M 0 校核： Y 130 310 160 40 40 6 0
工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法：
（1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx qds q q cos
第3 章
（1）计算支座反力
2m
60
3m
VB=33.75KN
VA=26.25kN
32.5 2.5 25
X 0: M 0 : M 0 :
A B
VB 33.75kN VA 26.25kN
HA 0
校核：
20 26.2 5
M (KN.m) 20
Y 26.25 33.75 10 4 20 0
Q1
U
M1 0
U M1 2 Pa P 1.5a 0
M 1U 0.5Pa
3。梁的内力图 ---- 剪力图和弯矩图
在已知荷载作用下表示结构杆件各截面的内力沿杆长变 化规律的图形，叫杆件的内力图。 在横向荷载作用下的 直梁，有剪力图和弯矩图两种内力图。
◆ 梁内力图的基本作法：用 x 表示截面位置，建立剪力和弯矩
B A
VA=130KN
VB=310KN
（二）绘内力图：
H A
=0
V
A =130KN
X 0 Y 0 M 0
C
NC 0 QC 130KN M C 130KN .M
第3 章 例题: 试绘制图示外伸梁的内力图。
解：
10KN/m A HA=0 4m C 2m D B E 30KN.m 20KN
剪力方程：Q = q x
P
Q图
qL
Q图
弯矩方程：M = P x
1 2 弯矩方程：M = —— q x 2
PL
M图
1 2 ——q x M图 2
梁内力图变化规律：
q
M
M
Q
x
Q
dQ q dx
dM Q dx
第3 章
弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系 P
x dx
q(x) Q N M
p(x)
q(x)
dy tan ; dx
tan 1 ( tan )
（3）角以由x轴的正方向逆时针转到切线方向时为正，反时针方向为负。
例题：试求图示曲梁C截面的内力值。已知曲梁轴线方程为：
4f y 2 (l x) x l
VB=115kN
VB=105kN VB=115kN
第3 章
解：（1）求支座反力：
弯矩图上任意两点的连线到弯矩 图曲线间的竖距，等于以这段梁 为简支梁时的弯矩 M 的数值
0
+
M
M

M M M
4kN· m
4kN
8kN· m
2kN/m
3m
3m
3m
3m
（1）集中荷载作用下
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m 2kN· m
6kN· m
（2）集中力偶作用下
4kN·来自百度文库m 2kN· m
矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的
直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。 例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析] 该梁为简支梁，弯矩控制截 面为：C、D、F、G
叠加法求作弯矩图的关键是
计算控制截面位置的弯矩值
解： （1）先计算支座反力 （2）求控制截面弯矩值
ql2/3
ql2sinα/3 C HAsinα α
ql2cosα/3 NC D QC MC
VAcosα
第3 章
（4）绘制斜梁内力图如下：
第3 章
5、曲梁的内力计算
（1）斜梁的倾角为常数，而曲梁各截面的的倾角是变量。 （2）计算曲梁的倾角时，可先写出曲梁的轴线方程y=f(x),而后对x求一 阶导数，进而确定倾角：
（2）作弯矩图 选择A、C、D、B、E为控制 截面，计算出其弯矩值。
13.75 Q (KN)
（3）作剪力图 选择A、C、D、B、E为控制截面，计算出其剪力值。
第3 章
4、斜梁的内力计算
计算斜梁或斜杆的方法仍然是截面法。与水平杆相比，不同点在于斜 梁或斜杆的轴线是倾斜的。计算其轴力和剪力时，应将各力分别向截面的 法向、切向投影。
几种典型弯矩图和剪力图
P
m
q
l /2
l /2
l /2
l /2
ql 2
l
P 2
P 2 m 2
m l
ql 2
Pl 4
2、集中力矩作用点
m 2
ql 2 8
1、集中荷载作用点
M图有突变，力矩为
顺时针向下突变； Q 图没有变化。 另无外
M图有一尖角，荷载向
下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
y0 M1 0
M1Z P 1.5a 0
M1 P 1.5a
Z
计算右截面的内力,也可取截面1以左隔
N1
Z
离体进行分析。在这个隔离体上有集
P
Q1 2Pa P M1
U
Z
中力矩 2Pa，三个未知力为：
x 0
N1
U
U N1 P U Q1 P0 U Q1 P
P
y0
1.5a
l
QC
m=16kN.m A B C D E F G 1m 1m 2m 2m 1m 1m A C D 13 E F G 7 15 26 30 8 M图（kN.m） B
P=8kN q=4 kN/m
A
P=8kN D 4
MG
r
17 B
7
QG 7 MGr 7
G
23
QG
17 9 A + C D E F G _ B
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m 4kN· m
4kN· m
2kN· m
叠加法作弯矩图的方法：
（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的
始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值； （2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯
随截面位置x而变化规律的方程，Q=Q（x）和 M=M（x），再 根据剪力和弯矩方程绘出剪力和弯矩图
内力图以杆轴为坐标，沿杆轴方向垂直于杆轴作出：
□ 剪力图：正剪力画在杆轴上方，负剪力画在杆轴下方
□ 弯矩图：无正负之分，画在杆件受拉一侧
p
M=PL
q
2 M= q L
X
L
X
V=P
L
V= q L
剪力方程：Q = - P
第3 章
单跨静定梁
一、静定结构的约束反力及内力完全可由静力平衡条件唯一确定。
二、静定结构的内力计算是静定结构位移计算及超静定结构内力和位移计 算的基础。 三、静定结构内力计算的基本方法是取隔离体、列平衡方程。
2。用截面法求指定截面内力 梁某一截面的内力与截面一侧的外力有平衡关系，故可用截面 一侧的外力求出截面内力
tan yx 1.5
450
4f 4 4 (l 2 x) x 1.5 2 (12 2 1.5) 1 2 l 12 2 sin con 0.707 2
第3 章 （3）研究AC段，列平衡方程求C截面内力：
t
n
C MC 0KN
NC
A
QC
105KN
二、多跨静定梁的基本部分和附属部分
由多跨静定梁的几何组成可知，多跨静定梁中有的部分直接与地组成几何不 变体系，有的部分则靠其他部分的支持才成为几何不变体系，此两部分的受 力性能是不同的，前者为基本部分，后者为附属部分
第3 章
二、多跨静定梁
（a ） A B （b） A B （c） C D C D
1、基本部分：不依靠其它部分而能保持其几何不变性。 2、附属部分：必须依靠基本部分，才能保持其几何不变性。 3、计算方法：先计算附属部分，再计算基本部分。将附属部分的支座反力， 反其指向加于基本部分进行计算。