求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现

(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法

抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。

现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式

8-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 () p h O 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。 通常情形，构造高阶格式需要更多的点。例如：两点差分近似 ()()() f x h f x f x h +-￠? 只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似 ()()()() 2432f x h f x h f x f x h -+++-￠? 精度越高，需要的点就更多。对于中心差分近似也有类似的结果。 但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。 例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设 0a > 。 0du au dx += （01x < ） ， ()0u =α 取 M 个网格，空间步长 1 h M = ，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 () j j u u x ? 。

因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有 1 0j j j u u au h --+= （1,2,3,,j M =L ） 实际的计算方案为 0u =α ， 11 1j j u u ha -= + （1,2,3,,j M =L ） 上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 12 340j j j j u u u au h ---++= （2,3,,j M =L ） 这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。而初始条件只提供了 0u =α 。因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。 现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 j j du u dx ￠? ，则差分格式就可写成 0j j u au ￠+= 我们刚才所做的不过是用不同的差分来代替 j u ￠ 。因此，我们遇到的困难就是：用高阶差分代替 j u ￠ ，就会涉及更多的点。而我们的问题也就是：有没有不涉及更多点的高阶差分？

变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.

Poisson方程九点差分格式_米瑞琪

数值实验报告I 实验名称Poisson方程九点差分格式实验时间2016年 4 月 15 日姓名米瑞琪班级信息1303学号04成绩 一、实验目的，内容 1、理解Poisson方程九点差分格式的构造原理； 2、理解因为网格点的不同排序方式造成的系数矩阵格式的差异； 3、学会利用matlab的spdiags(),kron()函数生成系数矩阵； 二、算法描述 针对一个Poisson方程问题： 在Poisson方程五点差分格式的基础上，采用Taylor展开分析五点差分算子的截断误差，可以得到： 为了提高算子截断误差的精度，在(1)式中配凑出了差分算子的形式，将原Poisson方程代入（1）式有： 考虑，有：

将（3）代回（2）可得 得到Poisson方程的九点差分格式： 在计算机上实现（4）式，需要在五点差分格式 的基础上在等式两端分别增加一部分，将等式左侧新增的部分写成紧凑格式，有： 对于该矩阵，可以看成是两个矩阵的组合：

以及 则生成这两个矩阵可以采用Kroncker生成，方法类似于五点差分格式。 对于右端添加的关于f(x,y)的二阶导数，可以采用中心差分格式进行近似代替，即： 写成相应的紧凑格式有：

该式中的矩阵又可以分解为两个矩阵的和：

%计算误差 u_real=@(x,y)exp(pi*(x+y))*sin(pi*x).*sin(pi*y); for i=1:N1-1 u_m((i-1)*(N2-1)+1:i*(N2-1))=u_real(x(i),y); end u_v=u_m'; err_d=max(abs(u_d-u_v)); sol=reshape(u_d,N2-1,N1-1); mesh(X,Y,sol) 四. 数值结果 针对课本P93给出的问题，分别采用步长，将计算出的误差列表如下： 步长五点差分格式误差九点差分格式误差 可见采用九点差分格式可以进一步缩小误差，达到更高阶的精度。 五. 计算中出现的问题，解决方法及体会 在生成九点差分格式的时候，等号右端涉及到了对f的二阶偏导，我最初利用符号函数定义了f,随后求出其二阶偏导（仍然是符号函数）之后带入网格点，求f二阶偏导的精确解，但是代入过程相当繁琐，运行速度非常慢，最终我改变策略，选用f关于x,y的二阶中心差分格式替代精确值，最终得到了相对满意的结果。 教 师 评 语 指导教师：年月日

10-高阶紧致格式

§10. 高阶紧致差分格式 10.1 高阶差分 先考虑导数的差分近似。若某一差分近似的精度是 p 阶的，则近似的误差就是 () p h O 。要想进一步提高精度，通常有两种途径：减小 h （h -version ）或是提高 p （p -version ）。但由于计算机资源的限制，h 不可能无限地减小，因此在需要高精度流场计算的情形（如，粘性边界层、湍流等），就要考虑采用高阶格式。 构造高阶格式需要用到导数的高阶差分近似。通常情形，这需要更多的点。例如：两点差分近似 ()()() f x h f x f x h +-￠? 只有一阶精度。而使用三个点，就可以构造出二阶近似 ()()()() 2432f x h f x h f x f x h -+++-￠? 精度越高，需要的点就更多。对于导数的中心差分近似，也有类似的结果。 但是这种高阶近似用在差分格式中，除了计算公式更加复杂，计算量增加之外，还会造成其他困难。 例1：以一个简单的常微分方程初值问题为例。设 0a > 。 0du au dx += （01x < ） ， ()0u =α

取 M 个网格，空间步长 1 h M = ，网格点记作 j x jh =（0,1,2,,j M =L ），网格点上的近似解记作 () j j u u x ? 。 因 0a > ，导数采用向后差分近似，就有 1 0j j j u u au h --+= （1,2,3,,j M =L ） 实际的计算方案为 0u =α ， 11 1j j u u ha -= + （1,2,3,,j M =L ） 上述格式用到两个点，但只有一阶精度。如果采用二阶差分近似，则成为 12 340j j j j u u u au h ---++= （2,3,,j M =L ） 这个格式具有二阶精度。可是由于涉及三个点，所以只能从 2j = 开始计算。而初始条件只提供了 0u =α 。因此 1u 的计算就需要补充另外的等式。对于更为复杂的流动控制方程以及更复杂、精度更高的数值格式，这种问题就更加严重。 现在我们从另外一个角度来考察上述问题。将导数的近似值记作 j j du u dx ￠? ，则差分格式就可写成 0j j u au ￠+=

对流扩散方程有限差分方法.

对流扩散方程有限差分方法 求解对流扩散方程的差分格式有很多种，在本节中将介绍以下3种有限差分格式：中心差分格式、Samarskii 格式、Crank-Nicolson 型隐式差分格式。 3.1 中心差分格式 时间导数用向前差商、空间导数用中心差商来逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式]6[ 2 1 11 1122h u u u v h u u a u u n j n j n j n j n j n j n j -+-+++-=-+-τ （3） 若令 h a τ λ=，2h v τ μ=，则（3）式可改写为 )2()(2 111111 n j n j n j n j n j n j n j u u u u u u u -+-+++-+--=μλ （4） 从上式我们看到，在新的时间层1+n 上只包含了一个未知量1 +n j u ，它可以由时间层n 上的值n j u 1-，n j u ，n j u 1+直接计算出来。因此，中心差分格式是求解对 流扩散方程的显示格式。 假定),(t x u 是定解问题的充分光滑的解，将1 +n j u ，n j u 1+，n j u 1-分别在),(n j t x 处 进行Taylor 展开： )(),(),(211ττO t u t x u t x u u n j n j n j n j +??? ?????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????+==++ )(2),(),(3 22211 h O x u h x u h t x u t x u u n j n j n j n j n j +????????+????????-==-- 代入(4)式，有 2 111 1122),(h u u u v h u u a u u t x T n j n j n j n j n j n j n j n j -+-+++---+-= τ )()()(2222 h O v x u v h O a x u a O t u n j n j n j ?-????????-?+????????++????????=τ )()()(222h O v a O x u v x u a t u n j n j n j ?-++????????-??? ?????+????????=τ

几类二阶变系数常微分方程解法论文

几类二阶变系数常微分方程解法论文

二阶变系数常微分方程几种解法的探讨 胡博（111114109） （湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000） 摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。 关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解 To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficient Zhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000) Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there

利用中心差分格式数值求解导数

利用中心差分格式数值求解导数 目录 一、问题描述 (2) 二、格式离散 (2) 二阶导数中心差格式离散 (2) 追赶法求解线性方程组简述 (3) 计算流程图 (5) 三、程序中主要符号和数组意义 (5) 四、计算结果与讨论 (6) 五、源程序 (9)

一、问题描述 利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解 ()x dx y d 2sin 22= ()10≤≤x 1 /,0/10====x x y y 步长分别取 0001.0,001.0,01.0, 05.0=?x 二、格式离散 将x 轴上[0,1]之间的线段按上述步长，等步长的离散为n 个小段，包括端点，共n+1个网格节点，示意图如下： 线段上边的数字表示x 轴上的坐标值，线段下边的数字表示节点编号，从0到n 编号。 二阶导数中心差格式离散 211222)2sin(x y y y dx y d x i i i ?+-==+- 整理为线性方程形式 )2sin(2211x x y y y i i i ?=+-+- 其中，x ? 为空间离散步长；i=1,2，……，n-1 包括边界条件的线性方程组如下：

边界条件 边界条件0 ) *)1(*2sin(2......... ..........) **2sin(2..................) *1*2sin(20 21221122100=?-?=+-??=+-??=+-=--+-n n n n i i i y x n x y y y x i x y y y x x y y y y 改写成矩阵形式： f Ay = 其中，?????? ????????????????????----=1012112112112101 A ，??????????????????????=-n n i y y y y y y 110 ，??????????????????????=-n n i f f f f f f 110 系数矩阵A 中仅三对角线上的数值不全为0，其余位置上的数值全为0，是 典型的对角占优的三对角矩阵，列向量f 中，)2sin(2x i x f i ??=，且10==n f f ，作为边界条件。 追赶法求解线性方程组简述 ????? ?????????????????=??????????????????????????----=---n n n n n i i i b a c b a c b a c b a c b A 1111110 01012112112112101

变系数_非线性微分方程的求解

变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl

Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl

Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m

变系数(2+1)维Broer-Kaup方程的新精确解P

第21卷第1期原子与分子物理学报 V o l .21，№.1 2004年1月 J O U R N A LO FA T O M I CA N D M O L E C U L A RP H Y S I C S J a n .，2004 文章编号：1000-0364（2004）01-0133-06 变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的新精确解 ? 李德生 （沈阳工业大学理学院，沈阳110023 ）摘要：通过一个简单的变换，变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程被简化为人们熟知的变系数B u r g e r s 方程。利用近年来广泛使用的齐次平衡法和t a n h -函数法，获得了变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的一些新的精确解。 关键词：变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程；齐次平衡法；t a n h -函数法；精确解中图分类号：O 175.2 文献标识码：A S o L e n e we x a c t s o l u t i o n s t o t h e （2+1）-d i L e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s L I D e -S h e n g （S c i e n c e S c h o o l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y ，S h e n y a n g 1 10023，P .R .C h i n a ）A b s t r a c t ：T h e （2+1）-d i m e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a r e r e d u c e d t o t h e f a m i l i a r B u r g e r s e q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s b y a s i m p l e t r a n s f o r m a t i o n .S o m e n e we x a c t s o l u t i o n s o f t h e （2+1）-d i m e n s i o n a l B r o e r -K a u p e q u a t i o nw i t hv a r i a b l e c o e f f i c i e n t s a r eo b t a i n e db y t h eu s eo f t h eh o m o g e n e o u s m e t h o d a n d t h e t a n h -f u n c t i o nm e t h o dw h i c h a r ew i d e l y u s e d t e c h n i q u e s i n r e c e n t y e a r s .K e y w o r d s ：T h e （2+1）-d i m e n s i o n a lB r o e r -K a u p e q u a t i o n w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ；T h eh o m o g e n e o u s m e t h o d ；T a n h -f u n c t i o nm e t h o d ；E x a c t s o l u t i o n s 1引言 本文再次考虑变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的精确求解问题 H y t E α（t ）［H x x y -2（H H x ）y -2G x x ］G 1E α（t ）［-G x x -2（G H ）x < ╰╰］ （1 ）对于该方程的研究人们已获得了大量的结果。在文献［1~2］中，利用改进的齐次平衡法，作者深入细致地 研究了常系数方程的局域相干结构，给出了一些新的具有特殊形式的精确解，如多D r o m i o n 解，多L u m p 解，振荡型D r o m i o n 解，圆锥曲线孤子解，运动和静止呼吸子解和似瞬子解等。文献［3］进一步考虑了变系数（2+1）维B r o e r -K a u p 方程的精确求解问题，利用王明亮于90年代中期提出的齐次平衡法［4~5］ ，导出了该方程的B T ， 并由此得到了类似于文献［1~2］中的局域相干结构和一些新的精确解。?收稿日期：2003-06-25 基金项目：国家“973“项目（批准号：1998030600）；国家自然科学基金（批准号：10072013 ）资助的课题。作者简介：李德生（1963-），男。吉林抚松县人，沈阳工业大学理学院副教授，大连理工大学在读博士生，主要从事孤立子理论与数学机械化研究。

一阶中心差分格式

中心差分格式的程序实现 数学10-1班 余帆 10072121 1、考虑问题 考虑二阶常微分方程边值问题： f qu dx u d Lu =+-=22 （1） βα==)(,)(b u a u 其中q ，f 为[a,b]上的连续函数，βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式 将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+= , h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，i x 为网格节点，h 为步长。 差分格式为： . ,,1,,2,1202 1 1βα==-???==++--=-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差 将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344 2222 1 1h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3 44 2h dx x u d h u R i i O +? ?????-=

4、数值例子 x x q e x u x sin 1)()(+== x e x f x sin )(= 其中[]1 ,0∈x 5、求解 由f qu dx u d Lu =+-=22， x e x f x sin )(= x x q e x u x sin 1)()(+== 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为 ????????????? ?+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ????????????-121N u u u = ?????? ? ????? ??++-βα 12 2 212N f h f h f h 系数矩阵A=??? ? ? ? ? ??? ? ???+--+--+-212 22 12112112h q h q h q N ，我们可以利用高斯消去 法求得u （x ）的数值解。 6、实验结果 程序输出结果： 取N=10； 逼近解u1 真解u 1.10521961652189 1.10517091807565 1.22149147782632 1.22140275816017

1、变系数线性微分方程的求解

本科毕业论文 题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院 专业：信息与计算科学 班级：信计081 姓名：张倩 学号：2008121191 指导教师：庞常词 完成日期：2012年6月1日

目录 摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件 结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24)

摘要 微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子

S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation

偏微分中心差分格式实验报告(含matlab程序)

二阶常微分方程的中心差分求解 学校:中国石油大学（华东）理学院 姓名：张道德 一、 实验目的 1、 构造二阶常微分边值问题: 22,(),(), d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ?=-+=<

11122 222222333222122112 100121012010012 00N N N u f q h h u f q h h h u f q h h h q u f h h ---???? ??+-???? ??? ???? ???????-+-? ?????? ???????????=-+? ?????? ???????????-???? ????????-+????? ?? ????? 可以看出系数矩阵为三对角矩阵，而对于系数矩阵为三对角矩阵的方程组可以用“追赶法”求解，则可以得出二阶常微分方程问题的数值解。 四、 举例求解 我们选取的二阶常微分方程边值问题为： 2 22242,01 (0)1,(1), x d u Lu x u e x dx u u e ?=-+=-<

中心差分格式

中心差分格式 1、考虑问题 考虑二阶常微分方程边值问题： f qu dx u d Lu =+-=22 （1） βα==)(,)(b u a u 其中q ，f 为[a,b]上的连续函数，βα,为常数。 2、网格剖分与差分格式 将区间[a,b]分成N 等分,分点为 N i ih a x i ,,1,0,???=+=, h=(b-a)/N,于是我们得到区间I=[a,b]的网格剖分，i x 为网格节点，h 为步 长。 差分格式为： .,,1,,2,120211βα==-???==++-- =-+N i i i i i i i h u u N i f u q h u u u u L 3、截断误差 将方程（1）在节点离散化，由泰勒公式展开得 )()(12)()()(2)(344222211h dx x u d h dx x u d h x u x u x u i i i i i O +??????+??????=+--+ 所以截断误差为 )()(12)(3442h dx x u d h u R i i O +??????-= 4、数值例子

x x q e x u x sin 1)()(+== 其中[]1,0∈x 5、求解 由f qu dx u d Lu =+-=22，且已知 x x q e x u x sin 1)()(+== 可得x e x f x sin )(= 将向量式的差分格式用矩阵形式表示出来，得到矩阵形式为 ??????????????+--+--+-21222 1211 21 12h q h q h q N ????????????-121N u u u =??????????????++-βα122212N f h f h f h 系数矩阵A=?????? ????????+--+--+-212 221211211 2h q h q h q N ，我们求出矩阵A 极其逆便可求得u （x ）的数值解。 6、参考文献 《偏微分方程数值解法》李荣华 高等教育出版社 《科学计算中的有限差分法》 《MATLAB 程序设计教程》刘卫国 中国水利水电出版社

阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●数法+题型和题法系统讲座

二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座 一、二阶变系数微分方程常数变易法 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+， 求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y 解答方法：令()() ()()y x p x y q x y f x '''++= 【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。 解：22111 x y xy y x y y y x x x ''''''-+=?- += 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111 y y y x x x '''-+=，求得 ()1212212ln 1 1ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1 ln ln 2 y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx x x x x x x x x c x c x x x x =++? ? =+-+++=++ ? ? 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ， 求()()()( )y x p x y q x y f x '''++=的通解y 解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。 【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。 【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。 解：()()1; 2y u x y u x x y xu u y u xu '''''''==?=+=+ () 21 3 2 2 * 3 120 ; u u x cx c y ux x cx c x y x y x ''=?=++?==++==

有限差分法

有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛

对流占优扩散方程的差分法

摘要 对流占优扩散方程主要包含对流项和扩散项，其中对流项系数远远大于扩散项系数。在数值计算中，方程中的扩散项一般采用具有优良物理特性和计算精度的中心差分离散格式，而关于对流项的处理就稍显困难，若处理不当便会产生数值震荡或数值弥散，给数值计算带来困难。因此，需要对求解的方法做出改进。 本文主要讨论迎风差分格式，迎风加权差分格式，以及特征有限差分格式。三种方法都能够消除数值震荡，但各种方法间又各有差异。迎风格式计算量较小，能够消除数值震荡，但是数值解的精度不高。特征有限差分格式中含有多个未知的点，计算量特别大，从误差分析中可以看出，其数值解拥有较高的精度。迎风加权差分格式，是在迎风格式的基础上改进得到的，精度较高，其数值解不仅受到时间和空间步长的影响，还受到不同参数的影响。可以选取不同的参数是迎风加权格式的一个优点。 关键词：对流占优扩散方程；迎风格式；迎风加权差分格式；特征有限差分法

Abstract Convection-dominated diffusion problems mainly contain convection and diffusion terms, which the convection coefficient is much larger than the diffusion coefficient. In the numerical calculation, diffusion terms in the equation commonly used central difference discretization scheme with excellent physical properties and calculation accuracy. However, the method of the convective terms slightly difficult. It would produce numerical shock or numerical dispersion if not handled properly. Therefore, we need to make some improvements. This article focuses on upwind difference scheme, upstream weighted scheme, as well as characteristic finite difference method. The numerical oscillation can be eliminated by all three methods, but there are differences between each method. Upwind difference scheme has smaller amount of calculation, to eliminate the numerical oscillation, but the accuracy of numerical solution is not as good as we expect. Characteristic finite difference method which contains a number of unknown point, with a large amount of calculation, and we can see from the error analysis, the accuracy of numerical solution is much higher. Upstream weighted scheme, which improved based on upwind scheme, is not only influenced by the time and space step, but also affected by different parameter of . To choose a different parameter of is also an advantage of upstream weighted scheme. Key Words: Convection-dominated diffusion problem; Upwind difference scheme; Upstream weighted scheme; Characteristic finite difference method