1 矩阵及其运算单位单位

§1 矩阵及其运算
教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。

能熟练正确地进行矩阵的计算。

知识要点：
一、矩阵的基本概念
矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母
表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其
元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩
阵中的位置。

比如，或表示一个矩阵，
下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。

对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对
角线。

若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称
为单位矩阵，记为，即：。

如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，
是一个阶下三角矩阵，而则是
一个阶上三角矩阵。

今后我们用表示数域上的矩阵构成的
集合，而用或者表示数域上的阶方阵构成的集合。

二、矩阵的运算
1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的
行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型
的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：。

给定矩阵，我们定义其负矩阵为：。

这样我们可以定
义同型矩阵的减法为：。

由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：
（ 1）交换律：；
（ 2）结合律：；
（ 3）存在零元：；
（ 4）存在负元：。

2 、数与矩阵的乘法：
设为一个数，，则定义与的乘积仍为
中的一个矩阵，中的元素就是用数乘中对应的元素的道德，
即。

由定义可知：。

容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律：
（1 ）；
（2 ）；
（3 ）；
（4 ）。

3 、矩阵的乘法：
设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵
（注意：距阵德列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即，其中，并且。

据真的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：
（ 1）结合律：；
（ 2）左分配律：；
（ 3）右分配律：；
（ 4）数与矩阵乘法的结合律：；
（ 5）单位元的存在性：。

若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：
由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，。

注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：
（1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；
倘使都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。

正是由于这个
原因，一般来讲，，。

（2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者
（请读者自己举反例）。

（3 ）消去律部成立：如果并且，未必有。

4 、矩阵的转置：
定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个
矩阵，并用表示的转置，即：。

矩阵的转置运算满足下列运算律：
（1 ）；
（2 ）；
（3 ）；
（4 ）。

5、对称矩阵：
定义1.11 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条
件：，则称为反对称矩阵。

若设，则为对称矩阵，当
且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当
对任意的成立。

从而反对称局针对角线上的元素必为零。

对称矩阵具有如下性质：
（1 ）对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；
（2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；
（3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积
必为对称矩阵，即。

思考题：
1 、设为第个分量为，而其余分量全为零的维列向量，
为第个分量为，而其余分量全为零的维列向量，为
矩阵，试计算；
2 、设为阶方阵，并且对任意有，你能得出什么结论？。