高等数学A第6章多元函数微分学9-10(多元函数的极值 条件极值—拉格朗日乘数法则).

函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2.极值存在的必要条件和充分条件 定理1（极值存在的必要条件） 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )具有偏导数, 且在( x0 , y0 )取得 极值,则fx ( x0 , y0 ) 0, fy ( x0 , y0 ) 0. 证 设z f ( x, y)在( x0 , y0 )取得极小值,
Q(h, k)
1 A
[(
Ah
2
2ABhk
B2k 2 )
( AC
B2)k2]
1A[(Ah Bk)2 ) ( AC B2 ) k 2 ]
可见 , 当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而△z＞0 , 因此 f (x, y)
在点 (x0, y0 ) 有极小值 ;
当A 0 时,Q(h, k) 0, 从而 △z＜0, 因此 f (x, y) 在点
则称z f ( x, y)在P0 ( x0 , y0 )有极大值 或极小值f ( x0, y0 ).
极大值与极小值统称为极值. P0 ( x0 , y0 )为极值点.
若引进点函数, 则 当f (P ) f ( P0 )时, f (P0 )为极大值; 当f ( P ) f ( P0 )时, f ( P0 )为极小值.
＋
所以， f(x,y) 没有极值.
－
二、多元函数的最值问题
1.多元函数的最值问题
(1) 闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值: 将函数 f (x,y) 在D内的所有驻点处的函数值与在D 的边界上的函数值相互比较，其中最大的就是最 大值，最小的就是最小值.
(2) 实际问题则根据问题的实际意义来判断, 若问题 存在最值，且只有唯一一个驻点，则该驻点必为 所求的最值点.
Q(h, k) Ah2 2Bhk Ck 2 2Bhk
对点 (x0 h, y0 k) 当h, k 同号时, Q(h, k) 0, 从而z 0,
当h, k 异号时, Q(h, k) 0, 从而z 0,
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
因此 f (x, y) 在点 (x0, y0 )无极值 ;
6.3.4 条件极值— Lagrange乘数法则
小结 思考题
条件极值
Lagrange乘数法 Lagrange乘数法习例8-12
一、多元函数的极值
1.二元函数极值的定义
设z f ( x, y)在U (P0 ( x0 , y0 ), )内有定义, 对于一切
异于P0的点P( x, y),若都适合不等式 f ( x, y) f ( x0, y0 ) (或f ( x, y) f ( x0, y0 ))
因此
为极小值.
例4. 设 f(x , y)=2x2-3xy2+y 4, 求它的极值
解： 先求
fy
fx 4x 2 y(2 y2
y2 0 3x)
0
M(0,0).
有 A= fxx(0 ,0)= 4, B= fxy (0 ,0)= 0,
C= fyy(0 ,0)= 0,
B2 AC 0,
(2) z f ( x, y)在极值点处的切平面为z z0 , 平行于xoy面.
(3) 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 )具有 偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
A 0时有极大值, A 0时有极小值; (2)当B2 AC 0时,没有极值;
(3)当AC B2 0时,为可能极值,需另作讨论.
证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意
f x (x0 , y0 ) 0 , f y (x0 , y0 ) 0
则有 z f (x0 h, y0 k) f (x0 , y0 )
2x 2zzx 2 4zx 0 (1) 2 y 2zz y 2 4zy 0 (2)
zx
1 z
x, 2
zy
1 z
y 2
令zx 0, zy 0得x 1, y 1, 从而z1 6, z2 2.
下面考虑函数z z( x, y)在(1,1,6)及(1,1,2) 的邻域内取值情况
令F ( x, y, z) x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10
因此,不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 .
3. 求函数极值的步骤与习例
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点. 第二步 求fxx ( x, y), fxy( x, y), fyy ( x, y).
(x0, y0 ) 有极大值 ;
(2) 当 B2 － AC >0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0,
则 Q(h, k) 1A[(Ah Bk)2 ) ( AC B2 )k 2 ] 当(x, y) 沿直线 A(x x0 ) B( y y0 ) 0 接近(x0, y0 )
时, 有 Ah Bk 0, 故 Q(h, k) 与 A 异号;
例4 求z xy 1 x2 y2在x2 y2 1, x 0, y 0内的最大值.
解
令
zx
y
1 x2 y2 xy
x 0 1 x2 y2
1 2
[
f
xx
( x0
h,
y0
k)
h2
2 f x y (x0 h , y0 k) hk
f y y (x0 h , y0 k) k 2 ]
由于 f (x , y) 的二阶偏导数在点(x0 , y0 ) 连续, 所以
f xx (x0 h, y0 k) A
f x y (x0 h, y0 k) B
则Fz 2z 4 由于Fz (1,1,6) 8 0, Fz (1,1,2) 8 0,
从而确定了z f1( x, y), z f2( x, y) 由于2x 2zzx 2 4zx 0 (1)
2 y 2zz y 2 4zy 0 (2)
(1)对x求偏导得1 zx2 zzxx 2zxx 0
y
－+
+ (x0, y0 )
(3) 当AC－B2 ＝0 时,
o
x
若 A≠0,
则
Q(h, k)
1 A
(
Ah
Bk)2
若 A＝0 , 则 B＝0 , Q(h, k) Ck 2
Q(h, k)可能
为零或非零
此时
z
1 2
Q(h,
k)
o(
2
)
因为 Q(h, k) 0 时, z的正负号由 o( 2 ) 确定,
第三步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第四步 定出 B2 AC 的符号，再判定是否是极值.
例1 求f ( x, y) x3 y3 3 y2 3x2 1的极值. 2
例2 求由方程x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 所确定的函数z z( x, y)的极值.
极大值为z(1,1) 6, 极小值为z(1,1) 2.
解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 并且在 (0,0) 都有
在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 , 因此 z(0,0) 不是极值.
z
o xy
0 当 x2 y2 0 时, z ( x2 y2 )2 z (0,0) 0
在(2,1)处A 6 0, B 0, C 3,
B2 AC 18 0无极值.
极大值为f (0,1) 3 , 2
极小值为f (2,0) 3.
例2 求由方程x2 y2 z2 2x 2 y 4z 10 0 所确定的函数z z( x, y)的极值.
解
方程两边对x, y求偏导得
(1)对y求偏导得zyzx zzxy 2zxy 0
(2)对y求偏导得1
z
2 y
zz yy
2z yy
0
在(1,1,6)处, A 1 0, B 0, C 1 ,
4
4
B2 AC 0,有极大值;
在(1,1,2)处, A 1 0, B 0, C 1 ,
4
4
B2 AC 0, 有极小值.
当(x, y)沿直线 y y0 0 接近(x0, y0 )时, 有 k 0,
故 Q(h, k) 与 A 同号.
y
可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负,
因此 f (x, y) 在点(x0, y0 )无极值 ;
(x0, y0 )
o
x
若 A＝C ＝0 ,则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时
2.多元函数的最值问题习例
例4 求z xy 1 x2 y2在x2 y2 1, x 0, y 0内的最大值.
例5.某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 例6 有一宽为 24cm 的长方形铁板,把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使 断面面积最大. 例7 把一个正数a表为三个正数之和,使其乘积最大, 求这三个数.
(2) A fxx 6x 6, B fxy 0, C fyy 6 y 3 (3)在(0,0)处A 6 0, B 0, C 3,
B2 AC 18 0,无极值;
在(0,1)处A 6 0, B 0, C 3,
B2 AC 18 0,有极大值;
在(2,0)处A 6 0, B 0, C 3, B2 AC 18 0,有极小值;
高等数学 A
第6章多元函数微分学
6.3 多元函数微分的应用
6.3.3 多元函数的极值 6.3.4 条件极值—拉格朗日乘数法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.3 多元函数微分的应用
法极多
值元
—Lagrange
函
数
的
极
值
乘 数
与 条 件
二元函数极值的定义 极值存在的必要、充分条件 6.3.3 多元函数的极值 求函数极值的步骤与习例1-3 多元函数的最值问题 多元函数的最值问题习例4-7
f y y (x0 h, y0 k) C
其中 , , 是当h →0 , k →0 时的无穷小量 ,于是
z
1 2
[
Ah2
2Bhk
Ck
2
]
1 2
[
h2
2
hk
k
2]1ຫໍສະໝຸດ 2Q(h,k)
o(
2
)
( h2 k2)
因此当 h , k 很小时, z的正负号可由 Q(h, k) 确定.
(1) 当 B2 － AC <0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号,
(4)驻点
极值点（可偏导函数）
定理2（极值存在的充分条件）
设z f ( x, y)在U(P0, )内连续, 且有一阶及二阶连续
偏导数, 又 fx ( x0 , y0 ) 0, fy ( x0 , y0 ) 0, 令 A fxx ( x0 , y0 ), B fxy( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ), 则 (1)当B2 AC 0时,有极值,
由定理2不能判断M点是否为极值点, 但是当
(x, y)≠ (0,0) ,因为 f(x,y) – f (0,0)= 2x2– 3xy 2+y4=( 2x – y 2) ( x – y 2)
x = y 2/2
当 x < 0时, f ( x, y) > f (0,0);
－ x=y2
当 y2/2 < x < y2时, f(x,y) < f (0,0). ＋
则f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 取x x0 , y y0 , 仍有f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ),
表明一元函数f ( x0 , y)在y y0取得极小值,
f y ( x0 , y0 ) 0.
同理可证fx ( x0 , y0 ) 0.
注意:
(1)若fx ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0,则称( x0 , y0 ) 为z f ( x, y)的驻点.
例4. 设 f(x , y)=2x2-3xy2+y 4, 求它的极值
例1 求f ( x, y) x3 y3 3 y2 3x2 1的极值.
2
解
(1)由
fx fy
3x2 3 y2
6x 3y
0得 0
x 0, x 2 y 0, y 1
驻点有(0,0), (0,1), (2,0), (2,1)