平方根和立方根知识点总结及练习

【基础知识巩固】

一、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：

如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．

（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；

一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；

正数a 的负的平方根可用-a 表示．

（6）a x =2 <—> a x ±=

a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x

2、算术平方根

（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，2个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0.

也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =

。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；

当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；

当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说，被开放数扩大（或缩小）a 倍，算术平方根扩大（或缩小）a 倍，例如=5，

=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小

（5）a x =2

(x≥0) <—> a x =

a 是x 的平方 x 的平方是a

x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x

（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0）

0≥a

==a a 2 ；注意a 的双重非负性：

-a （a <0） a ≥0

（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 3、立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ，这个数叫做a 的立方根（也叫做三

次方根），即如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根

（2）一个数a 的立方根，记作3a ，读作：“三次根号a ”，

其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（3） 一个正数有一个正的立方根；

0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。

（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，

求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即

()3

30a a a -=->。

（5）a x =3 <—> 3a x =

a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x

（6）33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

【典型例题分析】

知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是（ ） A 、

的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、

=±1 D 、

是5的

平方根的相反数

2、下列语句中，正确的是（ ）

A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数

B ．负数没有立方根

C ．一个实数的立方根不是正数就是负数

D ．立方根是这个数本身的数共有三个

3、下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，

④()4832

±=±。其中正确的有

（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 4、()2

0.7-的平方根是（ ）

A ．0.7-

B ．0.7±

C ．0.7

D ．0.49 5、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）

A 、－2与2

)2(- B 、－2和38- C 、－

2

1

与2 D 、︱－2︱和2

知识点二：计算类题型

1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.

___________， ___________，___________.

2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 3

8-= .

3、① 2+32—52 ② 7(7

1-7)

③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 4

1)2(823--+

4、（1）

3

27-＋2)3(-－

3

1- （2）

333

64

631125.041027-++-

--

（3）

知识点三：利用平方根和立方根解方程

1、（1）（2x-1）2

-169=0； （2）12142

=x （3）

125)2(3=+x

知识点四：关于有意义的题

a a 0；a a ≥0。

要使

1

a

有意义，必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义，x 应满足的条件是

3、当________x 时，式子21

--x x 有意义。

知识点五：有关平方根的解答题

1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x ，则a 是多少？

2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根，求m 的值。

3、已知x 、y 都是实数，且334y x x =--，求x y 的平方根。