量子力学 第2章634109567
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d T(t ) ˆ i (r ) [ H(r )]T (t ) dt
双方同除 (r ) T (t )
则
d T(t ) 1 1 ˆ i H(r ) E －常数 dt T (t ) (r )
dT ( t ) ET ( t ) i dt
ˆ H(r ) E(r )
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
10
2. 薛定谔方程关于时间是一阶的 2 2 2 u 经典波动方程： 2
关于时间是二阶的。
t
3. 薛定格方程中含有虚数 i ˆ i ( r , t ) H (r , t ) t 所以它的解 必然是复数， 复数不能直接测量， 只有 的模方才有直接的物理意义。
5
定义能量算符、动量算符和坐标算符分别为：
ˆ ˆ x i ˆx E i ，p ，x t x
将它们作用到一维自由粒子波函数上，有：
ˆ E ( x, t ) i ( 0 E ( x, t ) t i ( p x x Et ) ˆ x ( x, t ) i ( 0e p ) px ( x, t ) x
i ( p x x Et ) e )
ˆ x （x, t ) x ( x, t )
6
三. 势场中的薛定谔方程 自由粒子：
p2 E x 2m
动能算符
2 2 i 2 t 2 m x
若粒子在势场中，势能函数为U(x,t) ，
则
推广到 p E U ( x, t ) 2m 算符
并利用势能的实函数性质，即 V *(r ) V (r )，可得
( r , t ) i 2 1 ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) t 2m i ( r , t ) i 2 1 ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) t 2m i
设粒子的波函数为 ( r , t ) ，
而概率密度 随时间的变化率是
( r , t ) ( r , t ) (r , t ) (r , t ) t t t
16
由薛定谔方程以及它的复数共轭方程
2 2 i (r , t ) [ V (r )] (r , t ) t 2m 2 2 i *(r , t ) [ V *(r )] *(r , t ) t 2m
2
Baidu Nhomakorabea
2 ˆ px ˆ E U ( x, t ) 2m
2 2 2 ˆ ˆ2 ( i ) ， 又 E i ， p x 2 t x x
2 2 2 U 所以有算符等式： i t 2m x
7
把“算符等式”双方作用在上，就得到
则得： j 0 t
这就是概率守恒的微分表达式。 将其对空间任意一个体积V 积分，得
t dV ( j )dV 0 V V
19
设S是包围体积V的闭合曲面， 利用矢量分析与中的奥高公式，则上式可化为
t dV j dS 0
i ( x , t ) ( x, t ) 2 t 2m x
2
2
—— 一维自由粒子的薛定谔方程
4
二. 力学量的算符的引入 由以上对波函数的微分操作得到物理启示： 某一微分算符作用在自由粒子波函数上， 相当于对该波函数乘以某一物理量。即： 对自由粒子波函数而言，某些算符和某 些物理量是一一对应的。 可以用算符来代替相应的物理量。
11
五.定态薛定谔方程 2 2 ˆ ˆ i ( r , t ) H (r , t ) H U (r , t ) t 2m 则薛定谔方程可分离变量。 若 U U ( r )与 t无关， 设 (r , t ) (r ) T (t ) ，
t t i ( 2 2 ) 2m i ( ) 2m
代入 可得
18
令
或
i ( ) t 2m i j (r , t ) ( ) 2m 1 ˆ ˆ ) j (r , t ) ( p p 2m
：
2 2 i 2 U t 2m x
2 2 2
一维势场中的 薛定谔方程
2
i ( 2 2 2 ) U (r , t ) 三维： t 2m x y z
2 2 2 引入拉普拉斯算符： 2 2 2 2 x y z
四．关于薛定格方程的讨论 ˆ i ( r , t ) H (r , t ) t 是量子力学的一个“基本假定”, 它不能由 其它更加基本的原理推导出来。 它的计算结果和实验一致，表明了它的正确 性。 1. 薛定谔方程的解满足态叠加原理 若 1 (r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。
3
p2 非相对论情况下： E x 2m
2 2 1 2 2 px E 2m x 2m
2 2 2 2 px x
i E t
对自由粒子成立，作用在 波函数上才有意义！
i 2 t 2 m x
2 2
令其作用于波函数 ( x , t ) 上， 则得到自由 粒子波函数满足的微分方程：
( * ) * * 2
; ) * 2 * ( *
将以上两式化为 * 2 ( * ) *
2 * ( * ) *
这些特定的E 值所对应的波函数称为 能量本征函数。 这一方程又称为能量本征值方程。 这一波函数所描述的量子态称为定态。 定态: 能量取确定值的状态 i Et 定态波函数 E (r , t ) C E (r ) e 一维定态薛定谔方程：
2 d 2 [ U ( x )]( x ) E( x ) 2 2m dx
§1 薛定谔方程(Schrodinger Equation)
1926年, 薛定谔介绍德布罗意波后,德拜： “有了波就应该有一个波动方程。” 几周后 薛定谔找到（提出）了波函数满足的 微分方程 － 薛定谔方程 从而建立了描述微观粒子运动规律的学科—量 子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程。 同牛顿定律一样，是不能由其它基本原理推 导出来的， 它最初只是一个假定，后通过实验 检验了它的正确性，获1933年诺贝尔奖。
2
它对应于粒子的总能量,有： ˆ i ( r , t ) H ( r , t ) t 是非相对论情况下、不发生实物粒子产生和湮灭 时, 粒子波函数满足的方程。 它是非相对论量子力学的基本方程。 给定 U ( r , t )， 解该方程就能给出 ( r , t )。9
r 时
j dS 0
S
dV 0 t ( total)
即，对于一个粒子来说，在全空间中找到它的 概率的总和不随时间改变， 或波函数的归一化不随时间改变。 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程， 而在非相对论情况下，实物粒子是没有产生和 湮没的，所以在随时间演化过程中粒子数目应 该保持不变。 21
12
dT ( t ) ET ( t ) i dt
(1)
ˆ H( r ) E( r )
i Et
( 2)
方程（1）的解为 T ( t ) Ce
── 振动因子
式中E具有能量量纲，C 可以是复数。 (2)式称为定态薛定谔方程 它的解依赖于 2 2 [ U ( r )]( r ) E( r ) U ( r ) 的形式 2m 从数学上来讲： E 不论为何值，该方程都有解。 从物理上来讲：E 只有取一些特定值,该方程 的解才能满足波函数的条件（单值、有限、 连续、归一）。特定的E 值称为能量本征值。 13
对自由粒子，U = 0，一维情况下，上式成为：
14
2 d 2 E 2 2m dx
其解为
( x ) B0e
i 2 mE x
p 2mE
B0e
i p x
i p x
( x, t ) ( x ) T (t )
T ( t ) Ce
i Et
V S
进入曲面的概率流 dV j dS t V S
单位时间内体积V中增加的概率等于流进界面 的概率—概率守恒。
i j (r , t ) ( ) 2m
是概率流密度
20
即为单位时间内流过单位面积的概率。
如果波函数在无穷远处为零，则有：
1
薛定谔
Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学
获1933年诺贝尔 物理学奖
2
一.自由粒子薛定谔方程的建立 1 i ( Et px ) 自由粒子波函数(一维)： Ψ 0e
( x, t )
微分,得到方程
i ( p x x E t) e 0
i Et
B0e
Ce
0e
i ( Et p x )
这正是自由粒子的波函数，E正是粒子的能量 ，p正是粒子的动量。 15
§2 粒子流密度和粒子数守恒 讨论粒子出现在一定的空间区域的概率将 如何随时间变化。
则在t 时刻、r 附近的单位体积内，粒子
出现的概率为： 2 (r , t ) (r , t ) (r , t ) (r , t )
§3 无限深方势阱中的粒子
一.一维无限深方形势阱
U=U0 U(x) U=U0 极 限 U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
金属
E
U=0 Ⅰ 0 Ⅱ a Ⅲ x 无限深方势阱 （potential well）
( x,t ) － i E ( x, t ) t ( x,t ) i p ( x, t ) x x
2 2 ( x , t ) p x ( x , t ) 2 2 x
i E t
i px x
2 2 2 2 px x
( r , t ) ( r , t ) (r , t ) 代入 (r , t ) t t t
i ( 2 2 ) t 2m
17
由矢量分析与场论的数学公式 ( f ) f f
2 U ( r , t )] (r , t ) 则有：i ( r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 8
2
2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] (r , t ) t 2m
2 2 ˆ U (r , t ) ， 引入哈密顿算符 H 2m (Hamiltonian Operator)
双方同除 (r ) T (t )
则
d T(t ) 1 1 ˆ i H(r ) E －常数 dt T (t ) (r )
dT ( t ) ET ( t ) i dt
ˆ H(r ) E(r )
这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。
10
2. 薛定谔方程关于时间是一阶的 2 2 2 u 经典波动方程： 2
关于时间是二阶的。
t
3. 薛定格方程中含有虚数 i ˆ i ( r , t ) H (r , t ) t 所以它的解 必然是复数， 复数不能直接测量， 只有 的模方才有直接的物理意义。
5
定义能量算符、动量算符和坐标算符分别为：
ˆ ˆ x i ˆx E i ，p ，x t x
将它们作用到一维自由粒子波函数上，有：
ˆ E ( x, t ) i ( 0 E ( x, t ) t i ( p x x Et ) ˆ x ( x, t ) i ( 0e p ) px ( x, t ) x
i ( p x x Et ) e )
ˆ x （x, t ) x ( x, t )
6
三. 势场中的薛定谔方程 自由粒子：
p2 E x 2m
动能算符
2 2 i 2 t 2 m x
若粒子在势场中，势能函数为U(x,t) ，
则
推广到 p E U ( x, t ) 2m 算符
并利用势能的实函数性质，即 V *(r ) V (r )，可得
( r , t ) i 2 1 ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) t 2m i ( r , t ) i 2 1 ( r , t ) V ( r ) ( r , t ) t 2m i
设粒子的波函数为 ( r , t ) ，
而概率密度 随时间的变化率是
( r , t ) ( r , t ) (r , t ) (r , t ) t t t
16
由薛定谔方程以及它的复数共轭方程
2 2 i (r , t ) [ V (r )] (r , t ) t 2m 2 2 i *(r , t ) [ V *(r )] *(r , t ) t 2m
2
Baidu Nhomakorabea
2 ˆ px ˆ E U ( x, t ) 2m
2 2 2 ˆ ˆ2 ( i ) ， 又 E i ， p x 2 t x x
2 2 2 U 所以有算符等式： i t 2m x
7
把“算符等式”双方作用在上，就得到
则得： j 0 t
这就是概率守恒的微分表达式。 将其对空间任意一个体积V 积分，得
t dV ( j )dV 0 V V
19
设S是包围体积V的闭合曲面， 利用矢量分析与中的奥高公式，则上式可化为
t dV j dS 0
i ( x , t ) ( x, t ) 2 t 2m x
2
2
—— 一维自由粒子的薛定谔方程
4
二. 力学量的算符的引入 由以上对波函数的微分操作得到物理启示： 某一微分算符作用在自由粒子波函数上， 相当于对该波函数乘以某一物理量。即： 对自由粒子波函数而言，某些算符和某 些物理量是一一对应的。 可以用算符来代替相应的物理量。
11
五.定态薛定谔方程 2 2 ˆ ˆ i ( r , t ) H (r , t ) H U (r , t ) t 2m 则薛定谔方程可分离变量。 若 U U ( r )与 t无关， 设 (r , t ) (r ) T (t ) ，
t t i ( 2 2 ) 2m i ( ) 2m
代入 可得
18
令
或
i ( ) t 2m i j (r , t ) ( ) 2m 1 ˆ ˆ ) j (r , t ) ( p p 2m
：
2 2 i 2 U t 2m x
2 2 2
一维势场中的 薛定谔方程
2
i ( 2 2 2 ) U (r , t ) 三维： t 2m x y z
2 2 2 引入拉普拉斯算符： 2 2 2 2 x y z
四．关于薛定格方程的讨论 ˆ i ( r , t ) H (r , t ) t 是量子力学的一个“基本假定”, 它不能由 其它更加基本的原理推导出来。 它的计算结果和实验一致，表明了它的正确 性。 1. 薛定谔方程的解满足态叠加原理 若 1 (r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。
3
p2 非相对论情况下： E x 2m
2 2 1 2 2 px E 2m x 2m
2 2 2 2 px x
i E t
对自由粒子成立，作用在 波函数上才有意义！
i 2 t 2 m x
2 2
令其作用于波函数 ( x , t ) 上， 则得到自由 粒子波函数满足的微分方程：
( * ) * * 2
; ) * 2 * ( *
将以上两式化为 * 2 ( * ) *
2 * ( * ) *
这些特定的E 值所对应的波函数称为 能量本征函数。 这一方程又称为能量本征值方程。 这一波函数所描述的量子态称为定态。 定态: 能量取确定值的状态 i Et 定态波函数 E (r , t ) C E (r ) e 一维定态薛定谔方程：
2 d 2 [ U ( x )]( x ) E( x ) 2 2m dx
§1 薛定谔方程(Schrodinger Equation)
1926年, 薛定谔介绍德布罗意波后,德拜： “有了波就应该有一个波动方程。” 几周后 薛定谔找到（提出）了波函数满足的 微分方程 － 薛定谔方程 从而建立了描述微观粒子运动规律的学科—量 子力学。 薛定谔方程是描述微观粒子的基本方程。 同牛顿定律一样，是不能由其它基本原理推 导出来的， 它最初只是一个假定，后通过实验 检验了它的正确性，获1933年诺贝尔奖。
2
它对应于粒子的总能量,有： ˆ i ( r , t ) H ( r , t ) t 是非相对论情况下、不发生实物粒子产生和湮灭 时, 粒子波函数满足的方程。 它是非相对论量子力学的基本方程。 给定 U ( r , t )， 解该方程就能给出 ( r , t )。9
r 时
j dS 0
S
dV 0 t ( total)
即，对于一个粒子来说，在全空间中找到它的 概率的总和不随时间改变， 或波函数的归一化不随时间改变。 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程， 而在非相对论情况下，实物粒子是没有产生和 湮没的，所以在随时间演化过程中粒子数目应 该保持不变。 21
12
dT ( t ) ET ( t ) i dt
(1)
ˆ H( r ) E( r )
i Et
( 2)
方程（1）的解为 T ( t ) Ce
── 振动因子
式中E具有能量量纲，C 可以是复数。 (2)式称为定态薛定谔方程 它的解依赖于 2 2 [ U ( r )]( r ) E( r ) U ( r ) 的形式 2m 从数学上来讲： E 不论为何值，该方程都有解。 从物理上来讲：E 只有取一些特定值,该方程 的解才能满足波函数的条件（单值、有限、 连续、归一）。特定的E 值称为能量本征值。 13
对自由粒子，U = 0，一维情况下，上式成为：
14
2 d 2 E 2 2m dx
其解为
( x ) B0e
i 2 mE x
p 2mE
B0e
i p x
i p x
( x, t ) ( x ) T (t )
T ( t ) Ce
i Et
V S
进入曲面的概率流 dV j dS t V S
单位时间内体积V中增加的概率等于流进界面 的概率—概率守恒。
i j (r , t ) ( ) 2m
是概率流密度
20
即为单位时间内流过单位面积的概率。
如果波函数在无穷远处为零，则有：
1
薛定谔
Erwin Schrodinger 奥地利人 1887-1961 创立量子力学
获1933年诺贝尔 物理学奖
2
一.自由粒子薛定谔方程的建立 1 i ( Et px ) 自由粒子波函数(一维)： Ψ 0e
( x, t )
微分,得到方程
i ( p x x E t) e 0
i Et
B0e
Ce
0e
i ( Et p x )
这正是自由粒子的波函数，E正是粒子的能量 ，p正是粒子的动量。 15
§2 粒子流密度和粒子数守恒 讨论粒子出现在一定的空间区域的概率将 如何随时间变化。
则在t 时刻、r 附近的单位体积内，粒子
出现的概率为： 2 (r , t ) (r , t ) (r , t ) (r , t )
§3 无限深方势阱中的粒子
一.一维无限深方形势阱
U=U0 U(x) U=U0 极 限 U→∞ U(x) U→∞
E
U=0
金属
E
U=0 Ⅰ 0 Ⅱ a Ⅲ x 无限深方势阱 （potential well）
( x,t ) － i E ( x, t ) t ( x,t ) i p ( x, t ) x x
2 2 ( x , t ) p x ( x , t ) 2 2 x
i E t
i px x
2 2 2 2 px x
( r , t ) ( r , t ) (r , t ) 代入 (r , t ) t t t
i ( 2 2 ) t 2m
17
由矢量分析与场论的数学公式 ( f ) f f
2 U ( r , t )] (r , t ) 则有：i ( r , t ) [ t 2m —薛定谔方程 8
2
2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] (r , t ) t 2m
2 2 ˆ U (r , t ) ， 引入哈密顿算符 H 2m (Hamiltonian Operator)