极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式

sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 当 0 x 时,
2
2
注
lim cos x 1, 又lim1 1,
lim sin x 1.
x0
x0
x0 x
当 0 x 时，
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1

1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件 x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn

a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x

U
0
(
注 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解

n n2 n
1 n2 1
1 n2 n
n ,
n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
x 2
)2

1 2

12
2
2
1. 2
2. lim(1 1 )n e
n
n
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn

(1

1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
1! n 2! n2
n!
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
x0
)
(或
x

M )时,有
(1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
2! n
n! n n
n
类似地,
xn1

1

1

1 (1 2!

n
1
) 1

1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
[x] 1
x
[x]
而 lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )[ x] lim (1 1 ) e,
x [ x]
x [ x]
x [ x]
lim (1 1 )[ x] x [ x] 1
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lim (1 1 )[ x]1 lim (1 1 )1 e,
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn

1

1

1 2!


1 n!

1

1

1 2



1 2n1

3

1 2n1

3,
xn 是有界的 ;
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.71828)
当 x 1 时, 有 [ x] x [ x] 1,
(1 1 )[ x] (1 1 ) x (1 1 )[ x]1 ,
0
2 1 cos x 1 cos x 2sin2 x
2
x
2 x2
2 22
lim(1 cos x ) 0
x0
例3
求
lim
x0
1

cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2

1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2

1 2
sin lim( x0 x
(2)
lim
n
yn

a,
lim
n
zn

a,
那末数列xn 的极限存在,
且lim n
xn
a.
证 yn a, zn a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当
n

N
时恒有
1
yn
a
,
当n

N
时恒有
2
zn

a

,
取 N max{N1 , N 2 }, 上两式同时成立,
C
B
1. lim sin x 1 x0 x
o
x
D
A
设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x , OAB的高为 BD ,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOC的面积
x 是有界的 ; n
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1

3
xn ,
lim
n
x2 n1

lim(3
n

xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
xn

2
.
二、两个重要极限
第5节 极限存在准则、 两个重要极限、连续复利公式
一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则
二、 两个重要极限
lim sin x 1 x0 x
三、连续复利公式
lim(1 1 )n e
n
n
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一、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 xn , yn及zn 满足下列条件: (1) yn xn zn (n 1,2,3)