中考数学 锐角三角函数 综合题及详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知:△ABC内接于⊙O,D是弧BC上一点,OD⊥BC,垂足为H.
(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;
(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:
∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB 于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣
∠ABD=2∠BDN,AC=,BN=,tan∠ABC=,求BF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)24.
【解析】
试题分析:(1)易证OH为△ABC的中位线,可得AC=2OH;(2)∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,又∵∠PAC =∠BCD,可证∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ.
在Rt△BNQ中,根据tan∠ABC=,可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI 的长度,设QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的长度,利用垂径定理可求得ED的长度,最后利用tan∠OED=即可求得RG的长度,最后由垂径定理可求得BF的长度.
试题解析:(1)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴BH=HC,∵点O是AB的中点,∴AC=2OH;(2)在⊙O中,∵OD⊥BC,∴弧BD=弧CD,∴∠PAC=∠BCD,∵∠APB=∠PAC+∠ACP,∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ACD=∠APB;(3)连接AO延长交于⊙O于点I,连接IC,AB 与OD相交于点M,连接OB,
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,∵∠ABD+∠BDN=∠AND,∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,∵∠ACD+∠ABD=180°,∴2∠AND=180°,∴∠AND=90°,
∵tan∠ABC=,∴,∴,
∴,∵∠BNQ=∠QHD=90°,
∴∠ABC=∠QDH,∵OE=OD,
∴∠OED=∠QDH,∵∠ERG=90°,∴∠OED=∠GBN,∴∠GBN=∠ABC,∵AB⊥ED,
∴BG=BQ=,GN=NQ=,
∵∠ACI=90°,tan∠AIC=tan∠ABC=,∴,∴IC=,∴由勾股定理可求得:AI=25,
设QH=x,∵tan∠ABC=tan∠ODE=,∴,∴HD=2x,∴OH=OD﹣HD=,BH=BQ+QH=,
∵OB2=BH2+OH2,∴,解得:,当QH=
时,∴QD=,
∴ND=,∴MN=,MD=15,∵,∴QH=不符合题意,舍去,当QH=时,∴QD=
∴ND=NQ+QD=,ED=,∴GD=GN+ND=,∴EG=ED﹣GD=,
∵tan∠OED=,∴,
∴EG=RG,∴RG=,∴ BR=RG+BG=12,∴BF=2BR=24.
考点:1圆;2相似三角形;3三角函数;4直角三角形.
2.某条道路上通行车辆限速60千米/时,道路的AB段为监测区,监测点P到AB的距离PH为50米(如图).已知点P在点A的北偏东45°方向上,且在点B的北偏西60°方向上,点B在点A的北偏东75°方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为
32≈1.4).
【答案】车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内,可认定为超速
【解析】
分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解直角三角形即可.
详解:如图,由题意知∠CAB=75°,∠CAP=45°,∠PBD=60°,
∴∠PAH=∠CAB –∠CAP=30°,
∵∠PHA=∠PHB=90°,PH=50,∴AH=tan PH PAH ∠33, ∵AC ∥BD ,∴∠ABD=180°–∠CAB=105°,∴∠PBH=∠ABD –∠PBD=45°,
则PH=BH=50,∴3,
∵60千米/时=503米/秒,∴时间t=5035050
3
3≈8.1(秒), 即车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内,可认定为超速.
点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即实际路程,并进行判断相关的量。
3.在平面直角坐标系中,四边形OABC 是矩形,点()0,0O ,点()3,0A ,点()0,4C ,连接OB ,以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOCB ,旋转角为()0360αα︒<<︒,得到矩形ADEF ,点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .
(Ⅰ)如图,当点D 落在对角线OB 上时,求点D 的坐标;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下,AB 与DE 交于点H .
①求证BDE DBA ∆≅∆;
②求点H 的坐标.
(Ⅲ)α为何值时,FB FA =.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(
,)2525;(Ⅱ)①证明见解析;②点H 的坐标为(3,258
);(Ⅲ)60α=︒或300︒.
【解析】
【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥,根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长,根据矩形的性质可得AB 、OB 的长,在Rt △OAM 中,利用∠BOA 的余弦求出OM 的长,由旋转的性质可得OA=AD ,利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ,在Rt △ODN 中,利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长,即可得答案;(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ,根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=,利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ;②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ,BE=AD ,即可证明
△BHE ≌△DHA ,可得DH=BH ,设AH=x ,在Rt △ADH 中,利用勾股定理求出x 的值即可得答案;(Ⅲ)如图,过F 作FO ⊥AB ,由性质性质可得∠BAF=α,分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况,根据FB=FA 可得OA=OB ,利用勾股定理求出FO 的长,由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.
【详解】
(Ⅰ)∵点()30A ,
,点()04C ,, ∴3,4OA OC ==.
∵四边形OABC 是矩形,
∴AB=OC=4,
∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的
∴3AD AO ==.
在Rt OAB ∆中,225OB OA AB +=,
过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥
在Rt ΔOAM 中,OM OA 3cos BOA OA OB 5∠=
==, ∴9OM 5
= ∵AD=OA ,AM ⊥OB ,