晶体学点群

单斜 2,m,2/m
， 正交 2，m
， 四方 4,4，4/m Z
三方 3,3 六方 6,6, 6/m
Z Z
无， 2，m ， 无， 2，m ，
X X
无 无， 2，m ，
立方 2,m,4, 4
X
3,3
， 体对 无， 2，m 角线
点群推导方法
• 外延推演法： 从7种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 外延推演法： 种晶系的主要点对称特征出发外延推演， 种晶系的主要点对称特征出发外延推演 可以推导出32种点群。 可以推导出 种点群。优点在于点群与晶系的对应关系十 种点群 分明确。 分明确。 • 旋转群推导法：先推导出11种纯旋转晶体学点群，与反演 旋转群推导法：先推导出 种纯旋转晶体学点群 种纯旋转晶体学点群， 操作组合可得11种中心对称的晶体学点群，再推导出另外 操作组合可得 种中心对称的晶体学点群， 种中心对称的晶体学点群 10种非中心对称的点群。优点是速度快。 种非中心对称的点群。优点是速度快。 种非中心对称的点群 • 循环群推导法：先确定5种循环群，1、2、3、4、6，再在 循环群推导法：先确定 种循环群 种循环群， 、 、 、 、 ， 每种循环群上加上新对称操作， 代替n轴 每种循环群上加上新对称操作，或用 n 代替 轴。优点是 透彻了解各种点群的对称操作。 透彻了解各种点群的对称操作。 • 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。 对称元素组合法：利用对称元素组合定律进行点群的推导。
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 32
1. 三斜晶系 对称操作是1(C1)或 1 (i) 对称操作是 或 则形成最简单的点群。 （1）如果只有对称操作 ）如果只有对称操作1(C1) ，则形成最简单的点群。 该点群的阶数h是 ，满足群的定义： 该点群的阶数 是1，满足群的定义： 一个元素只能自乘： 1(C1)，具有封闭性 封闭性； 一个元素只能自乘： 1(C1)· 1(C1)= 1(C1)，具有封闭性； 单元素也可有结合律： 单元素也可有结合律： 1(C1)· 1(C1) · 1(C1)=1(C1) · [1(C1)· 1(C1)]; 有单位元素： 有单位元素： 1(C1)· 1(E) = 1(E) · 1(C1)= 1(C1)； ； 1(C1)的逆阵仍是 的逆阵仍是1(C1)。 。 的逆阵仍是
3 6 ,4/m,6/m m
1 4,3 ,
32种点群的表示符号及性质 种点群的表示符号及性质
5.旋转轴 加n个垂直于该轴的二次轴： 旋转轴(n)加 个垂直于该轴的二次轴 个垂直于该轴的二次轴： 旋转轴 D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋转轴 加n个垂直于该轴的二次轴和镜面： 旋转轴(n)加 个垂直于该轴的二次轴和镜面 个垂直于该轴的二次轴和镜面： 旋转轴 D2h,D3h,D4h,D6h; mmm, 6 2 ,4/mm,6/mmm m 7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; 群附加对角竖直平面： 群附加对角竖直平面
mm2是国际表中表示点群的标准形式。 是国际表中表示点群的标准形式。 是国际表中表示点群的标准形式 非标准形式 次轴) 非标准形式 2mm (a是2次轴 是 次轴 m2m (b是2次轴 次轴) 是 次轴
n m
2(C2)
m(C1h)
2 (C ) 2h m
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3. 正交晶系 正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面， 正交晶系有两个互相垂直的 次轴或两个镜面，因此也必有第 次轴或两个镜面 三个2次轴 次轴。 三个 次轴。
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（2）有对称操作1(C1)或 1 (i)，则它们构成两元素 ）有对称操作 或 ， 点群。 点群。 表示，点群的阶h是 用符号 1(S2) 表示，点群的阶 是2 。元素为 {1, 1 }即{E，i}。当然也满足群的定义，这个点群 即 ， 。当然也满足群的定义， 的元素具有封闭性，对称操作符合结合律， 的元素具有封闭性，对称操作符合结合律，只有一 个单位元素1(E)， 1(i)的逆仍是 1(i)。 个单位元素 ， 的逆仍是 。
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表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面 表示镜面m 国际符号中 表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m包 次旋转轴，所以实际有n个镜面m 含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。 熊夫利斯符号C 表示一个含有C 的点群。 熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C2 ，……的点群。Cnh表 的点群 n 示这种点群中还含有垂直于C 的镜面，点群C 示这种点群中还含有垂直于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数 目是C 群中的两倍。 表示镜面含C 点群C 目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作 数目也是Cn群的两倍。 数目也是C 群的两倍。
32种点群的表示符号及性质 32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴 旋转轴(C=cyclic) ： 旋转轴 C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6 2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面： 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面： C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m, 3.旋转轴加通过该轴的镜面： 旋转轴加通过该轴的镜面： 旋转轴加通过该轴的镜面 C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm 4.旋转反演轴 旋转反演轴 S2= Ci, S4,S6=C3d;
(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1，2[100] ， 2 正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群 ， 正交晶系中二次轴必然相互垂直 [010] ， 2[001 } ] 或用222表示。这里国际符号按字符顺序表示的内容依次是 、b和c轴的对称 表示。 或用 表示 这里国际符号按字符顺序表示的内容依次是a、 和 轴的对称 性。对称特征：h是4 。熊夫利斯符号为{ E， 2[100]， 2[010] ，C2[001 }，用 对称特征： 是 ， C C ] ，
点群的Schönflies符号 符号 点群的
Cn: 具有一个 次旋转轴的点群。 具有一个n次旋转轴的点群 次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个 次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群 次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个 次旋转轴和 个通过该轴的镜面的点群。 具有一个n次旋转轴和 个通过该轴的镜面的点群。 次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群 Dn: 具有一个 次旋转主轴和 个垂直该轴的二次轴的点群。 具有一个n次旋转主轴和 个垂直该轴的二次轴的点群。 次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群 Sn:具有一个 次反轴的点群。 具有一个n次反轴的点群 次反轴的点群。 T:具有 个3次轴和 个2次轴的正四面体点群。 具有4个 次轴和 次轴和4个 次轴的正四面体点群 次轴的正四面体点群。 O:具有 个4次轴 个3次轴和 个2次轴的八面体点群。 具有3个 次轴 次轴,4个 次轴和 次轴和6个 次轴的八面体点群 次轴的八面体点群。
D2表示，指在垂直于2次轴方向有 次轴。 表示，指在垂直于 次轴方向有 次轴。 次轴方向有2次轴 表示
(2)两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个 次轴。如果两个镜面 两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个2次轴 两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个 次轴。 m m 2 分别垂直于a、 向 必为2次轴 分别垂直于 、b向，则c必为 次轴。构成点群 1， [100] ， [010] ，[001 } 必为 次轴。构成点群{ ， ] 表示， 是 。 或mm2表示，h是4。 表示 C 熊夫利斯符号： 熊夫利斯符号： { E，σ2[100]，σ2[010] ， 2[001 }，或用 2v表示。 ， ] ，或用C 表示。
m 42m，3
8. 立方体群 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral) ， T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,hönflies符号 Schönflies符号 和国际符号
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 三斜 1,1 第二位 第三位 方向 1，1 ， 2,m,2/m Z 底对 角线 222,mm2,mmm 4,4，4/m，422， ， ， ， 4mm, 42m, 4/mmm 3,3, 32,3m, 3m 底对 角线 面对 角线 6,6, 6/m,622, 6mm, 62m, 6/mmm 23,m3,432, 43m, m3m 点群 方向 可能对称元 方向 可能对称元 素 素 任意 无 Y X 无 2，m ， 无， 2，m ， Y X 无 无 2，m ， 无， 2，m ，
32种晶体学点群 32种晶体学点群
• 晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作 晶体学点群。 晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操作后 物体中至少有一个点是不动的。 物体中至少有一个点是不动的。 至少有一个点是不动的 • 晶体学中，点对称操作只能有轴次为 晶体学中，点对称操作只能有轴次为1,2,3,4,6的旋 只能有轴次为 的旋 转轴和反轴。 对称中心= 镜面= 转轴和反轴。(对称中心= ，镜面= ) • 如果把点对称操作元素通过一个公共的点按所有可 能组合起来，则一共可以得出32种不同的组合方式 种不同的组合方式， 能组合起来，则一共可以得出 种不同的组合方式， 种晶体学点群。 称为32种晶体学点群 称为 种晶体学点群。
1(C1)
1(i)
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群 32
2. 单斜晶系 单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴2(C2)或2次旋转 单斜晶系在三斜晶系的基础上多了一个二次轴 或 次旋转 反演轴 2 =m (σh)。 。
(1) 当一物体有单一的 次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用2或C2表示， 当一物体有单一的2次对称轴是就具有单斜对称性 构成一点群， 次对称轴是就具有单斜对称性， 或 表示， 的点群。 即2(C2)。这是一个阶数 为2的点群。其对称操作为 ，2}或{E，C2}。 。这是一个阶数h为 的点群 其对称操作为{1， 或 ， 。 (2) 当一物体只有 2 或m对称时，也构成阶数 为2的点群 ，m}或{E ，σh}。其点 对称时， 的点群{1， 或 对称时 也构成阶数h为 的点群 。 群符号为m(C1h)。 群符号为 。 (3) 如果单斜晶系中 及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群 如果单斜晶系中2及轴同时存在 则必有反演对称性。 及轴同时存在， {1，2， 1 ，m}或用熊夫利斯符号表示成 ，C2，i， σh}。其中 为4，即为四元素 或用熊夫利斯符号表示成{E， ， ， 或用熊夫利斯符号表示成 ， 。其中h为 ， 点群。 点群。符号是 2 {C2h}，重要元素为 和m。 ，重要元素为2和 。 m
32种晶体学点群 32种晶体学点群
• • • • 点群是至少保留一点不动的对称操作群。 点群是至少保留一点不动的对称操作群。 晶体+非晶体 点群 晶体 非晶体 32种晶体学点群是满足“晶体制约”的点群。 种晶体学点群是满足“ 种晶体学点群是满足 晶体制约” 点群。 点对称性都与其 晶体结构的许多固体物理学性质的点对称性 晶体结构的许多固体物理学性质的点对称性都与其 对应的点群有关 有关。 所对应的点群有关。 晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过点群符 晶体或其他物体所具有的点对称性可以通过点群符 简洁地描述出来。 号简洁地描述出来。根据这些符号人们可以知道其 全部点对称性， 点群符号可以对应着晶体或物体 全部点对称性，即点群符号可以对应着晶体或物体 全部点对称性。 的全部点对称性。 32晶类的推演 晶类的推演 http://metafysica.nl/derivation_32.html