上海上南中学东校数学三角形解答题单元测试卷(含答案解析)

上海上南中学东校数学三角形解答题单元测试卷（含答案解析）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补.

(1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由.

(2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH .

(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分EPK ∠，求HPQ ∠的度数.

【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=.

【解析】

【分析】

（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明;

（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-

12

∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解.

【详解】

(1)//AB CD ，

理由如下：如图1， 图1

∵1∠与2∠互补，

∴12180∠+∠=︒，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠，

∴180AEF CFE ∠+∠=︒，

∴//AB CD ；

(2)如图2，由(1)知，//AB CD ，

图2

∴180BEF EFD ∠+∠=︒．

又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，

∴1(2

)90FEP EFP BEF EFD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥．

∵GH EG ⊥，

∴//PF GH ；

(3)如图3，

∵PHK HPK ∠=∠，

2PKG HPK ∴∠=∠.

又∵GH EG ⊥，

∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠．

∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠．

∵PQ 平分EPK ∠，

∴1452

QPK EPK HPK ∠=∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识.解题过程关注中“数形结合”思想是解答本题的关键.

2．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．

（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．

【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°

【解析】

【分析】

（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=

∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2

∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知

CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；

（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知

1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2

∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

【详解】

（1）∠AEB 的大小不变，

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，

∴∠AOB=90°， ∴OAB OBA 90∠+∠=︒，

∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线， ∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2

∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=

∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；

（2）∠CED 的大小不变．

如图2，延长AD 、BC 交于点F ．

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，

∴90∠=AOB °，

∴OAB OBA 90∠+∠=°，

∴PAB MBA 270∠+∠=°，

∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，

∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2

∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=

∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，

∴CDA DCB 225∠+∠=°，

∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，

∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，

∴E 67.5∠=°；

（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，

∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2

∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=

∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，